第5章 勾股定理与实数 单元卷 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理与实数，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合《九章算术》文化素材与折叠、数轴等情境，适配初中数学单元复习，有效检测抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、平方根、勾股定理基础|结合估算（第3题）、网格距离（第7题）考查几何直观| |填空题|6/18|立方根、《九章算术》问题（第13题）、新定义运算（第15题）|融入文化传承与创新情境| |解答题|8/72|实数分类、方程求解、勾股定理综合应用（第21题面积）、阅读探究（第24题验证勾股定理）|突出推理能力与模型意识，如折叠问题（第10题）、数轴与几何结合（第22题）|

第5章 勾股定理与实数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在下列数中： 0，，，，，0.4343343334…（相邻两个4之间3的个数逐次加1）无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、下列各组数中互为相反数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 3、一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 4、的平方根是（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5、下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 6、已知直角三角形两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 7、如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 8、下列给出的条件中，不能使得三角形为直角三角形的是（ ） A. 三个内角度数之比是1：2：3 B. 三个外角度数比为2：3：4 C. 三边长之比为5：12：13 D. 三边长的平方之比是1：3：4 9、如图，长方形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D． 10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、的立方根是___________. 12、有一个数值转换器，原理如图所示，当输入为64时，则输出的值是______． 13、《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 14、比较大小： （填“>”或“<”）． 15、对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 16、在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 秒时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，0，，，2027． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 18、求下列各式中的x的值 （1）4＝25 （2）． 19、计算：（1）． （2） 20、已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21、如图，在△ABC中，是△ABC内一点，连接，且．已知．   (1)求△ABC的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 22、如图，正方形的边在数轴上，数轴上点B表示的数为，正方形的面积为16．图中阴影部分为正方形．    (1)数轴上点A表示的数为___________； (2)求图中阴影部分的面积是多少？ (3)阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长． 23、我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为_____． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 勾股定理与实数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在下列数中： 0，，，，，0.4343343334…（相邻两个4之间3的个数逐次加1）无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【详解】解：0是整数，是有限小数，=2是整数，是分数，它们都是有理数，，0.4343343334…（相邻两个4之间3的个数逐次加1）是无理数. 2、下列各组数中互为相反数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A、5与相等，不互为相反数，不符合题意； B、与相等，不互为相反数，不符合题意； C、与互为相反数，符合题意； D、与相等，不互为相反数，不符合题意； 3、一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】C 【详解】解：∵正方形的面积是18， ∴它的边长是， ∵， ∴， 即它的边长的大小在4与5之间． 4、的平方根是（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】D 【详解】解：， 因为9的平方根是， 所以的平方根是， 5、下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【详解】解：，故本选项不合题意； ，故本选项不合题意； ．，故本选项符合题意； ，故本选项不合题意． 6、已知直角三角形两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 【答案】C 【详解】解：当4为直角三角形的直角边时，斜边=； 当4为直角三角形的斜边时，则斜边=4． 7、如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为． 8、下列给出的条件中，不能使得三角形为直角三角形的是（ ） A. 三个内角度数之比是1：2：3 B. 三个外角度数比为2：3：4 C. 三边长之比为5：12：13 D. 三边长的平方之比是1：3：4 【答案】B 【详解】解： 当三个内角度数之比是1：2：3时，最大的角的度数是：180°×＝90°，故A选项不符合题意； 当三个外角度数比为2：3：4时，最小的外角是：360°×＝80°，最大的内角的度数是：180°−80°＝100°＞90°，故B选项符合题意； 当三边长之比为5：12：13时，，故该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； 当三边长的平方比为1：3：4时，因为故该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 9、如图，长方形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C． 【详解】解：∵四边形为长方形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6， 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x， 在Rt△CDB'中， 根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 故答案为3． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、的立方根是___________. 【答案】 【详解】=，则的立方根是， 故答案为. 12、有一个数值转换器，原理如图所示，当输入为64时，则输出的值是______． 【答案】 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数，输出， 则， 故答案为：． 13、《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 14、比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【解析】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 15、对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 16、在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 秒时，为直角三角形． 【答案】6或 【详解】解：∵，， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 当时，过点P作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上分析可知：t为6秒或秒时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，0，，，2027． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 【答案】正分数：，，； 非负整数：，，2027； 无理数：，，，（相邻两个之间依次多一个）； 有理数：，，，，，2027 【详解】解：正分数集合{，，，}； 非负整数集合{ ，，2027}； 无理数集合{，，，（相邻两个之间依次多一个）；}； 有理数集合{，，，，，2027}； 18、求下列各式中的x的值 （1）4＝25 （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 4＝25 【小问2详解】 19、计算：（1）． （2） 【答案】（1）0 （2） 【详解】（1） （2） ． 20、已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 21、如图，在△ABC中，是△ABC内一点，连接，且．已知．    (1)求△ABC的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)24 【详解】（1）解：， ∴=+=25， ∴AB=5 的周长为． （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 22、如图，正方形的边在数轴上，数轴上点B表示的数为，正方形的面积为16．图中阴影部分为正方形．    (1)数轴上点A表示的数为___________； (2)求图中阴影部分的面积是多少？ (3)阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长． 【答案】(1) (2)10 (3)，在数轴上表示见解析 【详解】（1）解：∵正方形的面积为16， ∴， ∵数轴上点B表示的数为，由图可知点A在点B左侧， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：图中阴影部分的面积； （3）解：∵图中阴影部分的面积10， ∴阴影部分正方形的边长是，    以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点，如图所示，该点即为所求． 23、我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为_____． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【详解】解：【探索新知】由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】（1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2） ， 一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $