第一章 勾股定理（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 八年级上册勾股定理单元卷，以文化传承（《周髀算经》《算法统宗》）和生活应用（台风、放风筝、蚂蚁爬行）为情境，覆盖基础计算、推理证明、综合应用，适配单元复习能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、直角三角形计算、命题判断|结合《周髀算经》考勾股数，渗透文化传承| |填空题|6/18|勾股定理应用、最短路径|长方体表面蚂蚁爬行最短距离，培养空间观念| |解答题|9/72|综合应用、推理证明|放风筝问题（第18题）、台阶与圆柱最短路径（第23题），体现模型意识与推理能力|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D A C C C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．51 13．是 14． 15． 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得；............2分 （2）解：设，则可得， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ．............6分 18． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米．............3分 （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米．...........6分 19． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；............3分 （2）解：在中，， ∴， 由（1）得， ∴．............6分 20． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得；............2分 （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或；............4分 （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或．............6分 21． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且．............4分 （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全．............8分 22． 【详解】（1）解：∵，， ∴；............2分 （2）解：∵， ∴在和中，根据勾股定理，， ∴， 解得：；............5分 （3）解：由（2）得：， ∴．............8分 23． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25；............2分 （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；............5分 （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．............8分 24． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，是直角三角形；............2分 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形．............7分 （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．............12分 25． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， ．............3分 （2）解：设拼成的正方形边长为（，为正整数）， 正方形的面积， 又正方形面积， ， 解得， ，， 正方形面积最小， ， ，， ，正方形边长为．............6分 （3）解：由图4可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积， ， ．............9分 （4）解：在中，， ，， ， 点是边上的一动点， 当时，最小， ， 又， ， ．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 2．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 3．在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 4．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 9．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 12．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则 __________ 13．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 14．（25-26八年级下·河南安阳·期末）在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 16．已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．中，，于，， (1)求长； (2)求长． 18．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 19．综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得．    【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 (1)求证：； (2)求的长． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 21．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 22．探究实践：如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． (1)作于点，设，用含的代数式表示_____； (2)根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； (3)利用勾股定理求出的长，再计算的面积． 23．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 25．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； (4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 【答案】D 【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数. 本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】解：A：∵ ，，， ∴ 12，13，14不是勾股数； B：∵ ，， ， ∴ 24，25，26不是勾股数； C：∵ ，， ， ∴ 9，30，31不是勾股数； D：∵ ， ∴ 9，40，41是勾股数． 2．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】已知直角三角形的斜边长和一条直角边长，可直接利用勾股定理计算另一条直角边长． 【详解】解：设另一条直角边长为，， ∴， ∴ ， ∴ ． 3．在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵在中，，且为斜边， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 5．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵，，是一组勾股数，不妨设， ∴， ∴，，仍是勾股数，故②正确； ③∵，，，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，a为斜边， ∴由勾股定理得，代入得， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，，， ， ，正确，不符合题意； C、，结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为， ， ， 则， 解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意． 9．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 12．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则 __________ 【答案】51 【分析】设，根据勾股定理，得，得到，解答即可． 【详解】解：， 设， 根据勾股定理，得， 故， 解得， ， ． 13．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 14．（25-26八年级下·河南安阳·期末）在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答． 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 【答案】 【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算，对比后得出结论． 【详解】解：①当蚂蚁从上表面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴； ②当蚂蚁从右侧面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为． 16．已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：如图，由题意可得：，，过作于，交于，证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，由题意可得：当，，，过作于，交于， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积是． 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 综上：的面积为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．中，，于，， (1)求长； (2)求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）设，则可得，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得； （2）解：设，则可得， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ． 18．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 19．综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得．    【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 由（1）得， ∴． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 21．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 22．探究实践：如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． (1)作于点，设，用含的代数式表示_____； (2)根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； (3)利用勾股定理求出的长，再计算的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据可得答案； （2）在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得的值； （3）先求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴在和中，根据勾股定理，， ∴， 解得：； （3）解：由（2）得：， ∴． 23．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 25．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； (4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）图2中大正方形边长为，其面积既可整体表示为，也可分割为3个正方形与6个矩形面积之和，据此建立恒等式． （2）拼成的正方形总面积为，设边长为展开后比较系数，由项得，取最小正整数确定、及边长． （3）大正方形面积用两种方法表示：整体得，分割得4个直角三角形与中间小正方形面积之和，联立即得、、的数量关系． （4）先由勾股定理求斜边，再根据垂线段最短知当时取最小值，利用面积法列方程求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， ． （2）解：设拼成的正方形边长为（，为正整数）， 正方形的面积， 又正方形面积， ， 解得， ，， 正方形面积最小， ， ，， ，正方形边长为． （3）解：由图4可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积， ， ． （4）解：在中，， ，， ， 点是边上的一动点， 当时，最小， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26八年级下·安徽合肥期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的 数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.12,13,14B.24,25,26 C.9,30,31 D.9.40.41 2.在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为() A.6 B.7 C.10 D.12 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4,则AB2+BC2+AC2等于() A.32 B.16 C.20 D.25 4.(25-26八年级下广东惠州期末)如图，强台风时一棵大树在距离地面5m的点C处折断，大树顶端 的着地点A与大树底端B的距离为12m,则这棵树折断前的高度为(） A.17米 B.18米 C.25米 D.30米 5.下列命题： ①如果直角三角形的两边是5,12，那么斜边必是13： ②如果a、b、c为一组勾股数，那么3a、3b、3c仍是勾股数： ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形： ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,(a>b=C),那么a2:b2:c2=2:1:1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 6.(25-26八年级下·河南安阳期末)如图，分别以Rt△ABC的直角边AB,BC为边向外作正方形，其面 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积分别为5.8，以斜边4C为直径向外画半圆，其面积为.若=5.S3,则S等于《) S S B A.π B.2π C.4π D.8π 7.我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田 的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩.设长方形田的宽为x步，则可列方程为() A.30+x=50-x B,30+(50-x)}=x2 c.302+x2=(50-x)月 D.r+(50-x}=30 8.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则下列结论错误的是 () A.AB2=20 B.∠BAC=90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 9.如图，Rt△ABC中，AB=8,BC=6,∠B=90°，M,N分别是边AC,AB上的两个动点.将 △ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在边BC的三等分点处，则线段BN的长为() M B 15 15 A.3 B. C.3或4 D.3或3 10.(25-26八年级下湖北襄阳期末)如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形(Rt△ADE, 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△DCH,Rt△CBG,Rt△BAF)与一个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD,连接DF交CH于 点M,已知正方形ABCD的面积为25，DE=2AE,下列结论正确的是（) D H G A.正方形EFGH的面积为4 B.DF2=20 C.M是DF的中点 D.BG.CG=15 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(25-26七年级下山东济南期末)若6，a,10是勾股数，则a的值是 12. (25-26八年级下安徽阜阳期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=5:12,c=39,则a+b= 13.(25-26八年级下·重庆潼南期末)如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两个入口 B,C,通过道路BA,CA可前往观景点A.因景区改造，需要关闭通道CA,为方便游客观景，分散人流， 决定新修道路AD(点D在BC上).经测量：AB=1.5km,AD=1.2km,BD=0.9km.则AD是否为从 A到河边的最近道路 一（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）. B/ D 14.(25-26八年级下·河南安阳期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,P是AB上一动点， 则PC的最小值为 15.如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从N点向M点处 爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 M 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.已知点A,B,C分别在从上往下相互平行的直线， ,5上，与之何的距离是1，与之间的 距离是2.若△ABC是等腰直角三角形，则它的面积是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D,CD=3,AC=5, D (I)求AD长： (2)求AB长. 18.(25-26八年级下·安徽六安·期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节. 某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为16米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为34米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米. B E 77777777777777777 (I)求风筝的垂直高度CE； (2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 19.综合与实践. 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究. 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺. 418 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,让小球A可以自由 摆动，OA表示小球静止时的位置： 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从OA摆到OB位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到OC位置，使得OB⊥OC, 图1 图2 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点B和点C的位置（图中的A,B,O,C在同一平面上），并过 点B作BD⊥OA于点D,过点C作CE⊥OA于点E,测得OB=17cm,BD=8cm, 【实践探索】 (1)求证：OE=BD: (2)求DE的长. 20.(25-26七年级下江苏宿迁期末)定义：任意三个数a,b,c若满足a+b+c=3b,则称c为a,b 的“调和数” (1)若a=3,b=4,则a,b的“调和数”c= ②若b=2,+b2=8,求，b的“调和数”G 3)若a,b的“调和数”c满足c2=a2+b且a,b,c均为正整数，求c的值. 21.【问题情境】如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高. 斜梁 竖梁 横梁 图① 图② 图③ 【特例研究】 (I)若CD=1,AD=2,BD=4,求证：AB⊥AC: 【问题解决】 518 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁BD上AC,斜 梁AC=4.2m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB不垂直则为不安全房梁，请判断小华设 计的房梁是否安全？并说明理由 22.探究实践：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作 交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程， (I)作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD= (②)根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值： (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积. 23.综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB=dm. 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发 沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高为l4cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 20 蚂蚁 蜂蜜 B 单位：dm 图1 图2 图3 图4 24.如图，在△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆 时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s,设运动时间为t秒 B 备用图 (1)证明：△ABC是直角三角形： (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值： (3)另有一动点Q,从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B,且速度为lcms.若P、Q两点同时出发， 当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成 相等的两部分. 25.图形可以形象直观显示数量关系.例如，根据图1可以得到(a+b)=4+2ab+b ,请解答下列问题： b b a□a■ 0 图1 图2 图3 图4 图5 (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸 片，拼成一个面积最小的正方形，则x+y的值为一：这个正方形的边长为一；（用含4，b的式子表示） (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为C的正方形拼成的大正方形.请根据图4 中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为一： 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)如图5，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是AB边上的一动点.请利用(3)的结论， 求线段CD的最小值. 8/8