专题八 共顶点的等腰三角形&综合与实践 最短路径问题-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

49 专题八共顶点的等腰三角形 1.(课本改编题)如图，△ABD和△ACE都是等边三角形. (1)求证：BE=CD; (2)∠BFC的度数为 2.△ABC和△DEF均为等腰三角形，AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上，点F在 射线AC上. (1)如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD; (2)如图2，若AD=AB,求证：AF=AE+BC. 图1 图2 3.如图，AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC=a,CE的延长线交BD于点F. (1)求证：BD=CE; (2)求∠DFC的度数（用含a的式子表示）. 4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F. (1)求证：AE=BD; (2)求∠AFB的度数； (3)求证：CF平分∠AFD; (4)直接写出EF,DF,CF之间的数量关系. 50 综合与实践最短路径问题 01基础达标 知识点一利用垂线段最短求最短路径 1.如图，点P是直线a外一点，PB⊥a,点A,B,C,D都在直线a上，则下列线段中最短的是() A.PA B.PB C.PC D.PD 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图 2.如图，CD⊥AB,垂足是D,AC=7,BC=5,CD=4,点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接 CE,那么CE的范围是 知识点二利用轴对称求最短路径 3.如图，A、B是直线1同旁的两个定点.请你在直线1上确定一点P,使PA十PB的值最小. B A。 02能力提升 4.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD,AD⊥AB,点P是腰AD上的一个动点，要使PC+ PB最小，则点P应该满足 () A.PB=PC B.PA=PD C.∠BPC=90° D.∠APB=∠DPC 5.如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD=6,则 EP+CP的最小值是 A.12 B.9 C.6 D.3 .如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C,若 P是BC边上一动点，则DP长的最小值为， 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=70°，E,F分别是边BC,CD上的动点，当 △AEF的周长最小时，求∠EAF的度数.点F为线段CD的中点. AF=FC=- AC. ,∠ABD=∠FBD, 4.GE⊥BC,理由： BD=BD, .AB=AC,D为BC中点， .AC=2AB,∴.AF=AB. ∠ADB=∠FDB=90°， ∴.AD⊥BC,AD平分∠BAC, :AD平分∠BAC,.∠BAD .△ABD≌△FBD(ASA). ∠B=∠C, =∠CAD. .∠BAD=∠BFD. ∠BAD=∠CAD-Z∠BAC 在△ABE和△AFE中， ,∠BFD=∠CAD+∠C, AB=AF, ∴.∠BAD=∠CAD+∠C ,AE=AF,∴.∠E=∠AFE, ∠BAE=∠FAE, 3.(截长法)在BC上取点E使BE ,∠BAC=∠BAD+∠CAD= AE-AE, =BA,连DE, ∠AEF+∠AFE, '.△ABE≌△AFE(SAS). ,BD平分∠ABC, .∠AEF=∠BAD,.AD∥EG .∠ABE=∠AFE=90°. ∴.∠ABD=∠EBD, .∴.EG⊥BC. ∴.EB⊥AB. 在△ABD和△EBD中， 5.(1)70° 2.连接OC. (AB=EB (2)连接BF. :'AC=BC,∠ACB=90°，点O ∠ABD=∠EBD, :AB=BC,且点F是AC的 为AB的中点， BD-BD 中点， ∴.∠B=∠ACO=∠BCO=45°，CO ∴.△ABD≌△EBD(SAS), ∴.BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= ⊥AB. .