第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 学情监测（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

八年级数学沪科版（上册）学情监测（三） 一、选择题 1. 以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 在中，，，则为（ ）度 A. 30 B. 28 C. 26 D. 40 3. 已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ） A. 2k B. 15 C. 24 D. 42 4. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以AD为一条高的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （2024·吉林） 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，于点，于点，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 65° D. 75° 9. 给出下列命题： （1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角 （2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形 （3）三角形的最小内角不能大于60° （4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 其中真命题的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. “对顶角相等”的逆命题是______．（用“如果…那么…”的形式写出） 12. 已知的三边为a，b，c，则的值为________． 13. 如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为______度． 14. 如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为_________； （2）设的面积为m，的面积为n，则_________． 三、解答题 15. 如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多3cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 16. 根据题意画出图形，并填注理由 证明：三角形的内角和等于180°． 已知：△ABC 求证：∴∠A＋∠B＋∠C＝180° 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA． ∵CE BA（辅助线） ∴∠B＝∠ECD（ ） ∠A＝∠ACE（ ） ∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（ ） ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（ ） 17. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出边上的高和中线； （2）画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 18. 已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数． （1）求c的值； （2）判断的形状． 19. 如图，是直线：①；②；③平分．请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题的真假． 20. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 21. 如图，已知是边上的中线，点是边上的一点，连接、，交于点． （1）求证：． （2）若，且，则的面积是多少？ 22. 我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接,得到“8”字图形． （1）如图1，试说明的理由． （2）如图2，和的平分线相交于点，利用（1）中的结论探索与、间的关系． 23. 【问题背景】，点、分别在、上运动（不与点重合）． 【问题思考】 （1）如图1，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，________； （2）如图2，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则___________． ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【问题拓展】 （3）在图2的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图3），___________．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学沪科版（上册）学情监测（三） 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】无需验证全部三边关系，只需比较每组线段中两较短边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形. 【详解】解：A、较短边为、，最长边为， ，不满足两边之和大于第三边， 不能构成三角形，不符合题意； B、较短边为、，最长边为， ， 不能构成三角形，不符合题意； C、 较短边为、，最长边为， ，满足三边关系， 可以构成三角形，符合题意； D、较短边为、，最长边为， ， 不能构成三角形，不符合题意. 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，结合三角形三个角的和等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形三个角的和等于是解答本题的关键． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论． 解：42是偶数，但42不是8的倍数． 故选D． 点评：本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 视频 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由于，根据三角形的高的定义，可确定以为一条高的三角形的个数． 【详解】解：以为一条高的三角形有这个， 故选：C． （2024·吉林） 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】中线平分三角形面积，分别用和表示两个小三角形面积，列等式求解长度． 【详解】解：∵是的中线， ∴ ∵， ， ∴， ． ∴ ∵，，， ∴， 解得． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和即可求出. 【详解】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°， ∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°， ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°. 故选C. 【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质. 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】(1)三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故(1)为假命题，(4)为真命题． (2)180°×=180°×=90°，故(2)为真命题； (3)若三角形的最小内角大于60°，三角形三个角的和大于180°，则三角形的最小内角不能大于60°，故(3)为真命题． 故选C． 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和成为解题的关键． 先根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和，然后代入各选项判断即可． 【详解】解：∵和分别平分和，， ∴． ∴． ∵和分别平分和， ∴． ∴． A． ，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D． ，故D选项符合题意． 故选D． 二、填空题 【11题答案】 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【解析】 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【点睛】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【12题答案】 【答案】2b 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项化简． 【详解】解：已知 的三边为  ，则有： ，即； ，即． 根据绝对值的性质化简原式： 故答案为：． 【13题答案】 【答案】27 【解析】 【分析】如图，∠3＝∠1，由∠3＝∠2+∠A计算求解即可． 【详解】解：如图 ∵a∥b，∠1＝56° ∴∠3＝∠1＝56° ∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29° ∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27° 故答案为：27． 【点睛】本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系． 【14题答案】 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 三、解答题 【15题答案】 【答案】8cm 【解析】 【分析】根据中线的定义知，再结合三角形周长公式知周长的差，表示出，结合，即可求出的长度． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴为的中点，． ∵的周长比的周长多， ∴． ∵， ∴， 即． ∴的长度是． 【16题答案】 【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换 【解析】 【分析】根据平行线的性质和平角度数等于180°求解即可． 【详解】解：证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA． ∵CE BA（辅助线） ∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（平角等于180°） ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换） 故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换． 【点睛】此题考查了证明三角形的内角和等于180°，平行线的性质以及平角度数等于180°，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平角度数等于180°． 【17题答案】 【答案】（1） 如图所示，高和中线即为所求； （2） 如图所示，边上的高即为所求； 【解析】 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【18题答案】 【答案】（1）4或6；（2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可； （2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果； 【详解】（1）∵的周长为，且周长小于18，即，． 又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数， ∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6． ∵当时，，不能构成三角形，故舍去， ∴c的值为4或6． （2）由（1）得当时，有；当时，有， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键． 【19题答案】 【答案】命题：如果，，那么平分．，，．又，．即平分．故是真命题． 【解析】 【分析】本题答案不唯一，可以用①和②作为条件，③作为结论，构造命题，再结合图形说明命题的真假． 【详解】解：命题：如果，，那么平分． ， ，， 又， 即平分． 故是真命题． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【小问1详解】 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， 【小问2详解】 ， ， 、是角平分线， ， ． 【21题答案】 【答案】（1）证明：∵，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外角大于不相邻的内角即可证明； （2）由是边上的中线，得，，再结合题中所给条件即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是边上的中线， ， ，， 又， ， ， ，， ． 【22题答案】 【答案】（1）解：，， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和与对顶角相等，推导8字模型角的关系； （2）多次套用“”字模型结论，结合角平分线性质，通过等式相加得到角之间的数量关系． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． 【23题答案】 【答案】（1） （2）①45° ②的度数不随A、B的移动而发生变化， 是的一个外角， ，…① 是的一个外角， ，…② ，分别是，的角平分线， ，，…③ 联立①②③可得，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①②根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质和角平分线的定义即可得到结论； （3）在上述问题的基础上，将换成即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴，， ∵是的平分线， ∴， 平分， ∴， ∴； ②略 【小问3详解】 解：设，则， ， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $