八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第11章 平面直角坐标系～第13章 三角形中的边角关系、命题与证明）

八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：：第11章 平面直角坐标系~第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川德阳·期中）若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，假命题有（     ） ①同位角相等；②一个角的邻补角一定不小于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）中国象棋是中华民族的文化瑰宝．象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院．“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不可能走到（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 6．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 10．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（     ） A．两种说法都对 B．小聪的说法对，小敏的说法错 C．两种说法都错 D．小聪的说法错，小敏的说法对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，则的值为_________． 12．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A，B的对应点C，D均落在坐标轴上，则点C的坐标是________． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 14．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）当时，函数的最大值是7，则函数的最小值为_______ 15．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在长方形中，点是平面直角坐标系的原点，点坐标为，有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到点停止运动．在点移动的过程中，当三角形的面积是8时，点坐标是______________________． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 18．（6分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值，并求出函数的解析式； (2)在第（1）问的条件下，若点，在函数图象上，且，求、的大小关系． 19．（8分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 20．（8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上，的面积为2，求点的坐标． 21．（10分）（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)在图中建立直角坐标系，使得点A的坐标为； (2)点是三角形内一点，将三角形平移后点P对应点，画出平移后的三角形； (3)求三角形的面积； (4)设点Q在y轴上，且三角形的面积为3，求点Q的坐标． 22．（10分）（26-27八年级上·福建·阶段检测）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． 23．（12分）（25-26八年级下·贵州安顺·期末）中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元，且每件甲款汉服比每件乙款汉服贵元． (1)求甲、乙两款汉服的单价． (2)该社团计划采购两款汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 24．（12分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点，分别在射线，上，连结，． (1)如图1，点，分别在边，上，求证：是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连结交于点，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连结，且，若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川德阳·期中）若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与轴平行的直线的点坐标特征（纵坐标相等）、点到轴的距离相等及两点互异的坐标特征（横坐标互为相反数），求、的值，进而得点坐标． 【详解】解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，假命题有（     ） ①同位角相等；②一个角的邻补角一定不小于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题要求判断各命题真假，找出假命题的组合，根据平面几何的基本概念和定理逐一判断即可． 【详解】解：①只有两直线平行时，同位角才相等，该命题未说明两直线平行，∴①是假命题； ②举例，若一个角为，它的邻补角为，，∴“邻补角一定不小于这个角”不成立，②是假命题； ③根据同一平面内直线的位置关系判定，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，∴③是真命题； ④根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴④是真命题， 假命题为①②，因此选A符合题意． 4．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）中国象棋是中华民族的文化瑰宝．象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院．“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不可能走到（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定象的初始坐标，作为推导的起点，依据象走“田”字的规则，推导象移动后横、纵坐标的变化规律，得出象能到达的点的坐标满足的特征，再逐一判断即可． 【详解】由图可知“象”当前位置是，根据象棋规则“象走田字”，走一步后坐标的横、纵坐标变化量一定是2和2，因此新坐标横、纵坐标的和的奇偶性和起点一致：起点横纵坐标和为，是偶数； A选项：，是偶数，符合象走后的坐标特征，可以走到； B选项：，是奇数，不符合特征，象不可能走到； C选项：，是偶数，可以走到； D选项：，是偶数，可以走到． 5．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的三边关系、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，，则，然后分且和且两种情况，分别根据题意列方程组求解并运用三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：设，，则． 当且时，即，解得； ∴，， ∵， ∴能构成三角形，即，符合题意； 当且时，即，解得． ∴，， ∵， ∴不能构成三角形，即，不符合题意； 综上，． 故选：B． 6．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限及直线与y轴交点作判断即可． 【详解】解：A、由图得：，而中，与y轴交于正半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图得：，而中，，则，与y轴交于负半轴，则，一致，故本选项符合题意； C、由图得：，而中，与y轴交于负半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象必过原点，而图中直线均不过原点，故本选项不符合题意． 7．（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 8．（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由得一次函数的增减性，结合图象过点的条件，根据判断各选项． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵ 函数图象过点， ∴ 当时，； 当时，； ∵， ∴若，则，，B成立； 若，可大于，，A不成立； 若，则，，C不成立； 若，可大于，，D不成立． 9．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【答案】B 【分析】根据时，可判断A选项；再由甲车行驶的时间和路程可求解甲车的速度，由相遇时可得甲乙的速度和，进而可求解乙车的速度，由此可判断C选项；再根据甲乙行驶的路程和速度求解和的值，由此可判断BD选项． 【详解】解：A选项，当时，， 可知A、B之间的距离为，故A选项正确； C选项，由图象可知，在时，甲车到达目的地，此时只有乙车还在行驶， ∴甲行驶的速度为， ∴乙行驶的速度为， ∵， ∴甲行驶的速度是乙的倍，故C选项正确； D选项，当时，且乙行驶的速度为， 此时乙行驶了，故，故D选项正确； B选项，后，乙行驶的路程为，且乙行驶的速度为， ∴乙又行驶了， ∴，即的值为，故B选项错误 ． 10．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（     ） A．两种说法都对 B．小聪的说法对，小敏的说法错 C．两种说法都错 D．小聪的说法错，小敏的说法对 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，结合平行线的判定定理判断小聪的说法；利用三角形的外角性质及折叠的性质推导直线夹角与角度差的关系，判断小敏的说法． 【详解】解：对于小聪的说法，由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，故小聪的说法正确； 对于小敏的说法，由折叠可知，， ∵点在上， ∴ ∴， ∵翻折后与相差（点与点为对应点）， ∴ 由折叠可知，， ∴， 设直线与的夹角为， 若直线与不平行， 设它们相交于点，在中， 由三角形外角的性质可知， ， ∴， 即直线与的夹角为， 故小敏的说法正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，则的值为_________． 【答案】4 【分析】根据正比例函数的定义可得常数项为，再根据正比例函数的性质，随的增大而增大可得一次项系数大于，联立条件求解即可得到的值． 【详解】解：由题意得： ， 解方程，得，即或， 解不等式，得， 因此符合条件的为． 12．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A，B的对应点C，D均落在坐标轴上，则点C的坐标是________． 【答案】或 【分析】设平移后横坐标的变化量为，纵坐标的变化量为，则，，再分两种情况：①当点在轴上，点在轴上时，②当点在轴上，点在轴上时，分别求出的值即可． 【详解】解：设平移后横坐标的变化量为，纵坐标的变化量为， 由题意得：，， ∵，， ∴与轴、轴均不平行， ∴点不可能同时落在轴上，也不可能同时落在轴上， 则分以下两种情况： ①当点在轴上，点在轴上时， 则，， 解得， ∴， ∴此时点的坐标是； ②当点在轴上，点在轴上时， 则，， 解得， ∴， ∴此时点的坐标是； 综上，点的坐标是或． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 14．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）当时，函数的最大值是7，则函数的最小值为_______ 【答案】 【分析】根据可判断函数的增减性，得到函数取最大值时对应的值，代入求出的值得到函数解析式，再根据增减性求出函数的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值是， ∴ ，解得， ∴，当时，取最小值，最小值为． 15．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在长方形中，点是平面直角坐标系的原点，点坐标为，有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到点停止运动．在点移动的过程中，当三角形的面积是8时，点坐标是______________________． 【答案】或或 【分析】我们先根据长方形和 确定各顶点坐标，再按的运动路线分三段讨论：①当在上（），设 ，利用，解得，得 ，②当在上（），设 ，利用，解得，得 ，③当在上（），设 ，利用，解得，得 ． 【详解】解：在长方形中， ∵点是平面直角坐标系的原点，点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为， 设点移动的时间为， ①当在上（）， 则点坐标为， ∴， 解得， ∴ ， ②当在上（）， 则点坐标为，， ∴， 解得， ∵， ∴ ， ③当在上（）， 则，点坐标为，， ∴， 解得， ∵， ∴ ， 综上，点坐标是或或． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可得，根据等腰三角形的三线合一定理可以求出，根据直角三角形两锐角互余可得：，根据角平分线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ∵， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【详解】（1）解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． （2）解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 18．（6分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值，并求出函数的解析式； (2)在第（1）问的条件下，若点，在函数图象上，且，求、的大小关系． 【答案】(1)，函数解析式为 (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，，然后求解即可； （2）根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵函数为正比例函数， ∴，， ∴且， ∴， ∴函数的解析式为； （2）解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在函数图象上，且， ∴． 19．（8分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）先求出点的“级关联点”，再根据点的“级关联点” 位于轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“5级关联点”是点， ． （2）解：点的“级关联点”是点， ， ． 位于轴上， ， 解得 ， ． 20．（8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立，即可求解； （2）求出点A，C的坐标，可得，从而得到，然后分两种情况：当点P在点D的右侧时，当点P在点D的左侧时．即可求解． 【详解】（1）解：联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， 如图，当点P在点D的右侧时， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在点D的左侧时， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 21．（10分）（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)在图中建立直角坐标系，使得点A的坐标为； (2)点是三角形内一点，将三角形平移后点P对应点，画出平移后的三角形； (3)求三角形的面积； (4)设点Q在y轴上，且三角形的面积为3，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据点A的坐标为，先确定原点，再建立平面直角坐标系即可； （2）根据平移性质，作图即可； （3）利用割补法求出三角形面积即可； （4）设，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：三角形的面积为： ； （4）解：设， 由题意得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 22．（10分）（26-27八年级上·福建·阶段检测）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． (3)或 【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求解； （2）根据，可得，即可证明结论； （3）根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． （2）略 （3）解：如图①，直线与相交所成的锐角的度数为， 由题意可得，， ∴； 如图②，延长交于点，则直线与相交所成的锐角为， ∴； 综上所述，直线与相交所成的锐角的度数为或． 23．（12分）（25-26八年级下·贵州安顺·期末）中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元，且每件甲款汉服比每件乙款汉服贵元． (1)求甲、乙两款汉服的单价． (2)该社团计划采购两款汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元 (2)当采购甲款汉服件、乙款汉服件时，总费用最少，最少总费用为元 【分析】（1）找到题干中的等量关系，通过设出未知数建立方程即可解决． （2）先设出未知数，根据题中的不等关系得出自变量的范围，再建立关于总费用的函数关系式，根据函数的性质解决即可． 【详解】（1）解：设乙款汉服单价为元，则甲款汉服单价为元， 则由题意得， 解得， ∴乙款汉服单价为元，甲款汉服单价为（元）， 答：甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元． （2）解：设购买甲款汉服件，则购进乙款汉服（）件， 由题意有， 解得， 考虑到实际意义又有， 解得， ∴， 设总采购费用为元， 则有，， ∵， 随的增大而增大， ∴当取最小值90时，总费用最少，此时甲汉服的数量为件，乙汉服的数量为（件）， （元）， 答：当采购甲款汉服件、乙款汉服件时，总费用最少，最少总费用为元． 24．（12分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点，分别在射线，上，连结，． (1)如图1，点，分别在边，上，求证：是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连结交于点，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连结，且，若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 是直角三角形； (2) (3) 【分析】（1）等量代换得到，求出，即可证明； （2）设，表示出，然后结合角平分线的定义和三角形内角和定理得到，进而求解即可； （3）首先表示出，，然后结合求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ， 平分， ， 又，， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ，， ， ∴， ， ， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $