第15章 易错攻坠特训三&章末核心考点训练&综合与实践 最短路径问题-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

·∠ABC-∠EBA=∠ACB-∠FCA,即LGBC=∠GCB, ,GB=GC,.点G在BC的垂直平分线上 :AB=AC,,点A在BC的垂直平分线上， .AD垂直平分BC, D为BC的中点. (3)解：AE=AF+AC.证明如下： 如答图，在AE上截取AH=AF,连接FH,FC. ·.·AB=AC,∠ABC=30°， ∴.∠ACB=∠ABC=30°， ∴.∠BAC=180°-30°-30°=120° :点D为BC的中点， ∴.∠BAD=∠CAD= 1 2 ∠BAC= 答图 60°，AD垂直平分BC, ∴.∠EAF=∠CAD=6O°，FB=FC,∴.∠FBC=∠FCB, .∴∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB,∴.∠FBA=∠FCA. FB=FE,..FE=FC, 六.∠FEC=∠FCE,∴.∠FEA=∠FBA :AH=AF,∠FAH=60°，△FAH是等边三角形， ∴.AH=HF=AF,∠AHF=60°， .∠EHF=180°-60°=120°，∠BAF=180°-∠BAD=120°， ∴.∠EHF=∠BAF,∴.△EHF≌△BAF(AAS), ∴.EH=AB,∴.EH=AC ·AE=AH+EH, .AE=AF+AC. 易错政坚特训三 1.B :易错点拨 : 本题易误判对称图形的对应边一定平行，忽略了 轴对称仅保证对应点连线被对称轴垂直平分、对应角 相等：对应边可能相交，不一定平行 2.C :易错点拨 易误判圆的组合图形的对称轴为无数条，忽略轴 对称图形需沿直线对折后完全重合，本题中只有过中 心与每个圆的圆心的直线才是对称轴，共3条. 3.B :易错点拨 易混淆关于坐标轴与其他直线对称的坐标规 律.关于y轴对称的点，纵坐标相同、横坐标互为相反 数；关于x轴对称的点，横坐标相同、纵坐标互为相反 数，切勿记混， 4.解：(1)点(-1,0)关于直线1对称的点的坐标为(3,0). (2)点(2,1)关于直线1对称的点的坐标为(0,1). (3):直线1平行于y轴，且P和Q两点关于直线1成轴 对称， .P,Q两点的纵坐标相等，且两点到直线1的距离相等， .n=-3,5-1=1-m,解得m=-3,n=-3. 参考答案及解析 :易错点拨 易误用关于y轴对称的点的坐标规律，忽略对称 轴是直线x=1而非y轴.关于直线x=a对称的点，纵 坐标不变，横坐标到直线x=a的距离相等 5.证明：.·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC .DE=DF. 在R△ABD和R△AFD中，AD=AD, (DE=DF, .Rt△AED≌Rt△AFD(HL),.AE=AF. .DE=DF,AE=AF, .AD垂直平分EF :易错点拨 易混淆“垂直”和“平分”两个条件，仅证明 DE=DF或AE=AF,就直接判定AD是EF的垂直平分 线，忽略了需同时证明“点到线段两端距离相等”且 “两点才能确定条直线”二者缺不可 6.C :易错点拨 本题易漏数等腰三角形的个数，易只根据AB= :AC,BD=BC=AD,DE=AE直接判断，忽略BD=BE. 7.B :易错点拨 本题需按“AB=AC,AB=BC,AC=BC”三种情况全 面分析，易忽略点C在x轴正负半轴的不同位置，造成 符合条件的点C计数不全 8.6 :易错点拨… 本题易因分类讨论不全漏解，需分AB为腰（分别 以A,B为圆心，AB为半径画圆找格点)和AB为底（作 AB的垂直平分线找格点)两类情况，易漏数部分格点， 导致计数错误 章末核心考点训练 1.C2.A3.100 4.解：由题知M,N分别为点P关于直线AB,BC的对称点， 1 BM=PB=3,BN=BP=3,∠ABP=2∠PBM,∠CBP= 分∠PBN∠ABC=-z.MBx. 又MN=6,∴.BM+BN=MW,∴点B在MN上， ∠MBN=180,∠ABC= 2×180°=90. 5.A6.A7.A8.D9.B 10.解：(1)根据题意，可得∠BAC=90°-75°=15°，∠CBE= 90°-60°=30°，AB=15×2=30(海里)， ,∠C=30°-15°=15°，∴.∠BAC=∠C, .BC=AB=30海里， .B处到灯塔C的距离为30海里。 (2)会有触礁的危险.理由如下： 如答图，过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. ·19· 同步练测·八年级数学（上册） ∠CBD=30,BC=30海里，CD=28BC=15海里， 15<16, .若这条船继续由西向东航行，会有触礁的危险。 C 北 A北 方E 10题答图 11.解：(1)22.5 (2)∠1=2∠2.证明如下： AD=AE,.∠AED=∠ADE. ,AB=AC,∴.∠B=∠C ∴.∠B+∠1=∠ADE+∠2=∠AED+∠2=∠2+∠C+∠2， 即∠BAD=2∠CDE,即∠1=2∠2. 12.(1)解：△ACE是等腰三角形.理由如下： DC∥AB,.∠ACD=∠BAC. 由折叠性质，可得∠BAC=∠B'AC, ∠ACD=∠B'AC,∴AE=CE, ,△ACE是等腰三角形. (2)解：BD=DE+CE.理由如下： 同(1)可证，△BD0为等腰三角形，BD=OD. :C0平分∠ACG,D0BC,∴∠OCG=∠EC0=∠E0C, .△COE为等腰三角形，即CE=OE BD=DO=DE+OE. .∴.BD=DE+CE. (3)证明：如答图. .·AD∥EF,AE平分∠BAD,∴.∠1=∠2=∠3， ,△AEF是等腰三角形，即AF=EF. AB=2EF,.EF=BF,.∠4=∠5 ,:∠2+∠3+∠5+∠4=180°，即2∠3+ 2∠4=180°， .∠3+∠4=90°，.∠AEB=90 12题答图 .AE⊥BE 综合与实践 最短路径问题 解：【活动一】AB 【活动二】(1)AB=2BD (2)如答图①，点F即为所求 :△ABC是等边三角形，AD是△ABC的 中线，.BF=CF ,BF+EF=CF+EF≥EC, .当点E,F,C三点共线时，BF+EF的值 最小，即CE的长度 :在等边三角形ABC中，AD是△ABC的B D 中线，E为AB边的中点， 答图① .CE=AD=4, .BF+EF的最小值为4 【活动三】DG+FG的最小值为 3 2 解析如答图②，在 ·20· AB上取点F',使AF'=AF,连接GF'.AE是△BAC的角平分 线，.∠F'AE=LFAE.在△FAG和△FAG中， (AG=AG, ∠F'AG=LFAG,.△F'AG≌△FAG(SAS),∴.GF'=GF. AF=AF, GD+GF=GD+GF≥DF,,当F',G,D三点共线时，DG+ FG有最小值，即DF的长 度，当DF⊥AB时，DF 最小，·BC=4CD=4, ∴CD=1,∴.BD=BC-CD= 3.∠B=30°，.DF= G+G的 B D 1BD=- 答图② 3 最小值为 2 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 基础达标练 1.A2.C3.B4.C5.A6.a3m+15 7.(1)a26(2)2x3(3)-243(4)32 8.解：(1)原式=(-y)31+4=(-y)8=y8. (2)原式=(a+b)2m+m-1+2m+2=(a+b)5m+1 9.解：(1)107a8(2)am+n(3)x200 10.B 11.解：(1)34 (2)(4,5)=a,(4,18)=b,(4,90)=c, 44=5,4=18,4=90, .40×4=4a+b=5×18=90, 4a+6=49, ,∴.a+b=c. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 课时1幂的乘方 基础达标练) 1.B2.A3.D 4.解：(1)(115)9=115×9=1145 (2)(-a2)4=(-a)2x4=a8 (3)-(x4)7=-x4×7=-x28 (4)(m")2=m2xn=m2n. 5.D6.B7.1 8.解：(1)324=(3)2=82=64. (2)3a+6=34·36=4×16=64 (3)a+b=2c. 微专题5利用幂的乘方法则比较大小 1.B2.A 变式训练 1.<2.a<b<c第十五章轴对称 易错攻坚特训三 [答案P19] 易错点1/不能正确理解对称轴的含义 易错点3/对线段的垂直平分线的判定理解不清 1.如图，若△ABC与△A'B'C关于直线MN对称， 5.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD, BB'交MN于点O,则下列说法中不一定正确的是 作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且AD平分 ∠BAC,连接EF.证明：AD垂直平分EF A.∠ABC=∠A'B'C B.BC//B'C' C.CC'⊥MW D.BO=B'O 5题图 1题图 2题图 2.如图所示的图案，它的对称轴有 A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 易错点2/混淆关于坐标轴对称与其他直线对称 的坐标关系 3.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(-3,2), B(3,2),C(1,1),D(-1,1).下列说法正确的是 ( A.点A与点B关于x轴对称 易错点4/确定等腰三角形个数时漏解 B.点A与点B关于y轴对称 C.点A与点B关于直线OC对称 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且 D.点A与点B关于直线OD对称 BD=BC=AD,DE=AE,则图中等腰三角形的个数 4.如图，在平面直角坐标系中，直线1是经过点(1， 是 () 0)且平行于y轴的直线， A.3 B.4 c.5 D.6 (1)求点(-1,0)关于直线1对称的点的坐标； (2)求点(2,1)关于直线1对称的点的坐标； (3)点P(m,-3)与点Q(5,n)关于直线l成轴对 称，求m与n的值. 6题图 7题图 8题图 7.如图，已知点A,B的坐标分别为(2,0)和(0,3)， 在x轴上找一点C,使△ABC是等腰三角形，则符 合条件的点C共有 () 4题图 A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 8.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格 中，点A,B在网格的格点上，要在格点上确定一 点C,连接AC,BC,使△ABC是等腰三角形，则网 格图中满足条件的点C有 个 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 67 同步练测 八年级数学（上册）》 章末核心考点训练 [答案P19] 核心考点1/轴对称与轴对称图形 核心考点2/线段的垂直平分线的性质 1.下列图案中是轴对称图形的是 5.如图，在△ABC,已知点D在BC上，且AD=DC, A.G B.F 则点D在 () C. D.S A.AC的垂直平分线上 B.∠BAC的平分线上 2.中国传统窗棂设计美不胜收，古色古香的窗棂代 C.BC的中线上 D.AB的垂直平分线上 表中国古人的智慧以及精湛的工艺.在如图所示 的窗棂的设计图案中，它的对称轴与平面直角坐 标系的坐标轴重合，则点A(-1,1)关于y轴对称 的点的坐标为 ( 5题图 6题图 A.(1,1) B.(1,-1) 6.如图，在△ABC中，∠C=45°，∠B=120°.BC的垂 C.(-1,-1) D.(-1,1) 直平分线交BC,AC于点D,E,AB的垂直平分线 交AB,AC于点F,H.若AH=6,则CE的长度是 A.3 B.2 D.4 2题图 3题图 核心考点3/等腰三角形的性质与判定 3.在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行 7.如图，已知ABCD,直线MN分别与AB,CD交于 折纸活动.如图，把一个长方形纸片沿EF折 点M,N,点E是CD上一点，连接ME.若MW= 叠.若∠1=40°，则∠2= ME,∠BME=65°，则LEMW的度数为（) 4.如图，点P在△ABC的内部，且PB=3,M,N分别 A.50 B.55° C.60° D.65 为点P关于直线AB,BC的对称点，若MN=6,求 ∠ABC的度数. 7题图 8题图 4题图 8.如图所示的三角形中有一个是等腰三角形，则a 的值是 () A.5 B.7 C.8 D.14 9.如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点， DE⊥AC,垂足为点E.若AE=1,则△ABC的边长 为 （) 9题图 A.2 B.4 C.6 D.8 68 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十五章轴对称 10.如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天： 12.【问题背景】 上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时 数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时 的速度由西向东方向航行，10时整到达B处， 一般可得等腰三角形 此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. 如图①，P为∠AOB的平分线OC上一点，过 (1)求B处到灯塔C的距离. 点P作PD/∥OB交OA于点D,易得△POD为等 (2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范 腰三角形 围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行， 【基本运用】 是否有触礁的危险？请你说明理由. (1)如图②，把长方形纸片ABCD沿对角线 AC折叠，使点B落在点B'处，重合部分 北 △ACE是等腰三角形吗？为什么？ A北 【类比探究】 B 10题图 (2)如图③，在△ABC中，∠ABC与外角 ∠ACG的平分线相交于点O,过点O作 ODBC分别交AB,AC于点D,E,试探究 线段BD,DE,CE之间的数量关系，并说明 理由； 【拓展提升】 (3)如图④，在四边形ABCD中，AD∥EF,AB= 2EF,AE平分∠BAD,连接BE.求证：AE⊥BE. 11.如图，在△ABC中，∠B=∠C,D,E分别是线段 B BC,AC上的一点，且AD=AE. H (1)如图①，若∠BAC=90°，D为BC的中点，则 ∠2的度数为 (2)如图②，用等式表示∠1与∠2之间的数量 12题图① 12题图② 关系，并给予证明. 12题图③ 12题图④ 11题图① 11题图② 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 69 同步练测 八年级数学（上册）】 综合与实践最短路径问题 [答案P20] 数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融 合在一起展开一节探究活动课 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题.如图①，用直线1表示河岸，将军从山 脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后回到点B宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ h R 图① 图② 图③ 作法是：如图②，作点B关于直线l的对称点B',连接AB'与直线I交于点C,则点C即为饮马的地方，此时 将军从点A走到点C,再回到点B所走的总路程最短 示例2：如图③，要在河岸1上建一座水泵房Q,修建引水渠PQ,使得Q到村庄P的距离最短.可过点P作 PQL1于点Q,将水泵房建在Q处，这样修建引水渠PQ最短，既省人力又省物力. 示例1中所包含的数学原理是( );示例2中所包含的数学原理是() A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形ABC中，AD是△ABC的中线， (1)直接写出BD与AB的数量关系 (2)若AD=4,E为AB边的中点，F为AD上一点.当BF+EF的值最小时，在图④上标注点F的位置，并求 出BF+EF的最小值. 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图⑤，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠BAC=90°，点D在斜边BC上，且BC=4CD=4,AE是△BAC的角平分 线，F,G分别为AC,AE上一点，请直接写出DG+FG的最小值 图④ 图⑤ 70 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