∠BAC=∠BED=108°，AB 1 ∠ABC, ∴.OC=OB,∠COB=90° =EB, 又∠EOF=90°， .∠DEC=72°， ∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF ∴.∠EOC=∠FOB. .AB=AC, +∠BFD=90°， 在△EOC和△FOB中， .∠C=∠ABC=36°， .∠CFD=∠CBF, '∠EOC=∠FOB, .∠CDE=72°， ∴∠CFD=∠ABC OC=OB, ∴.∠CDE=∠CED=72°， ∠OCE=∠OBF, ∴.CD=CE, 专题五等腰三角形中的分类讨论 ∴.△EOC≌△FOB(ASA). 则BC=BE+EC=AB+CD; 1.D2.253.20°或80°4.110 ∴.OE=OF 专题八共顶点的等腰三角形 5.45或72°6.63或27 3.连接AD. 1.(1)利用SAS证△AEB≌△ACD. 7.设腰长为2xcm,由题意，得 :AB=AC,∠BAC=120°， (2)120 (2x+x)-(5+x)=3或(5+x) D为BC的中点， 2.(1)证△ABC与△DEF是等边 -(2x十x)=3, ∴.∠DAC= ∠BAC=60°， 三角形，再证△BEC≌△ADC 解得x=4或x=1, 2 (SAS)得BE=AD,AB=AE+ .2x=8或2. ∠ADC=90°. BE-AE+AD=AF; ①当三角形的三边长分别为8， ,DE⊥AC,.∠ADE=90°-60 (2)在AF上截取FM=AE,连接 8,5时，符合三角形三边关系； =30°. DM,由∠BAC=∠EDF知 ②当三角形的三边长分别为2， .AD=2AE=4. ∠AED=∠AFD,再证△AED≌ 2,5时， 又，∠C=90°-∠DAC=30°， △MFD(SAS)得AD=MD=AB 2+2<5, ∴.AC=2AD=8. =AC,∠ADE=∠MDF,从而得 不符合三角形三边关系. ∴.CE=AC-AE=8-2=6. ∠ADM=∠EDF=∠BAC,证 ∴该等腰三角形的周长为8十8 4.25.2 △ABC≌△DAM(SAS),得AM +5=21cm. 专题七构造等腰三角形 =BC,.AF=AM+MF=AE 8.①当AB的垂直平分线MN与 的常用方法 +BC. AC相交时，图略，则∠A=90° 1.过点D作DM∥AC交BC于 3.(1)证明：利用SAS证△ADB≌ 40°=50°. 点M. △AEC,得BD=CE; .AB=AC, ∴.∠DMB=∠ACB, (2)由(1)证∠ABD=∠ACE, ∠B=∠C=180°，∠A=65, ∠FDM=∠E .∠BFC=∠BAC=, 2 .'AB=AC, .∠DFC=180°-&. ②当AB的垂直平分线MN与 ∠B=∠ACB. 4.(1)证明：利用SAS证△ACE CA的延长线相交时，图略，则 .∠B=∠DMB. 2△BCD, ∠DAB=90°-40°=50° ∴.BD=MD. 得AE=BD: .AB=AC, BD=CE,∴.MD=CE. (2)由(1)证，∠CAE=∠CBD, ∴.∠B=∠C= 2∠DAB=25°. 在△DMF和△ECF中， 从而得∠AFB=∠ACB=60°； '∠MDF=∠E, (3)过点C作CM⊥AE,CNI 9.A ∠MFD=∠CFE, BD,垂足分别为M,N, 专题六特殊三角形中 MD=CE. 由S△CE=S△D,且AE=BD,得 常见辅助线的作法 ∴.△DMF≌△ECF(AAS). CM=CN,再利用角平分线的性 1.作EF⊥AC于点F. .DF-EF. 质得证； .EA=EC, 2.延长AD交BC于点F, (4)CF=EF+DF. 58 综合与实践最短路径问题 =16; 第2课时 单项式乘以多项式 1.B2.4≤CE≤73.略.4.D (2),2￥(2x+1)=64, 1.A2.D 5.C6.4 22X22+1=2,22+红+1=25， 3.(1)12a-18ab;(2)-6x2+ 7.作A关于BC和CD的对称点 3 A1,A2,连接A1A2,交BC于E, 2x+3=6,x= 18y;(3)-x3y-6xy+2x;(4) xy-2xy. 交CD于F,则A1A2即为△AEF 16.1.2幂的乘方与积的乘方 4.D5.D 的周长最小值.作DA延长线 第1课时幂的乘方 6.(1)-6x3y+4x2y AH,在四边形ABCD中，∠B= 1.A2.A3.C4.B5.b (2)2x3y2-4xy+2xy ∠D=90°，∠C=70°，.∠DAB 6.33729 7.C8.D =110°，在△AAA2中，∠A+ 7.(1)a2m4;(2)(x-y)12;(3) 9.(1)a3+3a;(2)4x3y+x2y. ∠A2=180°-110°=70°，由对称 -2a". 性质可知∠BAE=∠A1,∠DAF 8.B9.225 6由题意得日中合-0： =∠A2,∴.∠BAE+∠DAF= 10.(1)-8a2;(2)-3x6; 70°，∴.∠EAF=110°-70°=40°. (3)2x+5y-3=0,.2x+5y 舒得侣2. 章未核心考点与素养提升 =3,.4·32”=22x·25= 原式=3ab2-6a3-4a(ab)= 1.B2.113.(1)图略.(2)2.5 22+5=28=8. 3ab2-6a3-4ab2=-6a 4.C5.B6.C7.45 11.（1)x3·x+》=x3++8= -a56, 8.(1)图略. (x2")2=16. 当a=2,b=-1时，原式=-6 (2)连接AD, (2)9(x3")2-13(x2)2m=9(x2m)3 ×23-25×(-1)2=-48-32 :AB=AC,∠A=108°， -13(x2")2=9×43-13×42 =-80. ∴∠B=∠C=36°， =368. 由(1)得：AD=CD, 第2课时 积的乘方 1.(DS-ab+a(a+6) .∠DAC=∠C=36°， 1.D2.C3.C4.x28 5 ∴.∠ADB=∠DAC+∠C=72°， 5. +号a+a+6:h ∠BAD=∠BAC-∠DAC=108° 1 1 -36°=72°， 一2 6.B7.2.9791×10 ab+d+ab+ah+6 = .∠BAD=∠BDA, 8.(1)-27ab;(2)4×10; ∴AB=BD, (3)-48.x°. -+6+. ∴.△ABD是等腰三角形. 9.B10.18411.5×10 (2)将a=2cm,b=3cm代入原 9.D10.B11.612.30 12.(1)18x8;(2)8. 式得 13.(1)△BDC≌△AEC 13.(1)2+3·3+8=(2X3)+8 2+号×2X3+×3=号 2 (2)AE∥BC =6+3, 23.5cm. (3)成立 362=62r-2)」 证明：△ABC,△EDC为等边 .x+3=2(x-2),解得x=7. 12.(1)由愿意得：B=-专[(3 三角形， (2)6=(2×3)6=25×36= 3b)x2+(a+2)x+3y-10 ∴.BC=AC,DC=CE,∠BCA= (23)2×(32)3=mn3. ∠DCE=60°. (3x2+ax-3y+2)] 16.2整式的乘法 ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+ 第1课时单项式乘以单项式 =一 [(3-36)r+a+2)x+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE. 3y-10-3x2-ax+3y-2] 在△DBC和△EAC中， 1.C2.D3.9a 号6 BC=AC, ∠BCD=∠ACE, 4.)-4:(2号r. 号（-3动r+2x+6y-12 DC=EC, 5.3.6×10cm36.4.8×10 =br-景-2y+4: ∴.△DBC≌△EAC(SAS). ∴.∠EAC=∠B=60°. 7.ary(2)-m (2)由题意，得3-3b=0,a十2 =0, 又：∠ACB=60°，.∠EAC 解得b=1,a=-2, =∠ACB. 8.由题意，得”一6+3m+1=4 -2-n+2n=1' ab(abi-ab-b)=ab-ab ∴.AE∥BC. 解得： /m=2 -ab 第十六章整式的乘法 n=3 =(-2)3×15-(-2)2×1- 16.1幂的运算 9.(1)-2-1 (-2)×12 16.1.1同底数幂的乘法 (2)当x=-2,y=-1时， =-10. 1.D2.C3.A4.8×10 原式=-24xy°=192. 第3课时 多项式乘以多项式 5.(1)-a5;(2)-2;(3)x5m-2 10.(1)-2°x2" 1.A2.B 6.ab82x5正确 (2)x·(-2x2)·4x3·(-8x)3.(1)a2+2a-3;(2)x3+1:(3) 7.38.19.1850 ·…·(-2”x10) 12a2-7ab-10b. 10.(1)x°；(2)-(n-m)8. =一21+2+3+4+…+9x+2+3+4+…+10 11.(1)由题意得：1*3=2×2 =-245x5. 4c5.(e+ia+16) 6.D 60