15章综合与实践(最短路径)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

第15章 综合与实践(最短路径) （导学案） 【学习目标】 1. 理解“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等基本几何事实，能将其作为判断路径最短的依据； 2. 掌握用轴对称变换将同侧两点转化为异侧两点、“化折为直”的基本作图方法，能规范写出“作对称点—连线—取交点”的作图步骤，并保留作图痕迹； 3. 能正确识别“两点一线”“一点两线”“两点两线”“造桥选址”四类基本模型，会求最短路径的长度； 4. 会用“在直线上另取一点”的一般性方法说明所作路径最短，能规范书写推理过程。 【学习重点】 能利用轴对称（平移）变换把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的基本图形，掌握“作对称点—连线—取交点”的作图方法，并能用轴对称性质和线段公理规范说明理由。 【学习难点】 1. 如何从现实情境中抽象出几何模型，主动想到用轴对称变换“化折为直”； 2. 用“在直线上另任取一点”的一般性方法，严格证明所作路径最短（任意性说明与规范书写）； 3. “一点两线”“两点两线”中双对称与“单对称＋垂直”的辨析，以及“造桥选址”中平移模型的识别与迁移。 【课堂探究】 情景导入 观看视频《将军饮马》 从A地到B地，寻找最短线路并得出数学结论。 1.两点之间,线段最短. 2.三角形任意两边之和大于第三边. 如图，在灌溉时需要把河中的水引到处，如何挖渠能使渠道最短？蕴含什么数学道理？ 点到直线距离，垂线段最短. 如图，已知点和点关于直线对称，直线上有一点，，则= 11 . 轴对称性质： 1.对称线段相等； 2.对称轴垂直平分对称点所连线段. 新知探究 如图，牧马人从地出发，到一条笔直的水渠边饮马，然后到地。牧马人到水渠的什么地方饮马，可使所走的路径最短.（直接作图） 两点之间线段最短 作法：(1)作点关于直线的对称点； (2)连接，与直线相交于点．则点即为所求． (3)最短路径== 证明最短. 证明：在上另外任取一点，连接，，. 由轴对称的性质得： ，． ∴，． 在中， ∴． 即最短． 归纳总结：两点一线（2种情况） 方法总结 借助对称法（轴对称）将折线问题转化为直线问题，构造“两点之间，线段最短”的基本图形，从而解决最短路径问题.具体来讲，解决“一线+两点”型最短路径问题的方法： (1)当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点； (2)当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点。 (巩固练习)1. 武汉市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区、的学生上学，要使、两小区到学校的距离之和最小，则学校的位置应该在（ C    ） (巩固练习)2. 如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（　C　） ．点处 B．点处 ．点处 ．点处 3.如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上一动点，那么周长的最小值是__7m___. 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为 ， ∴的周长最小值为， (巩固练习)4.如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为____13_____ 解：连接， ∵ 直线垂直平分线段，， ∵点为边的中点，，， 周长， 周长的最小值为， ∵，点为边的中点， ， ∵，， ，解得， 周长的最小值为。 问题拓展 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 作法： (1)作点关于直线和直线的对称点， ； (2)连接，分别与直线和直线相交于点,点 (3)最短路径 (巩固练习)5.如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ___12_____． 解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、， ∴，，， ，， ∴， 当点与点重合、点与点重合时， 即、、、四点共线取“”， 此时周长取得最小值，最小值为的长， ∵，， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，∴周长的最小值为． (巩固练习)6.如图，在四边形中，，，点，分别是线段、上的动点．当的周长最小时，则的度数为________ 解：如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″， 交BC于E，交CD于F，则A′A″即为的周长最小值. 作DA延长线AH， , , , 根据对称的性质可得，和都是等腰三角形 , , . 任务2 .如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，牧民怎样走可使所走的路径最短? 作法： (1)作点关于草地所在直线的对称点； (2)过作河流所在直线的垂线，分别与草地和河边相交于点,点． (3)最短路径 (巩固练习)7.如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ___10______． 解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． (巩固练习)8.在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为_________． 解：∵平分， ∴， ∴直线与直线关于直线对称， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小， ∴此时，，， ∴， ∴， ∴的最小值为 任务3 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 作法： (1)分别作点、关于草地所在直线和河流所在直线的对称点,； (2)连接，分别与草地和河流相交于点,点． (3)最短路径 (巩固练习)9.如图:点在上，点在上，在的,边上分别找两点,,使得最小. (巩固练习)10.如图:在直角坐标系中,(,),(,),若是轴上一动点,是轴上的一个动点,则四边形的周长的最小值是_____． (两点之间的距离公式：) 解：如图，分别作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点， 连接交轴于点，交轴于点，连接、，根据轴对称可知： ，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小， ∵的长度一定，∴此时四边形的周长最小， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴四边形的周长的最小值是． 任务4 如图，牧民每天从生活区的边沿处出发，先到草地边的处牧马，再到河边处饮马，然后回到处.如何确定，，的位置，使从处出发，到处牧马，再到处饮马，最后回到处所走的路径最短? 在锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形(锐角三角形三条高的垂足形成的三角形).整个过程遵循“光行最速原理”，始终保持入射角等于反射角. (巩固练习)11.为锐角三角形，测得，m，的面积为，求周长最小值． 解：分别作点A关于、的对称点、，连接，分别交、于点B、C． ，． 的周长． 两点之间线段最短， 此时的周长最小，长为． 点A关于、的对称点、， ，，． ， ． 是等边三角形． ． 当时为垂线段最短． ，， ． 即的周长最小值为． 问题变式 如图，，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥.桥造在何处可使从到的路径最短?(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 问题1 由于河宽固定(为定值)，问题转化为：怎样保证 最小？ 将点沿方向平移，平移的距离为的长，得到点，连接，则. 问题2 由于，问题转化为：怎样保证 最小？ 当三点共线时，最小.（两点之间，线段最短.） 归纳总结 作法： 1.过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点. 2.将点沿方向平移到点,使； 3.连接交直线于点，点即为所求点； 4.过点作⊥直线于点,线段即为桥的位置，此时从A到B的路径最短. 证明最短. 证明 另任意造桥，连接、、.由平移性质可知， ，. ∴， ， 在中，， ∴， 即最短. (巩固练习)12.直线，，表示一条河的两岸，且∥，若村庄和村庄在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸，垂直)，使得从村庄经桥过河到村庄的路径最短，即最小，则下列图中满足条件的是（　A　） (巩固练习)13.如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动；若1，则的最小值为 ．（作出点、的位置即可，无需求值） 解 如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小. 【课堂总结】 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 综合与实践(最短路径) （导学案） 【学习目标】 1. 理解“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等基本几何事实，能将其作为判断路径最短的依据； 2. 掌握用轴对称变换将同侧两点转化为异侧两点、“化折为直”的基本作图方法，能规范写出“作对称点—连线—取交点”的作图步骤，并保留作图痕迹； 3. 能正确识别“两点一线”“一点两线”“两点两线”“造桥选址”四类基本模型，会求最短路径的长度； 4. 会用“在直线上另取一点”的一般性方法说明所作路径最短，能规范书写推理过程。 【学习重点】 能利用轴对称（平移）变换把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的基本图形，掌握“作对称点—连线—取交点”的作图方法，并能用轴对称性质和线段公理规范说明理由。 【学习难点】 1. 如何从现实情境中抽象出几何模型，主动想到用轴对称变换“化折为直”； 2. 用“在直线上另任取一点”的一般性方法，严格证明所作路径最短（任意性说明与规范书写）； 3. “一点两线”“两点两线”中双对称与“单对称＋垂直”的辨析，以及“造桥选址”中平移模型的识别与迁移。 【课堂探究】 情景导入 观看视频《将军饮马》 1.从A地到B地，寻找最短线路并得出数学结论。 2.如图，在灌溉时需要把河中的水引到处，如何挖渠能使渠道最短？蕴含什么数学道理？ 3.如图，已知点和点关于直线对称，直线上有一点，，则= . 新知探究 如图，牧马人从地出发，到一条笔直的水渠边饮马，然后到地。牧马人到水渠的什么地方饮马，可使所走的路径最短.（直接作图） 两点之间线段最短 证明最短. 归纳总结：两点一线（2种情况） (巩固练习)1. 武汉市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区、的学生上学，要使、两小区到学校的距离之和最小，则学校的位置应该在（    ） (巩固练习)2. 如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（　 　） ．点处 B．点处 ．点处 ．点处 3.如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上一动点，那么周长的最小值是_____. (巩固练习)4.如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为________ 问题拓展 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? (巩固练习)5.如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ________． (巩固练习)6.如图，在四边形中，，，点，分别是线段、上的动点．当的周长最小时，则的度数为________ 任务2 .如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，牧民怎样走可使所走的路径最短? (巩固练习)7.如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 _________． (巩固练习)8.在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为_________． 任务3 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，牧民怎样走可使所走的路径最短? (巩固练习)9.如图:点在上，点在上，在的,边上分别找两点,,使得最小. (巩固练习)10.如图:在直角坐标系中,(,),(,),若是轴上一动点,是轴上的一个动点,则四边形的周长的最小值是____． (两点之间的距离公式：) 任务4 如图，牧民每天从生活区的边沿处出发，先到草地边的处牧马，再到河边处饮马，然后回到处.如何确定，，的位置，使从处出发，到处牧马，再到处饮马，最后回到处所走的路径最短? (巩固练习)11.为锐角三角形，测得，m，的面积为，求周长最小值． 问题变式 如图，，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥.桥造在何处可使从到的路径最短?(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 问题1 由于河宽固定(为定值)，问题转化为：怎样保证 最小？ 问题2 由于，问题转化为：怎样保证 最小？ 证明最短. (巩固练习)12.直线，，表示一条河的两岸，且∥，若村庄和村庄在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸，垂直)，使得从村庄经桥过河到村庄的路径最短，即最小，则下列图中满足条件的是（　　） (巩固练习)13.如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动；若1，则的最小值为 ．（作出点、的位置即可，无需求值） 【课堂总结】 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $