第4章 圆的再认识（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 圆的再认识·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，四边形的内切圆为，若，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．（本题3分）如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 4．（本题3分）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 5．（本题3分）如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，已知，圆心O在射线上运动，的半径为2，且与始终有两个公共点，则当与射线仅有一个公共点时，的长为（     ） A． B．2 C． D． 9．（本题3分）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 10．（本题3分）在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 12．（本题3分）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 13．（本题3分）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 14．（本题3分）如图，在中，，是的内切圆，半径为3，则阴影部分的面积为________． 15．（本题3分）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为________．（结果保留） 16．（本题3分）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点．若，则的半径为__________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． 18．（本题8分）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，当时，求证：直线为的切线． 20．（本题10分）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 21．（本题10分）如图，，是的两条直径，过点作交于点，交于点，在的延长线上取一点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 22．（本题12分）已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的长． 23．（本题14分）综合与实践 【发现问题】 数学活动课上，我们通过观察、探究，发现三角形的三条中线相交于一点，三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍． 【提出问题】 怎样证明这两个结论？ 如图，的中线相交于点，连接并延长交于点． 求证： ① 是的中线； ② ． 【分析问题】 (1)小明进行了以下思考，证明：延长至点，使得，连接．请沿着小明的思考，将证明过程补充完整． 【解决问题】 (2)如图，在中，，，，中线相交于点．求四边形的面积． (3)如图，在的条件下，的角平分线交于点，连接．请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章圆的再认识·培优冲刺（参考答案) 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) 1 2 4 5 6 8 10 A B B B D C B D 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.) 11.①③④ 12.20 13.35 14.9V5-3m 16.3V2 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分)(1)如图，圆心0即为求作的： e A B (4分) 图2 (2)解：设直线交MB于D,交优弧B于E,连接B, 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B E 图2 由作图可知：直径所在直线DE⊥AB,AB的长为8cm, 六AD=BD=)AB=4em,∠0DB=90 :RtAOBD中，OB=5cm, .0D=VOB2-BD2=V52-42=3Cm ∴.DE=OD+OE=3+5=8cm, 答：瓶内液体最大深度为8cm,(8分) 18.(8分)(1)证明：，AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°， .∠A=90°-∠ACB」 BE⊥AC, .∠CEB=90°， .∠EBC=90°-∠ACB」 .∠EBC=∠A CD B为的中点， DD-BC ∴.∠DCB=∠A, .∠EBC=∠DCB, .BF=CF;(4分) (②)解：B为CD的中点，BD=2, CD 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=BC .BC=BD=2」 ,AB=4,由(1)知∠ABC=90°， 4C-C2-25 S.w-AC.BE-AB-BC 2 2 2J5BE=1x4x2 .2 2 BE=45 5.(8分) 19.(10分)(1) 解：AB与⊙0相离：理由如下： 过O作OE⊥AB于E, y B D ◇ A 由已知得OA=OB=6, 10A:0B= 在RtOAB中，4AB=VO+0B=6N5,S.a=2 4B-0E, A0E=OMx0B-6x6-3W5>3, AB6√2 .AB与⊙0相离；(4分) (2) 证明：如图，连接AD、BC,设OA交⊙O于点F,连接DF, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .OD⊥OC.OCIl AD .∠ADO=∠COD=90° 0D=OF=3,OA=6, .AF=OA-OF=3=OF,即DF是R1aAOD斜边上的中线， ..DF=OF=OD=3. .△ODF是等边三角形， .∠DOA=60° ∴.∠DA0=90°-∠DOA=30°，∠B0D=90°-∠D0A=30° .∠BOC=∠COD-∠BOD=60° OC=OD ∠BOC=∠AOD 在 和 中， BOC△AOD BO=40 △BOC≌AAOD(SAS) ∠BC0=∠AD0=90°，即OC⊥BC, .OC是半径， ∴.直线BC是⊙0的切线.(10分) 20.(10分)(1)证明：四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BCD+∠DAB=180°」 ∠EAD+∠DAB=180°， .∠EAD=∠BCD， .DB=DC. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBC=∠BCD, ∠DBC=∠EAD, ∠DAC=∠DBC, ∠EAD=∠DAC, AD平分∠EAC:(4分) (2)解：过D作DG⊥AC于G, D 平分 B AD ∠EAC DF⊥BEDG⊥AC :DF =DG, 在RtADFA和Rt△DGA中 (AD=AD DF=DG RtADFAS≌RtADGA(HL) .AG=AF=1, 在Rt△DFB和RtADGC中 DB=DC DF=DG :.∴RtDFB≌RtADGC(HL) BF=CG」 BF=AB+AF=6+1=7, .CG=7, ∴.AC=AG+CG=1+7=8 答：AC的长为8.(10分) 21.(10分)(1)证明：如答图，连接OE. :CD是⊙O的直径， 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CED=90°， ∠ECP+∠CDE=90° :OE=OD, .∠OED=∠ODE ,∠ECP=∠DEP ∴.∠DEP+∠OED=90° 即∠OEP=90°， .OE⊥EP OE是⊙0的半径， EP是⊙O的切线， P5分) B (2)解：∠EAB=60° ∴.∠EOB=120° BE⊥CD,OD是⊙O的半径，， ∠EOD= ∠E0B=60° 2 .∠P=30° 设OE=x,则OP=2x」 在R△OEP PE=43 中， .x2+(4V3)2=(2x)2 解得x=4(负值已舍去)， 即0E=4, SI些=S.0n-S附形0E)× x4x4V5_60xπx4=83-8 360 .(10分) 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(12分)(1)证明：如图，连接0D, D E B .OA=OD ∠A=∠ODA, :OE∥AC, ∴.∠A=∠BOE,∠ODA=∠DOE, ∴.∠DOE=∠BOE, 在△DOE和△BOE中， OD=OB ∠DOE=∠BOE OE=OE ∴.△DOE≌ABOE(SAS) .∠ODE=∠OBE=90°，即OD1DF, 又：OD是⊙0的半径， ∴.DF⊙O 是的切线；(4分) (2)解：设⊙0的半径为r,则OB=OD=r, BF=1, ∴.OF=OB+BF=r+1, 由(1)已证：∠ODE=90° Rt△DOF ∠ODE=90°，DF=3 在 中， .0D2+DF2=0F2r2+32=(r+1)2 ，即 解得r=4, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即⊙0的半径为4：(8分) (3)解：OA=OB,OE∥AC BE _OB -1, ∴.CEOA .BE=CE 由(1)已证：△DOE≌△BOE, E B .BE DE ..CE=DE. 又DC=DE=1, .CE=DE=DC=1, :△CDE是等边三角形， .∠C=60° BC=CE+BE=2, 在Rt△4BC中，AB==。=2312分) tantan30° 23.(14分)()：AD、BE是△ABC的中线， .BD=CD,AE=CE, GM=CG .DG、EG分别是△CBM和△CAM的中位线， .DGIBM,EG∥AM, ∴四边形AMBG是平行四边形， .AF FB .CF是△ABC的中线： ②·DG是△CBM的中位线， 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BM =2DG, ,四边形AMBG是平行四边形， .BM=AG. .AG=2DG:(4分) (2)解：如图2，连接CG, G C D 图2 ∠ABC=90°，AB=6,BC=8, :Sc=2 ×6×8=24 ,AD是△ABC的中线， 1 ·S4om=23c=l12, .AG=2DG. S4co专0m=8 .E是AC的中点， :S=250o4 Sm边形DGE=SACD-SABG=12-4=8 ;(8分) (3)解：如图，作GF⊥BC于F,IH⊥BC于H,连接CI,则GF∥AB,GF∥H, G/ E 图3 ∴，△GFD△ABD. 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GF FD GD 1 AB BD AD 3' :AB=6,D=8c=4, GF-14B-2.FD-1BD-4 3 BF=BD-FD=4-4-8 33, ,∠ABC、∠BAC的角平分线交于点I, ∴点I是△ABC的内心， ∴，点I到△ABC三边的距离相等， .∠ABC=90°，AB=6,BC=8, :4C=VAB+BC=v6+8=10 设△ABC内切圆的半径为x,则H=x, Sm+SANEI+SAcI =SAAE ÷6+8410kx=24, 解得x=2,即H=2, ~H1-2∠ABC=45,∠IHB=90 ∴.△BHⅢ是等腰直角三角形， ∴.BH=IH=2, .GF=IH=2,GF∥IH,∠IHF=90°， ∴.四边形HFG是矩形， G=F=-朗-号2-号 2=3:(14分) 10/10命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章圆的再认识·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 1.(本题3分)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°，∠ADC=50°，则LCEB的 度数为() A.100° B.110° C.120° D.130° 【答案】A 【详解】解：：D=D :∠ACD=∠ABD=60°， :AB是⊙0的直径， ∴∠ADB=90° .∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-50°=40°， ∴.∠CEB=∠CDB+∠ABD=40°+60°=100° 2.(本题3分)如图，四边形ABCD的内切圆为⊙0，若AB+CD=10,则四边形ABCD的周长为() 1/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.10 B.15 C.20 D.25 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD外切于⊙O,设切点分别为E、G、H、F, C..AE=AF BE=BG CG=CH DH=DF .AD+BC=AF+DF+BG+CG=AE+DH+BE+CH=AB+CD=10. :四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD=10+10=20, 故选：C 3.(本题3分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙0上，∠BOC=50°，以点C为圆心，CB长为半径作 弧交AB于点D,再分别以B,D为圆心，大于2BD长为半径作弧，两弧交于点E,连接CE并延长交 ⊙ 于点F,点P在4C上，连接PA,PF,则∠P的度数为) D A.50° B.55° C.65 D.75 【答案】C 【详解】解：如图，连接OF, 根据作图可得CF⊥AB 2129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CB=CF .∠BOC=50° ∴.∠B0F=50° ∴.∠AOF=130° &∠P=)∠A0F=5x130=65° 2 2 4.(本题3分)《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径.或问甲、乙二人同立于巽地，乙 西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何.”意思是：如图，△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°，已知AC=48步，BC=90步，AB与⊙0相切于点D,CE,CF分别与O0相切于点E, F,求⊙O的半径.根据题意，⊙0的半径是() B D E A A.100步 B.120步 C.140步 D.160步 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接OD,OE,OF F D E :CF,CE是OO的切线， OF⊥CF,OE⊥CE ∴.∠OFC=∠OEC=90° :∠ACB=90°， ∴四边形OECF是矩形. ..OE=OF 3129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形OECF是正方形。 设OE=OF=EC=FC=r步，则 F=FC-BC=(-90)步.MB=BC-AC=r-48)步. AB,AE,BF是OO的切线， BD=BF=(r-90) AD=AE=(-48)步。 步 :AB=yAC+BC=102步， ·AB=AD+BD=102步. .r-48+r-90=102 r=120 故选：B 5.(本题3分)如图，AB是⊙0的直径，AB=6,C是上半圆弧AB的中点，D是下半圆AB上一个动点， 过点A作CD的垂线，垂足为E,则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是() B A.2 C.3n D.32元 【答案】B 【详解】解：如图，连接OC,AC, B 点是上半圆的中点， D C .AC=BC 4129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠40C=∠B0C=180°×)=90°， AB=6. .OA=0C=3, 在RtAAOC中， AC=VOA+0C2=V32+32=3V2 ·AE⊥CD .∠AEC=90°， ∴.点E在以AC为直径的半圆上运动， C-×3w5- 1 2 故选B 6.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=4.将△BAC绕点B顺时针方 向旋转至△BEF,点E恰好在射线CB上，则边AC扫过的阴影面积为() A.3π B.4元 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=4, ∠ABC=60,MB=BCsin30=4 22, 由旋转性质可知，△ABC≌△BEF,即∠ABC=∠EBF=60°，BC=BE=4, .∠CBF=∠ABE=120°， 边4C扫过的明影面积为(c-A)-孕4-2)-骨12=4 故选B. 7.(本题3分)在△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,以C为圆心r为半径画⊙C,使⊙C与线段AB 5129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有且只有两个公共点，则”的取值范围是() A.5≤r≤12 B.5≤r<12 C.srss D.rss 【答案】D 【详解】解：∠C=90°，AC=5,BC=12, :MB=VAC2+BC=V52+12=13 如图，过点C作CD⊥AB于点D, B D S.we=AB-CD=]AC.BC 2 1 1 ×13×CD=×5×12 .2 2 解得CD=60 13 60 当”=3时，⊙C与线段B相切，只有一个交点，如图： 60 当3<r≤5时，OC与线段AB有两个交点； 当5<r≤12时，⊙C与线段AB只有一个交点： 当r>12时，⊙C与线段AB没有交点： 60<r5 ~当⊙C与线段4B有且只有两个公共点时，，的取值范围是 8.(本题3分)如图，已知∠B=45°，圆心0在射线BC上运动，⊙0的半径为2，且⊙0与BC始终有两 6129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个公共点，则当⊙0与射线BA仅有一个公共点时，OB的长为() A B A② B.2 C.22 D.3V2 【答案】C 【详解】解：⊙0与BC始终有两个公共点， ⊙0 BA ⊙O,BA 六当00与射线B1仅有一个公共点时，0与相切，如图， OD 令切点为D,连接， D .OD⊥AB OD=2 LB=45°， ∴.△ODB是等腰直角三角形， .0B=√20D=22 9.(本题3分)如图，AB是⊙O的直径，点C,点D是半圆上两点，连接AC,BD相交于点P,连接 AD,OC.已知OC⊥BD于点E,AB=2.下列结论：①∠CAD+∠OBC=90°：②若点P为AC的中点， 则CE=2OE;③若AC=BD,则CE=OE;④若BC2+BD=4,则DB平分∠CBA.其中正确的是 D 7129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.①②③④ C.②③④ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：①：OC⊥BD, CD-BC ∴.∠CAD=∠CAB, ,AB是O的直径， .∠ACB=90°， ·∠CAB+∠ABC=90°， ∴、∠CAD+∠ABC=90°，故①正确，符合题意： ②，点P为AC的中点， .AP=CP, :AB是⊙O的直径， .∠ADP=90°=∠CEP, .∠APD=∠CPE, ,△APD≌ACPE(AAS) AD=CE」 AP=CP,OA=OB, .AD=20E. ∴CE=20E,故②正确，符合题意； ③连接OD, D ,OC⊥BD :⑦=BC ..AC=BD 8129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=BD AD-CD-BC ∴.∠AOD=∠COD=∠BOC=60°， :OB=OC, ·.△BOC为等边三角形， ,OC⊥BD ∴CE=OE,故③正确，符合题意； ④：∠ACB=90°，AB=2, .BC2+AC2=AB2=4, BC2+BD2=4, .AC=BD 则由③知△BOC为等边三角形，又OC⊥BD, BE平分∠CBO, 即DB平分∠CBA,故④正确，符合题意： 故正确的是①②③④. 10.(本题3分)在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D为边BC上一点，E为△ABD的内心 BD (内心是指内切圆的圆心)，F为。ADC的内心，若EF⊥AD,则CD() C D F 3+V3 3+2W5 A.3 B.5 C.3 D.3 【答案】D 9129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，设OE分别与AB,BD,AD相切于点G,H,M,连接EG,EH,EM,则EM⊥AD, Fa H B G ,EF⊥AD, ∴点M在线段EF上. 由切线长定理得，AM=AG,BG=BH,DM=DH, .AM=AD-DM,AG=AB-BG .'AM+AG=AD-DM+AB-BG=AB+AD-BH-DH AB+AD-BD, ÷AM=AB+AD-BD 2 同理可得，AM=AC+AD-CD 2 AB+AD-BD AC+AD-CD 2 2 .AB-BD=AC-CD ∠BAC=90°，∠ABC=30°， BC=2AC.AB=BC2-AC2=AC BC=BD+CD=2AC. AC=BD+CD 2 6(D+CD) 2 3(BD+CD)-BD-BD+CD-CD 2 2 10129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3-3)BD=(3+1CD BD3+25 ..CD 3 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11.(本题3分)如图，以△ABC的边AB为直径的⊙0恰好过BC的中点D,过点D作DE⊥AC于点E, 连接OD,则下列结论：①OD‖AC;②∠B=∠C=30°；③20A=AC;④DE是⊙0的切线.其中结论正 确的是 (直接填序号) D 【答案】①③④ 【详解】解：D为BC中点，点O为AB的中点， .OD为△ABC的中位线， 1 OD= ∴.OD∥AC: AC,故①正确： 2 .OA=OD :0A=)4C,即201=4C,故®正确： 2 ODII AC,DE⊥AC, .DE⊥OD. .OD是⊙0的半径， ∴.DE是OO的切线，故④正确： 根据现有条件无法证明∠B=∠C=30°，故②错误， 故答案为：①③④. 11129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(本题3分)如图，拱桥可以近似地看作直径为200m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连， 其正下方的路面AB长度为l20m,那么这些钢索中最长的一根的长度为 m D ■路面 桥拱 【答案】20 【详解】解：设圆弧的圆心为0，过0作OC14B于 B于C,交MB于D,连接OM, OA 0 钢嗦入B 路面 桥拱 则04=0D-分x20=10(m).4C=nC-4B=X120=60(m)。 :0C=0f-AC=i02-60-80(m)】 CD=0D-0C=100-80=20(m) 即这些钢索中最长的一根为20m, 13.(木题3分)如图，正方形46CD内接于O0.点B为C上一点，连接E、C5,若∠CE=15° BE=3,则BC的长为一 E B 【答案】 3v2 【详解】解：如图，连接OA、OB、OE, ,正方形ABCD内接于⊙O, .OA=OB=OE,∠AOB=∠ABC=90°，AB=BC, 12/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠0AB=∠0BA=180°-∠A0B)=45°， .∠0BC=∠ABC-∠OBA=45°， ∠CBE=15° ∴.∠OBE=∠OBC+∠CBE=60°， ∴，△OBE是等边三角形， ∴OB=BE=3, .OA=3 .4B=VO+0B=32 BC=3V2 3√2 故答案为： D B 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得 △OBE是等边三角形是解决问题的关键. 14.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，⊙0是△ABC的内切圆，半径为3，则阴影部分的面 积为 B 9V3-3m 【答案】 【详解】解：如图，E、F为圆与三角形的交点，连接OE,OF,OB, 13/29 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B F 在Rt△ABC中，∠C=30°， ∴∠CBA=60° :⊙O是△ABC的内切圆， ∴.∠OEB=∠OFB=90°， ∴∠E0F=120°， OE=OF,OB=OB AOEB≌OFB(IHL) ∴∠EB0=∠FBO=30°， 半径为3， EB-FB=35 ∴.阴影部分的面积= ×3x3N5x2-120x3 =95-3π 360 15、(木题3分)如图。4是O0的直径，弦D1于点B,连接BD.若10=60，CD=45 则 BD 的长为 (结果保留“) B D π 【答案】3 【详解】解：连接AD,OD, 14129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~B是0的直径，弦D1下点E,CD=45 DE=CD=23 2 ∠ADB=90° ∠ABD=60°. ∴.∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=30° ∴.∠BOD=2∠BAD=60°， CD⊥AB, ∴.∠ODE=180°-∠DE0-∠BOD=30°. :O8-OD 0E2+DE2=0D2, .(2o0+5°=on .0D=4, 60°π×4_4z :BD的长为1800 3· D 16,(本题3分)如图，△MBC是O0的内接三角形，B=1C,直径CD与4B边交于点E,点B是D 的中点.若CE=6,则⊙0的半径为. B E D 15129 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3V2 【答案】 【详解】解：如图，连接OB, B E :点B是D的中点，且CD为o0间 的直径， :∠B0C=180°×)-90. 2 :∠BAC=)∠B0C=45° ..AB=AC. &∠ABC=∠ACB=180P-∠B1C=6.5° 2 ..OB=OC, ·∠0CB=∠0BC=180°-∠B0C =45°， .∠CEB=180°-∠0CB-∠ABC=67.5°=∠ABC, ∴.BC=CE=6. 在RIAOBC中，OB2+OC2=BC2, ..OB=OC, ∴.0B2+0B2=62, OB=32 解得 ⊙0 V2 的半径为 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.(本题8分)化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体 最大纵截面如图2所示 A 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心O: (2)已知图2中圆的半径为5cm,液面宽AB的长为8cm,求瓶内液体最大深度. 【答案】(I)如图，圆心O即为求作的： e A B 图2 (2)8cm 【详解】(1)略 (2)解：设直线°交4B于D,交优孤MB于E,连接MB, E 图2 由作图可知：直径所在直线DE⊥AB,AB的长为8cm, AD=BD=号AB=4cm,∠ODB=90°， 17129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 RtAOBD中，OB=5cm, :.0D=VOB2-BD2=V53-42=3cm ∴.DE=OD+OE=3+5=8cm 答：瓶内液体最大深度为8cm。 I8.(本题8分)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O,点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD, 且B为 的中点， CD BE⊥AC 于点A,连接CD交BE于点R B D (I)求证：BF=CF: (2)若AB=4,BD=2,求BE的长 【答案】(1)证明：：AC是⊙0的直径， ·∠ABC=90°， ∠A=90°-∠ACB :BE⊥AC .∠CEB=90°， ∴.∠EBC=90°-∠ACB, .∠EBC=∠A B为CD的中点 .BD-BC ∴∠DCB=∠A, ∴.∠EBC=∠DCB, .BF=CF; 18129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45 (2)5 【详解】(1)略 (2)解：B为 CD 的中点， BD=2 BD-BC .BC=BD=2 ,AB=4,由(1)知∠ABC=90°， AC-25 Suc -3AC.BE-]AB-BC 2 1 ×2W5BE=。×4×2, .2 2 :BE46 5. 19,(本题10分)在平面直角坐标系0中，己知点16,0），点B0,6),动点C在半径为3的⊙0上， 连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列)，连接 AB B D 0 A (1)判断AB与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)连接BC,AD,当OCI‖AD时，求证：直线BC为⊙O的切线， 19129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 解：AB与⊙O相离：理由如下： 过O作OE⊥AB于E, A B D E 0 A 由已知得OA=OB=6, 在Ria01B中，AB=VOf+0B=6N2,Sn=0A,0B=)4B-OE, :0E=04x0B-6x6-3N2>3. AB 6√2 ∴AB与O0相离： (2) 证明：如图，连接AD、BC,设OA交⊙O于点F,连接DF, B A :OD⊥OC,OCIl AD .∠AD0=∠COD=90° :0D=OF=3,OA=6. :.AF=OA-OF=3=OF,即DF是R1△AOD斜边上的中线， .DF=OF=OD=3. 20129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ODF是等边三角形， .∠D0A=60° .∠DA0=90°-∠DOA=30°，∠BOD=90°-∠D0A=30° ∴.∠BOC=∠COD-∠BOD=60°， OC=OD ∠BOC=∠AOD 在 和 中， BOC AAOD BO=A0 △BOC≌AAOD(SAS) ∴∠BCO=∠AD0=90°，即OC⊥BC, .OC是半径 ∴直线BC是⊙0的切线。 【详解】(1)略 (2)略 20.(本题I0分)如图，圆内接四边形ABCD满足DB=DC,连结AC、BD,E是BA延长线上的一点， 过点D作DF⊥BE于点F. EE D (I)求证：AD平分∠EAC: (2)若AB=6,AF=1,求AC的长， 【答案】(I)证明：~四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠BCD+∠DAB=180°， ,∠EAD+∠DAB=180°， ∴.