第12章 函数与一次函数 章末核心考点整合与素养提升（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

章末核心考点整合与素养提升 01分点突破 考点一 函数及其图象 1. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． （贵州中考） 2. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一艘游船在沙湖上航行，往返于码头和景点之间，假设游船在静水中的速度不变，沙湖的水流速度不变，该游船从码头出发，逆水航行到景点，停留一段时间（游客下船游客上船），又顺水返回码头．若该游船从码头出发后所用时间为，游船距码头的距离为，则下列各图中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 考点二 一次函数的图象和性质 4. （1）若是正比例函数，则_____． （2）若与成正比，且时，，则比例系数为_____，解析式为____________． （3）函数，当_______时，是的一次函数，当_____时，是的正比例函数． （4）若一次函数的图像经过点，则_____． 5. 若直线y＝2x+b经过点A(﹣2，m)，B(1，n)，则m，n的大小关系正确的是（　　） A. m＜n B. m＞n C. m＝n D. 无法确定 （临夏州中考） 6. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列描述一次函数的图象与性质错误的是（ ） A. 点和都在此图象上 B. 直线与轴的交点坐标是 C. 与正比例函数的图象平行 D. 直线经过一、二、四象限 8. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 考点三 待定系数法 9. 某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 若点，，在同一条直线上，则a的值是（ ） A. 6或 B. 6 C. -6 D. 6或3 考点四 一次函数与方程（组）、不等式 11. 已知关于 x 的不等式 ax+1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax+1 与 x轴的交点是（ ） A. （0，1） B. （﹣1，0） C. （0，﹣1） D. （1，0） 12. 如图，已知一次函数的图象经过A（0，1）和B（2，0），当x＞0时， y的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 13. 如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为_____． 考点五 一次函数的实际应用 14. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 02整合提升 （兰州中考） 15. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移一个单位长度，那么平移后的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （南通中考） 16. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程S（千米）与时间t（小时）之间的关系．下列说法错误的是（ ） A. 乙晚出发1小时 B. 甲的速度是4千米/小时 C. 乙出发3小时后追上甲 D. 乙先到达B地 17. 按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（ ） A. −3 B. −2 C. 0 D. 2 （通辽中考） 18. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （镇江中考） 19. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 20. 一次函数，求： （1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？ （2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ （3）若时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 03素养专练 21. 我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 11 12 y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 22. 2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． （2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12km？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末核心考点整合与素养提升 01分点突破 考点一 函数及其图象 【1题答案】 【答案】x≥2． 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0， 解得x≥2且x≠0， 所以，自变量x的取值范围是x≥2． 故答案为x≥2． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． （贵州中考） 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以写出各段过程中，y与x的函数关系，从而可以解答本题，注意去的时候逆水，返回时顺水． 【详解】解：由题意可得， 轮船从码头去景点的过程中，y随x的增大而增大， 轮船在景点停留的这段时间的过程中，y随x的增大不变， 轮船从景点返回码头的过程中，y随x的增大而减小且所用的时间比从从码头去景点的时间短， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是仔细审题，将实际与函数图象结合起来，分段看图象． 考点二 一次函数的图象和性质 【4题答案】 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 3 【解析】 【分析】（1）正比例函数是形如（为常数，）的函数； （2）利用待定系数法直接求解即可； （3）根据一次函数的定义为形如（为常数，）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数进行求解即可； （4）将点代入解析式即可求出的值． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得； （2）设（为常数，）， 由题意得：， 解得， ∴解析式为； （3）由题意得：， 解得，即当时，是的一次函数； ， 解得：，即当时，是的正比例函数； （4）∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由k=2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-2＜1，即可得出m＜n． 【详解】解：∵k=2＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵-2＜1， ∴m＜n． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． （临夏州中考） 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的函数值随的增大而减小，可以得到，再根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．解答本题的关键是判断出的正负且熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小 , 该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】把，分别代入一次函数的解析式可判断A的正误；令可求得直线与轴的交点坐标即可判断B的正误；由于两直线的k值都等于，则两直线平行，可知C正确；再由k＜0，b＞0，则直线经过第一、二、四象限，故D正确． 【详解】A、因为当时，，当时，，所以点（2.5，0）、（1，3）在此图象上，所以A选项的说法正确； B、令，则，知直线与轴的交点坐标为（2.5，0），所以B选项的说法错误； C、由于两直线的k值都等于，则两直线平行，所以C选项的说法正确； D、因为k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限，所以D选项的说法正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限；图象与y轴的交点坐标为（0，b）；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同，是解答此题的关键． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由函数图象的位置可得，，然后，根据系数的正负性判断函数的图象的位置即可． 【详解】解：由一次函数图象的位置可知，， ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． ∴选项D的图象符合要求． 考点三 待定系数法 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行时一次函数的k相等，用待定系数法设出解析式，代入已知点坐标求出参数即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数图象与直线平行， ∴设该一次函数解析式为， ∵函数经过点， ∴将代入解析式得，解得， ∴该一次函数解析式为 ． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把AB点的坐标代入解析式，解方程组，即可求出一次函数的解析式，再将x=5代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：设该直线对应的函数表达式为， 把，代入，得 解得 ∴， 又∵点也在这条直线上， ∴. 故选B. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．解决本题的关键是根据一次函数解析式的特点先求出一次函数的函数关系式． 考点四 一次函数与方程（组）、不等式 【11题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由于关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，得到a小于0，表示出不等式的解集，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入确定出直线y=ax+1解析式，即可求出与x轴的交点坐标． ∵关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是：x＜1， ∴a＜0，解得：x＜-， ∴=1，即a=-1，即直线解析式为y=-x+1， 令y=0，解得：x=1， 则直线y=-x+1与x轴的交点是（1，0）． 故选D 考点：本题考查了一次函数与一元一次不等式 点评：解答本题的关键是理解不等式的解集可看作是直线与x轴的交点的左边或右边的取值．同时认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系． 【12题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】观察图象可知，y随x的增大而减小，而当x=0时，y=1，根据一次函数的增减性，得出结论． 【详解】解：把A（0，1）和B（2，0）两点坐标代入y=kx+b中， 得，解得 ∴y=-x+1， ∵-＜0，y随x的增大而减小， ∴当x＞0时，y＜1． 故选A． 【点睛】首先能够根据待定系数法正确求出直线的解析式．在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 【13题答案】 【答案】x＝﹣ 【解析】 【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出方程的解即可． 【详解】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3）， ∴﹣2m＝3， 解得：m＝﹣， 则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x， 由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x＝﹣， 故答案为：x＝﹣． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定方程的解． 考点五 一次函数的实际应用 【14题答案】 【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据题意列方程组解答； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得： . 解此方程组得：. 答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则 ， ∵k=2>0， ∴W随t的增大而增大， 由题意，解得， ∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润, 答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键. 02整合提升 （兰州中考） 【15题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先由“上加下减”的平移规律求出正比例函数的图象向上平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将正比例函数的图象向上平移一个单位得到， ∵k＞0，b＞0， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确得出函数平移后的解析式是解题的关键． （南通中考） 【16题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象横、纵坐标的实际意义逐一判断，即可求解， 本题考查了，函数图像的意义，解题的关键是：正确理解题意，熟练掌握函数图像所表达的信息． 【详解】解：由图象可知：乙比甲晚出发1小时，故A正确； 由图象可知：甲的速度是千米/小时，故B正确； 由图象可知：乙出发小时后追上甲，故C错误； 乙的速度为千米/小时 ∴乙到达B地对应的横坐标，甲到达B地对应的横坐标， ∵， ∴乙先到达B地，故D正确． 故选：C． 【17题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求函数值，正确得出b的值是解题关键． （通辽中考） 【18题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． （镇江中考） 【19题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 【20题答案】 【答案】（1）m＞-2，n为任意实数；（2）m≠-2，n＞3；（3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数性质得2m+4＞0，然后解不等式； （2）根据一次函数图象与系数的关系得到2m+4≠0，3-n＜0，然后解两个不等式； （3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，从而利用三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）当2m+4＞0时， 即m＞-2，n为任意实数，y随x的增大而增大； （2）当2m+4≠0，3-n＜0时， 即m≠-2，n＞3，函数图象与y轴的交点在x轴下方； （3）m=-1，n=2，一次函数为y=2x+1， 当x=0时，y=2x+1=1， 则一次函数与y轴的交点为（0，1）； 当y=0时，2x+1=0，解得x=， 则一次函数与x轴的交点坐标为（，0）， ∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为=． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），当k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 03素养专练 【21题答案】 【答案】（1）x＝7，y＝2.75这组数据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤． 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断． （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可. 【详解】解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误． （2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得， 解得， ∴， 当x＝16时，y＝4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤. 【点睛】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键. 【22题答案】 【答案】（1）点横坐标的实际意义是从杭州出发前往衢州共用了23h；游轮在“七里扬帆”停靠的时长为2h； （2）①货轮出发后8小时追上游轮；②0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km 【解析】 【分析】（1）根据图中信息解答即可． （2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可；②分相遇前与相遇后两种情形分别构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h； ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长（h）． 【小问2详解】 解：①∵h， ∴A（14，280），B（16，280）， ∵（h）， ∴， ∴E（22.4，420）， 设BC的解析式为，把B（16，280）代入，解得， ∴， 同理，由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为， 由题意可得：， 解得， ∵（h）， ∴货轮出发后8小时追上游轮． ②分相遇前与相遇后两种情况求解： 相遇之前相距12km时，则，解得； 相遇之后相距12km时，则，解得； 当游轮在刚离开杭州12km时,此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km， 所以此时两船应该也是相距12km，即在0.6h的时候，两船也相距12km. ∴当为0.6h或21.6h或22.4h时，游轮与货轮何时相距12km． 【点睛】本题考查一次函数的应用．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $