第5章 勾股定理与实数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材青岛版八年级上册
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内容正文：
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此卷只装订不密封
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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027学年八年级上册数学单元自测
第5章 勾股定理与实数·基础通关
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（本题3分）2的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（本题3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（本题3分）下列关于立方根的说法中，正确的是（ ）
A．负数没有立方根，所以 没有意义
B．
C．的立方根是
D．立方根与平方根一样，都有两个
5．（本题3分）直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（ ）
A．30 B．36 C．48 D．50
6．（本题3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（本题3分）若，，则（ ）
A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2
9．（本题3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）在中，若，，，则∠________．
12．（本题3分）代数式的最小值为____．
13．（本题3分）如图，数轴上点对应的数为3，于点，且，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点，则的长为_______．
14．（本题3分）比较大小：______（用“>”、“＝”或“<”填空）
15．（本题3分）如图，以直角的两条边向外作两个正方形，其中数字表示该正方形的面积，则的长为__________．
16．（本题3分）已知一个数a的平方根分别是和，则这个数________．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）把下列各数填在相应的大括号内：
3，，1.4，，，0，，，…（每两个1之间逐次增加一个0）．
正数集：{_________________________…}；
非负整数集：{_________________________…}；
负分数集：{_________________________…}；
有理数集：{_________________________…}．
18．（本题8分）解方程．
(1)
(2)
19．（本题10分）某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
20．（本题10分）如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米．
(1)求B处与地面的距离；
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
21．（本题10分）已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？
22．（本题12分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
23．（本题14分）根据以下材料，探索完成任务：
寻找合适的礼品盒
素材1
小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为．
素材2
为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）．
问题解决
(1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________．
(2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长；
(3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由．
试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）
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第5章 勾股定理与实数·基础通关
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（本题3分）2的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（本题3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（本题3分）下列关于立方根的说法中，正确的是（ ）
A．负数没有立方根，所以 没有意义
B．
C．的立方根是
D．立方根与平方根一样，都有两个
5．（本题3分）直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（ ）
A．30 B．36 C．48 D．50
6．（本题3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（本题3分）若，，则（ ）
A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2
9．（本题3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）在中，若，，，则∠________．
12．（本题3分）代数式的最小值为____．
13．（本题3分）如图，数轴上点对应的数为3，于点，且，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点，则的长为_______．
14．（本题3分）比较大小：______（用“>”、“＝”或“<”填空）
15．（本题3分）如图，以直角的两条边向外作两个正方形，其中数字表示该正方形的面积，则的长为__________．
16．（本题3分）已知一个数a的平方根分别是和，则这个数________．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）把下列各数填在相应的大括号内：
3，，1.4，，，0，，，…（每两个1之间逐次增加一个0）．
正数集：{_________________________…}；
非负整数集：{_________________________…}；
负分数集：{_________________________…}；
有理数集：{_________________________…}．
18．（本题8分）解方程．
(1)
(2)
19．（本题10分）某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
20．（本题10分）如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米．
(1)求B处与地面的距离；
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
21．（本题10分）已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？
22．（本题12分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
23．（本题14分）根据以下材料，探索完成任务：
寻找合适的礼品盒
素材1
小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为．
素材2
为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）．
问题解决
(1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________．
(2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长；
(3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由．
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第5章 勾股定理与实数·基础通关（参考答案）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
B
B
B
D
A
C
C
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．B
12．
13．
14．
15．4
16．25
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（8分）
【详解】解：正数集：{，，，（每两个之间逐次增加一个）…}（2分）
非负整数集：{，…}（4分）
负分数集：{，，…}（6分）
有理数集：{，，，，，，…}（8分）
18．（8分）
【详解】（1）解：，
，
，
，
即，；（4分）
（2）解：，
，
，
当时，，
当时，，
即，．（8分）
19．（10分）
【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5，
∴，，
解得：，；（5分）
（2）解：，
∵的平方根是，
∴的平方根是．（10分）
20．（10分）
【详解】（1）解：在中，
米，米，米，
（米），
（米），
答：处与地面的距离是米；（5分）
（2）解：由题意得米，
米，（米），
（米），
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．（10分）
21．（10分）
【详解】解：，
，
，
的整数部分是11，小数部分是，
即，，（4分）
，
，
，
的整数部分是5，小数部分是，
即，，（8分）
∴，
的算术平方根是，
∴的算术平方根是．（10分）
22．（12分）(1)解：是直角三角形，理由如下：
在中， ，，，
∴，
∴．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．（6分）
（2）解：∵，
∴，
费用为：（元）；
∴铺满这块空地共需花费3600元．（12分）
23．（14分）
【详解】（1）解：设这块圆柱形蛋糕的半径为，
这块蛋糕的底面积为，
，
解得：（负值舍去），
即这块圆柱形蛋糕的半径为；（3分）
（2）解：设这个正方体礼品盒的棱长为，
正方体礼品盒的体积为，
，
解得：，
即这个正方体礼品盒的棱长为；
（3）这个礼品盒不能装下这块蛋糕．（7分）
理由：由（1）可知，这块圆柱形蛋糕的半径为，
这块圆柱形蛋糕的直径为，
，
，
，
正方体礼品盒的棱长为，
这个礼品盒不能装下这块蛋糕．（14分）
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第5章 勾股定理与实数·基础通关
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，是正数，不符合要求；
B． 既不是正数也不是负数，不符合要求；
C．，是正数，不符合要求；
D．，是负数，符合要求．
2．（本题3分）2的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，且，
∴ 2的算术平方根是．
3．（本题3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【详解】解：A．∵该选项中的数均为正整数，且，
∴，，是勾股数，符合题意；
B．∵，
∴，，不是勾股数，不符合题意；
C．∵，
∴，，不是勾股数，不符合题意；
D．∵，，均为小数，
∴，，不是勾股数，不符合题意．
4．（本题3分）下列关于立方根的说法中，正确的是（ ）
A．负数没有立方根，所以 没有意义
B．
C．的立方根是
D．立方根与平方根一样，都有两个
【答案】B
【详解】解：，负数也有立方根；立方根只有一个，而平方根有两个，
故选：B．
5．（本题3分）直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（ ）
A．30 B．36 C．48 D．50
【答案】B
【详解】解：∵在中，，为直角边，为斜边，，，
∴设，（），
∴，
即，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，
∴三角形周长为．
6．（本题3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，
观察数轴可知，点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间，
∴表示实数的点可能是点．
7．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【详解】解：，，
∴，，
∴，
故选： D．
8．（本题3分）若，，则（ ）
A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，，
∴ ．
9．（本题3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【详解】解：A选项、，，两数相等，不是相反数；
B选项、，，两数相等，不是相反数．
C选项、，与只有符号不同，两数互为相反数．
D选项、，两数相等，不是相反数．
10．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，
，
根据折叠的性质，得，，，
，，
根据勾股定理，得，
解得．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）在中，若，，，则∠________．
【答案】B
【详解】解：∵，，，，
即，
∵是最长边，它的对角是，
∴．
12．（本题3分）代数式的最小值为____．
【答案】
【详解】解：∵，
∴的最小值是，
当时，，
∴代数式的最小值为．
13．（本题3分）如图，数轴上点对应的数为3，于点，且，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点，则的长为_______．
【答案】
【详解】解：由题意可知，
∵，
∴，
∴在中，．
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）比较大小：______（用“>”、“＝”或“<”填空）
【答案】
【详解】，，且，
．
15．（本题3分）如图，以直角的两条边向外作两个正方形，其中数字表示该正方形的面积，则的长为__________．
【答案】
4
【详解】解：由题可知，，，，
由勾股定理可得：，
．
16．（本题3分）已知一个数a的平方根分别是和，则这个数________．
【答案】
【详解】解：∵一个数a的平方根分别是和，
∴，
整理得，
解得，
将代入得，
∴．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）把下列各数填在相应的大括号内：
3，，1.4，，，0，，，…（每两个1之间逐次增加一个0）．
正数集：{_________________________…}；
非负整数集：{_________________________…}；
负分数集：{_________________________…}；
有理数集：{_________________________…}．
【答案】，，，（每两个之间逐次增加一个）；，；，，；，，，，，，
【详解】解：正数集：{，，，（每两个之间逐次增加一个）…}
非负整数集：{，…}
负分数集：{，，…}
有理数集：{，，，，，，…}
18．（本题8分）解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
即，；
（2）解：，
，
，
当时，，
当时，，
即，．
19．（本题10分）某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5，
∴，，
解得：，；
（2）解：，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
20．（本题10分）如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米．
(1)求B处与地面的距离；
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【详解】（1）解：在中，
米，米，米，
（米），
（米），
答：处与地面的距离是米；
（2）解：由题意得米，
米，（米），
（米），
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
21．（本题10分）已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？
【答案】
【详解】解：，
，
，
的整数部分是11，小数部分是，
即，，
，
，
，
的整数部分是5，小数部分是，
即，，
∴，
的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
22．（本题12分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下：
在中， ，，，
∴，
∴．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
(2)元
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
费用为：（元）；
∴铺满这块空地共需花费3600元．
23．（本题14分）根据以下材料，探索完成任务：
寻找合适的礼品盒
素材1
小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为．
素材2
为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）．
问题解决
(1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________．
(2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长；
(3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)这个礼品盒不能装下这块蛋糕．
理由：由（1）可知，这块圆柱形蛋糕的半径为，
这块圆柱形蛋糕的直径为，
，
，
，
正方体礼品盒的棱长为，
这个礼品盒不能装下这块蛋糕．
【详解】（1）解：设这块圆柱形蛋糕的半径为，
这块蛋糕的底面积为，
，
解得：（负值舍去），
即这块圆柱形蛋糕的半径为；
（2）解：设这个正方体礼品盒的棱长为，
正方体礼品盒的体积为，
，
解得：，
即这个正方体礼品盒的棱长为；
（3）略
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