∠EAD=∠BCD. .DB=DC, ∴.∠DBC=∠BCD ∴.∠DBC=∠EAD. 21129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DAC=∠DBC, .∠EAD=∠DAC, .AD平分∠EAC: (2)8 【详解】(1)略 (2)解：过D作DG⊥AC于G, E D A 平分 AD ∠EAC DF⊥BEDG⊥AC :DF DG, 在RtADFA和Rt△DGA中 AD=AD DF=DG ∴.RtADFAS≌RtADGA(HL) ..AG=AF=1, 在Rt△DFB和RtADGC中 DB=DC DF=DG ∴.RtaDFBS≌RtADGC(HL) .∴.BF=CG :BF=AB+AF=6+1=7, CG=7, .AC=AG+CG=1+7=8, 答：AC的长为8 21.(本题10分)如图，AB,CD是⊙O的两条直径，过点B作BE⊥CD交CD于点F,交⊙O于点E, 22129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在CD的延长线上取一点P,使得∠ECP=∠DEP,连接AE. B (1)求证：EP是⊙O的切线： (2②)若∠EMB=60°.PE=4N5 求阴影部分的面积。 【答案】(I)证明：如答图，连接OE :CD是⊙O的直径， ∴.∠CED=90° ∴.∠ECP+∠CDE=90° .OE =OD ∴.∠OED=∠ODE ∠ECP=∠DEP, .∠DEP+∠OED=90°， 即∠OEP=90°， .OE⊥EP, :OE是⊙0的半径， ∴EP是⊙O的切线 E B (2)匙=8V3-8 【详解】(1)略 (2)解：∠EAB=60° 23129 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EOB=120° :BE⊥CD,OD是⊙O的半径， ÷∠E0D=1∠E0B=600 ∴.∠P=30° 设OE=x,则OP=2x 在R△OEP中，PE=4W5 ∴x2+(4V3)2=(2x)2 解得x=4(负值已舍去)， 即0E=4, ∴Ss=Se-o=)×4x4W5_60XEx4=8V5-8 2 360 3 22.(本题12分)己知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的O0交AC于点D,过圆心O作 AC的平行线OE,交BC于点E,连接DE并延长交AB的延长线于点F. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若BF=1,DF=3,求⊙0的半径： (3)若DC=DE=1,求AB的长. 【答案】(1)证明：如图，连接OD, 24129 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .OA=OD .∠A=∠ODA OE∥AC, ∴.∠A=∠BOE,∠ODA=∠DOE ∠DOE=∠BOE, 在△DOE和△BOE中， OD=OB ∠DOE=∠BOE OE=OE ∴.ADOE≌ABOE(SAS) ∴.∠ODE=∠OBE=90°，即OD⊥DF, 又：OD是⊙0的半径， DF是⊙O的切线： (2)4 g26 【详解】(1)略 (2)解：设⊙O的半径为r,则OB=OD=r, :BF=1, ∴.OF=OB+BF=r+1. 由(1)已证：∠0DE=90°， Rt△DOF ∠ODE=90°，DF=3 在 中， 0D+Dr2=0r2,即2+32=+ 25129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r=4, 即⊙0的半径为4： (3)解：OA=OB,OE∥AC, BE_OB=1, .CE OA :BE=CE, 由(1)已证：△DOE≌△BOE, ∴.BE=DE ..CE=DE, 又DC=DE=1, ..CE=DE=DC=1, △CDE是等边三角形， ∠C=60°， BC=CE+BE=2, BC 2 :在Rt△ABC中，AB= =2V5 tan4 tan30° 23.(本题14分)综合与实践 【发现问题】 数学活动课上，我们通过观察、探究，发现三角形的三条中线相交于一点，三角形的重心与顶点的距离等 于它与对边中点的距离的2倍， 【提出问题】 怎样证明这两个结论？ 26129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 如图1，△ABC的中线ADBE相交于点G,连接CG并延长交AB于点F. 求证： ①CF是△ABC的中线； ②AG=2DG」 【分析问题】 (I)小明进行了以下思考，证明：延长CF至点M,使得GM=CG,连接AM,BM,请沿着小明的思考， 将证明过程补充完整。 【解决问题】 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=0°，AB=6,BC=8,中线AD、BE相交于点G.求四边形CDGE 的面积. 8)如图3，在2)的条件下，∠ABC、∠BAC的角平分线交于点1，连接G,请直接写出G的长. 【答案】(I):AD、BE是△ABC的中线， .BD=CD,AE=CE, .GM=CG .DG、EG分别是△CBM和△CAM的中位线， :.DGIBM,EG∥AM, .∴，四边形AMBG是平行四边形， .AF FB. :CF是△ABC的中线： ②：DG是△CBM的中位线， .'BM=2DG, ,四边形AMBG是平行四边形， .BM=AG. ∴.AG=2DG: 27129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)8 房 【详解】(1)略 (2)解：如图2，连接CG, E G B D 图2 ,∠ABC=90°，AB=6,BC=8, ÷8m6x8=24, ,AD是△ABC的中线， .SA4CD= =12 2 .AG=2DG 2 8ao-35w=8, :E是AC的中点， 8,o234co=4, S网边形CDGE=SACD-SABG=12-4=8 ； (3)解：如图，作GF⊥BC于F,H⊥BC于H,连接CI,则GF∥AB,GF∥H, B HFD 图3 .AGFD∽△ABD 28/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GF FD GD 1 AB-BD AD 3' :A=6.0-8c=4 :GF=14B-2,FD-1BD-4 3 2 3, 'BF=BD-FD=4- 48 33 :∠ABC、∠BAC的角平分线交于点I, ∴.点I是△ABC的内心， ∴，点I到△ABC三边的距离相等， ∠ABC=90°，AB=6,BC=8, ÷4C=VAB+BC=V6+8-10 设△ABC内切圆的半径为x,则H=x, SAu+SAmI t SAC-SAe 5×6+8+10jx=24, 解得x=2,即H=2, :HB1=3ABC=45°，IB=90 2 ∴.△BHⅢ是等腰直角三角形， ∴.BH=IH=2, GF=IH=2,GF∥IH,∠IHF=90°， ∴四边形HFG是矩形， :6==F-朗-等2-号 29/29………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 圆的再认识·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，四边形的内切圆为，若，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．（本题3分）如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 4．（本题3分）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 5．（本题3分）如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，已知，圆心O在射线上运动，的半径为2，且与始终有两个公共点，则当与射线仅有一个公共点时，的长为（     ） A． B．2 C． D． 9．（本题3分）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 10．（本题3分）在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 12．（本题3分）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 13．（本题3分）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 14．（本题3分）如图，在中，，是的内切圆，半径为3，则阴影部分的面积为________． 15．（本题3分）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为________．（结果保留） 16．（本题3分）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点．若，则的半径为__________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． 18．（本题8分）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，当时，求证：直线为的切线． 20．（本题10分）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 21．（本题10分）如图，，是的两条直径，过点作交于点，交于点，在的延长线上取一点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 22．（本题12分）已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的长． 23．（本题14分）综合与实践 【发现问题】 数学活动课上，我们通过观察、探究，发现三角形的三条中线相交于一点，三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍． 【提出问题】 怎样证明这两个结论？ 如图，的中线相交于点，连接并延长交于点． 求证： ① 是的中线； ② ． 【分析问题】 (1)小明进行了以下思考，证明：延长至点，使得，连接．请沿着小明的思考，将证明过程补充完整． 【解决问题】 (2)如图，在中，，，，中线相交于点．求四边形的面积． (3)如图，在的条件下，的角平分线交于点，连接．请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $