第4章 图形的轴对称（单元自测）数学新教材青岛版八年级上册

第4章 图形的轴对称 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【解析】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 2．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【解析】当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有2个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有6个； 这样的顶点有8个． 故选C． 3．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（ ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【解析】∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选A． 4．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【解析】如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选C． 5．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案． 【解析】∵在中，，点为的中点， ∴，，． 故A、B、C正确，D错误．故选D． 6．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【解析】∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为．故选A． 7．如图，把沿线段折叠，使点落在点处．若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形求出底角，结合平行线性质得到相关角相等，再由折叠性质得到对应角相等，最后通过平角计算出的度数； 先根据等腰三角形内角和求出和的度数，再由得到，然后利用折叠性质得到，最后根据平角为计算的度数． 【解析】∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴． 故选D． 8．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐项分析即可得出结果． 【解析】根据轴对称图形的特征可知：，，，无法判断与的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意．故选B． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的中线、高、角平分线的性质，三角形外角性质、等腰三角形的判定及三角形面积比的应用，解题的关键是利用直角三角形的角关系、角平分线的性质推导角与边的关系，易错点是混淆中线分三角形的面积关系，误判与的大小． ①根据中线性质，，与同高，面积相等，故①错误；②利用外角性质及角的等量代换，证，得，故②正确；③结合直角三角形角的关系，得，再由角平分线得，故③正确；④利用角平分线的性质，与的高相等，面积比等于底的比，故④正确． 【解析】①∵是中线， ∴，与的高均为B到的距离，故，①错误； ②∵平分， ∴是高，， ∴（外角性质），； 又，， ∴，故， ∴，②正确； ③∵，故③正确； ④∵是角平分线，F到、的距离相等， ∴，④正确． 故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．命题“等边对等角”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真 【分析】本题考查了真假命题的定义，等腰三角形的性质，“等边对等角”是等腰三角形的性质，是真命题，即可判断． 【解析】“等边对等角”是指在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，这是等腰三角形的性质定理，在初中数学中成立，因此是真命题， 故答案为真． 11．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【解析】根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为12． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【解析】∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为． 13．若等腰三角形的底角为，则它的顶角为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】等腰三角形的底角为， ∴它的顶角为， 故答案为． 14．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【解析】要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为． 15．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【解析】如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为4． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）如图，已知与关于所在的直线对称，延长交的延长线于点，若，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形外角的性质．根据轴对称的性质，可知，由全等三角形的性质以及等量代换证明，即可得，利用三角形的外角性质即可求出的度数． 【解析】∵与关于所在的直线对称， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．（7分）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． （1）证明：是线段的垂直平分线； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2） 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（7分）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：， ，是边上的中线， ． 19．（7分）如图，在中，，点在的延长线上，，连接，过点作分别交、于点、，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据三线合一，得到，再根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质进行求解即可. 【解析】，， ， ， ， ， ． 20．（7分）如图，在中，，为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】   见解析 【分析】先利用等腰三角形三线合一，得，再证，从而推出． 【解析】，理由： ，为中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（8分）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【解析】由折叠可知，，， ∵， ∴． ∴． 22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形，其中的坐标为________，的坐标为________； （2）若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴． 【答案】（1） 如图，即为所求； AI； （2） 如下图所示： 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握是解题关键． （1）在坐标系中作出的三个顶点关于轴的对称点，顺次连接，然后读出点的坐标即可； （2）利用轴对称的性质解决问题即可． 【解析】（1）略 （2）解：点与点纵坐标相等， 点与点关于直线成轴对称， 即对称轴为直线 23．（8分）如图，在中，，是中线，，是边上一点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出，从而可求出的度数． 【解析】∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（8分）如图，在等腰三角形中，，，于点．求的度数． 【答案】 【分析】先根据，可知，根据三角形的内角和定理可求出的度数，最后根据直角三角形中，两个锐角互余即可求出的度数． 【解析】，， ． 又， ， ， ． ， ． 25．（8分）在中，，直线l过点C．               （1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长； （2）当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒． ①________；（用含t的代数式表示） ②当N在路径上时， ________；（用含的代数式表示） ③直接写出当与全等时的值． 【答案】（1）； （2）①；②；③当与全等时，或5或． 【分析】（1）利用垂直与三角形内角和定理，得到，，利用“”证明，得到，，即可求出的长； （2）①利用，即可求出的长； ②利用对称性，得到，再根据，即可求出的长； ③根据三角形全等，得到，分四种情况讨论：点在上；点在上；点在上；点在上，分别表示出的长，再根据对应边相等即可求出值． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ； （2）解：①由题意得：， , ， 故答案为； ②由题意得：， 点与点关于直线对称， ， ， 故答案为； ③当与全等时，和是对应边， ， 当点在时，， 即， 解得，不符合题意； 当点在时，， 即， 解得：； 当点在时，， 即， 解得：； 当点在时，， 即， 解得：， 综上所述，当与全等时，或5或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对称的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 图形的轴对称 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 2．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 3．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（ ） A．18 B．20 C．26 D．28 4．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．如图，把沿线段折叠，使点落在点处．若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②③④ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．命题“等边对等角”是________命题．（填“真”或“假”） 11．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则________． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为________． 13．若等腰三角形的底角为，则它的顶角为________． 14．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 15．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）如图，已知与关于所在的直线对称，延长交的延长线于点，若，且，求的度数． 17．（7分）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． （1）证明：是线段的垂直平分线； （2）若，求的度数． 18．（7分）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 19．（7分）如图，在中，，点在的延长线上，，连接，过点作分别交、于点、，若，求的度数． 20．（7分）如图，在中，，为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且．判断与的位置关系，并说明理由． 21．（8分）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形，其中的坐标为________，的坐标为________； （2）若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴． 23．（8分）如图，在中，，是中线，，是边上一点，，求的度数． 24．（8分）如图，在等腰三角形中，，，于点．求的度数． 25．（8分）在中，，直线l过点C．               （1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长； （2）当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒． ①________；（用含t的代数式表示） ②当N在路径上时， ________；（用含的代数式表示） ③直接写出当与全等时的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $