15章综合与实践(最短路径)（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15章综合与实践(最短路径问题) 目 录 A组 巩固过关 题型01 两点一线 题型02一点两线双对称 题型03 一点两线单对称+垂直 题型04 两点两线 题型05 选址造桥 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )两点一线 1.如图，直线l外有不重合的两点A、B．在直线l上求一点C，使得的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点．②连接交直线l于点C，则点C即为所求．在解决这个问题时，没有用到的知识点是（ ）    A．线段的垂直平分线性质 B．两点之间线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．角平分线的性质 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题等知识，线段垂直平分线的性质定理，两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵点B和点关于直线l对称，且点C在l上， ∴l垂直平分， ∴． ∵交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴，即． 任取直线l上一点，与点C不重合，则， 即是的最小值． ∴没有用到的知识点是：角平分线的性质， 故选D． 2.如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质 【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，即可得到周长的最小值． 【详解】解：如图，设交于，连接， 垂直平分， 、关于对称． ． ∴ ∴， ∴当和重合时，的周长最小． ∴周长的最小值是． 3．如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分是，. （1）的面积为______； （2）点在轴上，当的值最小时，在图中画出点，并求出的最小值. 【答案】（1）;（2）. 【难度】0.65 【知识点】轴对称综合题(几何变换)、勾股定理与网格问题 【分析】（1）利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P点即为所求，利用勾股定理求出A′P的长即可． 【详解】（1）（1）S△AOB＝3×3−×2×3−×3×1−×2×1＝9−3−−1＝ 故填：； （2）点关于轴对称的点，连接，（或点关于轴对称的点连接）. 与轴的交点即为满足条件的点，（注：点的坐标为）是边长为5和2的矩形的对角线，所以，即的最小值为. 【点睛】本题考查网格作图、勾股定理和直角三角形的面积，根据题意作出点A的对称点A′是解答此题的关键． ( 题型0 2 )一点两线双对称 4.唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 5.如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】其他问题(轴对称综合题)、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． ( 题型0 3 )一点两线单对称+垂直 6.如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、含30度角的直角三角形、垂线段最短 【分析】本题主要考查了最短路线问题，作点关于的对称点连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离及相关知识的应用． 【详解】如图所示，作点关于的对称点连接 则，， ∴， 当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 7.如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积．过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，证明，得到，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，根据垂线段最短可得最小，即最小值为的长， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． ( 题型0 4 )两点两线 8.如图，山娃星期天从处赶了几只羊到草地吃草，然后赶羊到小河饮水，之后再回到处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明吃草与饮水的位置．    【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、最短路径问题 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交，于点，，即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交，于点，．    点为吃草的位置，点为饮水的位置，则是他走的最短路线． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9.如图，点、是内两点，分别在和上找点和，使四边形周长最小． 【答案】见解析． 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据题意和两点之间线段最短，首先画出点P关于OM的对称点P₁,再画出点Q关于直线ON的对称点Q₁,连接P₁Q₁于OM,ON交于点A,B,,四边形PABQ周长最小． 【详解】 作法：首先画出点P关于OM的对称点P₁,再画出点Q关于直线ON的对称点Q₁,连接P₁Q₁于OM,ON交于点A,B,,四边形PABQ周长最小．． 【点睛考查的是四边形的周长最短，把它转化成线段最短问题． ( 题型0 5 )造桥选址 10.如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 11.如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为BC边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明，再由即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵，，， ∴． 设，则， 在中， ∵，， ∴， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键． 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．15° 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三线合一、等边三角形的性质、两点之间线段最短 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴D为BC中点， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE≥BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE=60°， ∵BA=BC，AE=EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBC=30°， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=30°， ∴∠ACP=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 2．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】轴对称综合题(几何变换)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果． 【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，    ∵点B与点D关于AC对称 ∴FD=FB ∴FD+FE=FB+FE=BE最小 又∵正方形ABCD的面积为16 ∴AB=4 ∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=4． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段． 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为________ 【答案】18 【难度】0.65 【知识点】三线合一、轴对称综合题(几何变换)、最短路径问题 【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值． 【详解】解：是以为底边的等腰三角形，平分， 垂直平分， 点与点关于对称， ， 如图所示，当点与点重合时，， 此时的周长最小， ，，的周长为30， ， 周长的最小值为， 【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 4.如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________ 【答案】4.8 【难度】0.65 【知识点】三线合一、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，根据作图可知，平分，三线合一，得到垂直平分，连接，则：，，得到当三点共线时，的值最小，再根据垂线段最短，得到当 最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∵， ∴， ∴垂直平分， ，连接，则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵N是线段上的动点， ∴当时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为； 5如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为__________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 6.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为_______ 【答案】50 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ=PE+EQ′=PQ′． 【详解】解： 如上图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm， ∴AB=AC=2AD=70， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+EQ=PE+EQ′=PQ′， ∴QD=DQ′=15（cm）， ∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm) ∵BP=20（cm）， ∴AP=AB-BP=70-20=50（cm） ∴AP=AQ′=50（cm）， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=50（cm）， ∴PE+QE的最小值为50cm． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 7.如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，则：，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8.重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从处到达处（到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从到的路程最短，处到处的最短路径长为________公里． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，平行四边形的性质，勾股定理等知识， 过A作，且等于河宽，过B作，且等于河宽，连接，与河岸相交于、．作、即为桥，根据平行四边形的性质得到，，然后得到处到处的最短路径长即为的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过A作，且等于河宽，过B作，且等于河宽，连接，与河岸相交于、．作、即为桥． 由作图可知，，， 则四边形为平行四边形， ， 同理，， ∴ ∴处到处的最短路径长即为的长度 ∵到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里，河宽相同，都为0.5公里 ∴（公里） ∴（公里） ∴（公里） ∴处到处的最短路径长为6公里． 故答案为：6． 1．【代几综合】如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是_________ 【答案】（0，3） 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3， 过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1， 则B′E=4，即B′E=AE， ∴∠EB′A=∠B′AE， ∵C′O∥AE， ∴∠B′C′O=∠B′AE， ∴∠B′C′O=∠EB′A， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 2．【综合应用】如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为______ 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过点作于，交于，则此时，的值最小，利用等边三角形的性质求出角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出边的长度，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于，交于， 则此时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．【方程思想】如图，在中，，的角平分线交于点，点、分别是、上的动点，当取最小值时，，则的度数为_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理、线段问题(轴对称综合题)、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】因为要找折线段的最小值，所以用对称法，作点关于的对称点，则，当、、共线且时，取最小值．利用对称性质得到对应角相等，结合，推导，由轴对称性质和三角形内角和定理推出，由角平分线定义知，结合，，可得到的度数． 【详解】作点D关于的对称点，过点作于点G，连接， 设交于点H， 则， ∴， ∴的最小值为的长， 当点E在上，F在点G的位置时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，， ∴在和中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15章综合与实践(最短路径问题) 目 录 A组 巩固过关 题型01 两点一线 题型02一点两线双对称 题型03 一点两线单对称+垂直 题型04 两点两线 题型05 选址造桥 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )两点一线 1.如图，直线l外有不重合的两点A、B．在直线l上求一点C，使得的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点．②连接交直线l于点C，则点C即为所求．在解决这个问题时，没有用到的知识点是（ ）    A．线段的垂直平分线性质 B．两点之间线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．角平分线的性质 2.如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．12 B．6 C．7 D．8 3．如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分是，. （1）的面积为______； （2）点在轴上，当的值最小时，在图中画出点，并求出的最小值. ( 题型0 2 )一点两线双对称 4.唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 5.如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． ( 题型0 3 )一点两线单对称+垂直 6.如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7.如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 ( 题型0 4 )两点两线 8.如图，山娃星期天从处赶了几只羊到草地吃草，然后赶羊到小河饮水，之后再回到处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明吃草与饮水的位置．    9.如图，点、是内两点，分别在和上找点和，使四边形周长最小． ( 题型0 5 )造桥选址 10.如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 11.如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为BC边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．15° 2．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为________ 4.如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________ 5如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为__________ 6.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为_______ 7.如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 8.重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从处到达处（到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从到的路程最短，处到处的最短路径长为________公里． 1．【代几综合】如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是_________ 2．【综合应用】如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为______ 3．【方程思想】如图，在中，，的角平分线交于点，点、分别是、上的动点，当取最小值时，，则的度数为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 15章综合与实践（最短路径问题） 参考答案 A组 巩固过关 颗型n1 两点一线 1.D 2.c 1 11 3.(1) (1)S△Aac=3x3-2x2x3- 4r381-99是1-名 故填：2 (2)A(3,2)点关于x轴对称的点A(3,-2),连接AB,(或B(1,3)点关于x轴对称的点B(1,-3)连接 AB). -43-2-10 2345 AB与x轴的交点即为清足条件的点P,(注：P点的坐标为号，0)AB是边长为5和2的矩形的对角 线，所以PA+PB=AB=V52+2-V29,即PA+PB的最小值为V29. 1/3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 一点两线双对称 4.A 5.140 100 题型03 一点两线单对称+垂直 6.D 7.A 题型04 两点两线 8.解：如图，作点A关于l1的对称点E,点B关于l2的对称点F,连接EF,分别交l1,12于点C,D .C 草地 4 B 小河 点C为吃草的位置，点D为饮水的位置，则AC-CD-DB是他走的最短路线. M B 作法：首先画出点P关于OM的对称点P,再画出点Q关于直线ON的对称点Q1连接P1Q1于OM,ON交于点 A,B,四边形PABQ周长最小.· 题型05 造桥选址 10.D 11.D 2/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.A 2.B 3.18 4.4.8 570 6.50 7.160 8.6 C组 思维拔高 1.(0,3) 2.10 3.112.5° 3/3