第21章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：60分钟，满分100分 一．选择题(每题3分，共18分) 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（    ） A． B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 4．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 6．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 二．填空题(每题2分，共24分) 7．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 8．方程的根为________． 9．方程的根是_______． 10．方程的根是________． 11．已知一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 12．在实数范围内因式分解：________． 13．在实数范围内因式分解：______． 14．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么_______． 15．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 16．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 18．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 三．解方程(每题5分，共25分) 19．解方程: 20．用配方法解方程：． 21．用合适的方法解方程： ． 22．解方程： 23．解方程：． 四、解答题(共33分) 24．（8分）如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 25．（8分）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 26．（8分）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 27．（9分）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：60分钟，满分100分 一．选择题(每题3分，共18分) 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（    ） A． B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 4．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 6．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 二．填空题(每题2分，共24分) 7．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 8．方程的根为________． 9．方程的根是_______． 10．方程的根是________． 11．已知一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 12．在实数范围内因式分解：________． 13．在实数范围内因式分解：______． 14．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么_______． 15．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 16．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 18．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 三．解方程(每题5分，共25分) 19．解方程: 20．用配方法解方程：． 21．用合适的方法解方程： ． 22．解方程： 23．解方程：． 四、解答题(共33分) 24．（8分）如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 25．（8分）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 26．（8分）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 27．（9分）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：60分钟，满分100分 一．选择题(每题3分，共18分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B A A A 二．填空题(每题2分，共24分) 7． 8．， 9．， 10．， 11．/ 12． 13． 14． 15． 16． 17．且 18． 三．解方程(每题5分，共25分) 19． 解： 配方得， 即， ∴， ∴﹒.................................5分 20． 解：， ， ， ， ， ， ∴．.................................5分 21． 解：， 整理得：， ∴， ∴或， ∴．.................................5分 22． 解：分解因式得：， 或， 解得：，．.................................5分 23． 解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：，.................................3分 经检验：当时，， 当时，， ∴原分式方程的解为．.................................5分 四、解答题(共33分) 24．（8分）； 解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程是一元二次方程， ∴，.................................4分 此时， 解得：或（舍去）， 故原方程为： 即： ∴．.................................8分 25．（8分）该店每辆车的下调价格为5万元 解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，，.................................4分 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元．.................................8分 26．（8分）(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为．.................................4分 （2）解：设增加y条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线．.................................8分 27．（9分）垂直于墙面的隔板的长为米 解：设垂直于墙面的隔板的长为米，则， 根据题意，，∴， ∴，.................................4分 则， 展开并化简得， 因式分解得，解得. 验证：当时，米，(墙长)，符合题意. 答：垂直于墙面的隔板的长为米．.................................9分 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：60分钟，满分100分 一．选择题(每题3分，共18分) 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需注意二次项系数不为0，且方程为整式方程这两个关键判定点． 【详解】解：A．未明确，不一定是一元二次方程，故A不符合题意； B．是一元二次方程，故B符合题意； C．含两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故D不符合题意． 2．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：B． 3．方程的根的情况是（    ） A． B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据求出判别式的值，然后根据判别式的值判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 4．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 5．已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，根据关于的方程没有实数根，得出，得，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 观察4个选项，唯有2符合条件， 故选：A． 6．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题(每题2分，共24分) 7．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先把方程化成一般式，再根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 8．方程的根为________． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法进行计算求解即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：， 因式分解得：， 由零乘积性质， 得：或， 解得：或， 故答案为：，． 9．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ， 解得：，． 10．方程的根是________． 【答案】， 【分析】按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 故答案为：， 11．已知一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再整体代入变形后的式子计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为： 12．在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 13．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，相反数的定义，设方程的两个根为、，由根和系数的关系得，，进而得到，解方程求出的值，再根据根的判别式求出的取值范围即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个根为、， 则，， ∵两根之和与两根之积互为相反数， ∴， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ，整理得， ． ，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，， 将结果代入所求式子得：． 16．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】将方程化为配方形式，利用平方数的非负性直接求解． 本题考查了实数的非负性的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为． 由于， 因此方程有实数根当且仅当，即， 故答案为：． 17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况和一元二次方程的概念确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 18．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为：． 三．解方程(每题5分，共25分) 19．解方程: 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，整体数学思想﹒把看作一个整体，直接利用配方法解方程即可求解﹒ 【详解】解： 配方得， 即， ∴， ∴﹒ 20．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 21．用合适的方法解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴或， ∴． 22．解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解本题的关键．用十字相乘法因式分解求出方程的根． 【详解】解：分解因式得：， 或， 解得：，． 23．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程及一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程及一元二次方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 经检验：当时，， 当时，， ∴原分式方程的解为． 四、解答题(共33分) 24．（8分）如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 【答案】； 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数以及求解一元二次方程．熟记相关结论即可．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求出a的值，再代入方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程是一元二次方程， ∴， 此时， 解得：或（舍去）， 故原方程为： 即： ∴． 25．（8分）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该店每辆车的下调价格x万元，则降价后每辆车的利润为万元，销量为辆，即可列方程求解． 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 26．（8分）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加y条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加y条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 27．（9分）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 【答案】垂直于墙面的隔板的长为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是明确防潮隔板的围建部分与各边长的关系，结合面积条件列方程，并验证解的合理性． 【详解】解：设垂直于墙面的隔板的长为米，则， 根据题意，，∴， ∴， 则， 展开并化简得， 因式分解得，解得. 验证：当时，米，(墙长)，符合题意. 答：垂直于墙面的隔板的长为米． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $