第4章 图形的轴对称（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材青岛版八年级上册
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内容正文：
2026-2027学年八年级上册数学单元自测
第4章 图形的轴对称·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）如图，是的角平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在中，，E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，分别交边于点M，N；若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
7．（本题3分）如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．1
8．（本题3分）如图，在△ABC中，平分．若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（本题3分）如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．13
10．（本题3分）学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
12．（本题3分）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个．
13．（本题3分）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________．
14．（本题3分）如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______．
15．（本题3分）在中，，，点在线段上，连接，点关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点，当时，线段的长为________．
16．（本题3分）如图，在中，，的面积为18，，平分，E、F分别是、上的动点，则的最小值为 ____________
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）；
(2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由．
18．（本题8分）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
(1)若，，求的周长；
(2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
19．（本题10分）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求长．
20．（本题10分）如图，，，E是边中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明．
21．（本题10分）【探索归纳】
(1)如图①，已知为直角三角形，．若沿图中虚线剪去，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
(2)如图②，已知在中，剪去后得到四边形，试探究与的关系，并说明理由；
(3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如图③的形状，试探究与的关系，并说明理由．
22．（本题12分）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？
(1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________．
(2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值．
(3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由．
23．（本题14分）【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点．
(1)求证：；
(2)求证：为的中点；
(3)已知，求的大小（用含的式子表示）．
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第4章 图形的轴对称·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意；
B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意；
C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意；
D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意；
故选：C．
2．（本题3分）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O，
∴，，，故A、B、D选项正确，
∵不一定成立，故C选项错误，
因此不一定正确的是C．
3．（本题3分）如图，是的角平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作，垂足分别为点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴
∴
∵，，
∴．
4．（本题3分）如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
（两直线平行，同位角相等），
由光的反射性质可知，
，
是的外角，
，
，
，
．
5．（本题3分）如图，在中，，E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，分别交边于点M，N；若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（本题3分）如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，即平分；故①③正确，
又∵，
∴垂直平分，故④正确，
∵在上，
∴，故②正确，
故①②③④正确．
7．（本题3分）如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．1
【答案】B
【详解】解：如图所示：
①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个；
②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个；
故符合条件的点C共有个．
8．（本题3分）如图，在△ABC中，平分．若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．（本题3分）如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．13
【答案】A
【详解】解：过点E作，如图所示：
∵，平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（本题3分）学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：已知，，，
若，由大角对大边得，此时为锐角，存在两种不同的三角形满足条件（为锐角或钝角），均符合，无法判定全等；
若，则，故，得，结合，由可判定全等；
若，由大角对大边得，若为钝角则三角形内角和超过，故唯一，三角形唯一，可判定全等；
若，则，为直角三角形，满足条件的三角形唯一，可判定全等．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【详解】
解：两个完全一样的三角尺，
且，
根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
平分．
12．（本题3分）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个．
【答案】5
【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下：
即可以画5个．
故答案为：5．
13．（本题3分）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________．
【答案】25
【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴．
∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接，
∴是线段的垂直平分线，
∵点在上，
∴，
∴的周长．
14．（本题3分）如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______．
【答案】9
【详解】解：如图，连接，
∵，，D为边的中点，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
15．（本题3分）在中，，，点在线段上，连接，点关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点，当时，线段的长为________．
【答案】4
【详解】解：由轴对称的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．（本题3分）如图，在中，，的面积为18，，平分，E、F分别是、上的动点，则的最小值为 ____________
【答案】4
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作于点，
∵平分，F在上，
∴点关于的对称点落在上，且，
，
当、、三点共线时，有最小值为，
垂线段最短，
，
的最小值为，即有最小值为，
的面积为18，，
，
，
的最小值为．
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）；
(2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
如图所示，即为所求：
，，；
(2)是；和对称轴直线即为所画．
【详解】（1）略
（2）略
18．（本题8分）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
(1)若，，求的周长；
(2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点F在边的垂直平分线上，理由如下：
连接，
点F在边的垂直平分线上，
，
点F在线段上，垂直平分，
，
，
点在的垂直平分线上．
【详解】（1）解：直线垂直平分，交于点D，
，
，
，
即的周长为．
（2）略．
19．（本题10分）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求长．
【答案】(1)
证明：∵，点D是边的中点，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形；
(2)4．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得，，
∴在中，．
∵，
∴ ．
∵点D是边的中点，
∴．
∵ ，，
∴，
∴．
20．（本题10分）如图，，，E是边中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明．
【答案】(1)证明：如图，过点E作于点F
∵，
∴
∵平分，
∴
∵E是边中点
∴
∴
∵，
∴平分；
(2)解：，理由如下：
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∴．
【详解】（1）略
（2）略
21．（本题10分）【探索归纳】
(1)如图①，已知为直角三角形，．若沿图中虚线剪去，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
(2)如图②，已知在中，剪去后得到四边形，试探究与的关系，并说明理由；
(3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如图③的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】(1)C
(2)，
理由：，
，
，，
，，
；
(3)，
理由：，
，
翻折，
，，
，，
，，
．
【详解】（1）解：为直角三角形，，
，
，，
，，
；
（2）略
（3）略
22．（本题12分）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？
(1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________．
(2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值．
(3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由．
【答案】(1)④，两点之间，线段最短；
(2)11
(3)
解：如图，最短，
理由：过点P分别作的对称点，，
连接与交点即为点C，D．
，，
最短．
【详解】（1）解：正确的方案是④，
因为由轴对称的性质可得，
所以当点三点共线时，
所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短；
（2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P，
由对称轴的性质可得：，，
，，
的周长最小值为：
；
（3）略
23．（本题14分）【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点．
(1)求证：；
(2)求证：为的中点；
(3)已知，求的大小（用含的式子表示）．
【答案】(1)证明：中，
，
和分别为等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
；
(2)证明：由(1)得，
，
，
，
是的垂直平分线，
为的中点；
(3)
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：为等边三角形，，
，，
∴，
∵，
∴，
．
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第4章 图形的轴对称·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）如图，是的角平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在中，，E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，分别交边于点M，N；若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
7．（本题3分）如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．1
8．（本题3分）如图，在△ABC中，平分．若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（本题3分）如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．13
10．（本题3分）学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.）
11．（本题3分）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
12．（本题3分）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个．
13．（本题3分）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________．
14．（本题3分）如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______．
15．（本题3分）在中，，，点在线段上，连接，点关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点，当时，线段的长为________．
16．（本题3分）如图，在中，，的面积为18，，平分，E、F分别是、上的动点，则的最小值为 ____________
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）；
(2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由．
18．（本题8分）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
(1)若，，求的周长；
(2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
19．（本题10分）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求长．
20．（本题10分）如图，，，E是边中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明．
21．（本题10分）【探索归纳】
(1)如图①，已知为直角三角形，．若沿图中虚线剪去，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
(2)如图②，已知在中，剪去后得到四边形，试探究与的关系，并说明理由；
(3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如图③的形状，试探究与的关系，并说明理由．
22．（本题12分）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？
(1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________．
(2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值．
(3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由．
23．（本题14分）【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点．
(1)求证：；
(2)求证：为的中点；
(3)已知，求的大小（用含的式子表示）．
试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）
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2026-2027学年八年级上册数学单元自测
第4章图形的轴对称·能力提升（参考答案)
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.)
1
2
3
4
5
8
10
A
B
D
B
D
A
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.)
11.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
12.5
13.25
14.9
15.4
16.4
三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，
共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(8分)(1)
如图所示，△4BC即为所求：(2分)
6
5
2
32
B
40,-2)B(5,-5),C(7,-2）:5分)
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(2)是；△ACD和对称轴直线I即为所画.(8分)
18.(8分)【详解】(1)解：直线I垂直平分BC,交AB于点D,
∴.CD=BD
∴.AD+CD=AD+BD=AB」
∴.AD+CD+AC=AB+AC=13+6=19」
即△ACD的周长为19.(4分)
(2)点F在边AC的垂直平分线上，理由如下：
连接AF,
点F在边
的垂直平分线上，
AB
..AF BF,
:点F在线段DE上，DE垂直平分BC,
∴BF=CF
.AF =CF
∴点F在AC的垂直平分线上.(8分)
19.(10分)(1)
证明：：BD⊥AC,点D是AC边的中点，
.BD垂直平分AC,
.AB=CB
EF⊥AB,
.∠ABC+∠E=90°
.∠E=30°，
∴.∠ABC=90°-∠E=90°-30°=60°，
.△ABC是等边三角形；(5分)
(2)解：由(1)得，∠A=60°，
.在RIADE中，∠ADF=90°-60°=30°」
AF=2,
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.AD=2AF=2×2=4.
·点D是AC边的中点，
∴.CD=AD=4
:∠CDE=∠ADF=30°，∠E=30°，
.∠CDE=∠E=30°，
.CE=CD=4.(10分)
20.(10分)(I)证明：如图，过点E作EF⊥BC于点F
D
A
:AB∥CD,∠A=90°
∴.∠D=90°
:CE平分∠BCD,EF⊥BC
∴.DE=EF
E是AD边中点
.AE=DE
.AE=EF
,∠A=90°，EF⊥BC
.BE平分∠ABC:(5分)
(2)解：BC=CD+AB,理由如下：
CE平分∠BCD
.∠DCE=∠FCE
又，∠D=∠EFC=90°，DE=EF
.△DCE2aFCE(AAS)
∴.CD=CF
,BE平分∠ABC
:.∠ABE=∠FBE
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又，AE=EF,∠A=∠EFB=90°
:△MBE≌aFBE(AAS)
∴.AB=BF
.BC=CF+FB=CD+AB.(10)
21.(10分)(1)C(2分)
(2)∠1+∠2=180°+∠A.
理由：.∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴.∠AFE+∠AEF=180°-∠A,
,∠AFE+∠1=180°，∠AEF+∠2=180°，
.∠1=180°-∠AFE,∠2=180°-∠AEF,
∠1+∠2=180°-∠AFE+180°-∠ABF=360-(∠AFE+∠AEF)=360°-(180°-∠)=180P+∠A,(6
分)
(3)∠1+∠2=2∠A,
理由：·∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
·∠AFE+∠AEF=180°-∠A,
翻折，
.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,,
:∠AFP+∠1=180°，∠AEP+∠2=180°，
.∠1=180°-∠AFP=180°-2∠AFE,∠2=180°-∠AEP=180°-2∠AEF,
∠1+∠2=180°-2ZAFE+180°-2∠ABF=-360°-2（∠AFE+∠AEF)=360°-2(180°-∠4=2ZA.10
分)
22.(12分)(1)④，两点之间，线段最短；(2分)
(2)解：过点A作直线m的对称点A',连接A'B与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P,
B
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由对称轴的性质可得：BP=CP,AP=P,
..BP+A'P=CP+AP,.A'B=AC.
△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP
=AB+CP+AP
=AB+AC=5+6=11;(7分)
(3)解：如图，PC+CD+DP最短，
P
理由：过点P分别作OAOB
的对称点，
连接
H与OAOB
点即为点C,D
P,C=PC DP=DP
.PC+CD+DP=PC+CD+PD=PP
.PC+CD+DP最短.(12分)
23.(14分)(1)证明：△ABC中AB=AC,
.∠ABC=∠ACB
:△ABD和△ACE分别为等边三角形，
.∠ABD=∠ACE=6O°，DB=AB=AC=EC,
.∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE,
∴.∠CBD=∠BCE,
.BC=CB,
:∴△ECB≌aDBC(SAS)
.BE=CD;(5分)
(2)证明：由(I)得aECB≌△DBC,
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.∠BCD=∠CBE.
:BF=CF,
AB=AC,
.AG是BC的垂直平分线，
G为BC的中点；(9分)
(3)解：△ABD为等边三角形，AB=AC,
.∠ADB=∠BAD=6O°，AB=AC=AD
∴∠ADC=∠ACD=180°-（∠BAC+∠BAD)
2
.∠BAC=&,
∠ADC=∠4CD=180°-(60°+a_120°-a
2
÷∠Bc=aD8-∠4c=6-(122）-号.M分y
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