第二十一章 一元二次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十一章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．判断关于x的方程根的情况（     ） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】利用判断根的情况，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，计算后判断其与0的大小关系即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴ ， ∵ 对任意实数，都有， ∴ ， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． 2．使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】将看作整体换元，降次求解即可． 【详解】解：设，原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 共2个不同实数解． 3．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 4．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、求一元一次不等式的整数解 【分析】根据的定义分区间讨论，去掉取整符号后转化为一元二次方程求解，验证解的有效性． 【详解】解：，，即， 又， ． 当时，，方程化为，解得，符合要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合区间要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合要求． 当时，，且，，即，方程无解． 综上，方程共有3个解． 5．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 6．如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据角的平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，解答即可． 本题考查了角的平分线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，熟练掌握等腰三角形的判定，根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵和分别平分和， ∴，，     ∵，     ∴，     ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 且 ， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．方程的解为________． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ，． 故答案为：，． 8．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得：， 又， ， ∴， 故答案为：． 9．用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是通过移项、配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得； 配方，得； 即． 故答案为：． 10．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查因式分解及一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解及一元二次方程的解法是解题的关键；可令，然后根据求根公式可得出方程的根，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可令， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算，即可求解． 【详解】解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，得，． 所以． 故答案为：． 12．若是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、异分母分式加减法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 13．顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、 求比值 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 【详解】解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价_________元 【答案】20 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：单个利润售价进价，总利润单个利润数量．设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件，根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意，得方程：， 展开并整理得， 解得或， 为尽快减少库存，取． 故答案为：20． 15．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 【答案】或 【知识点】绝对值方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程． 由方程可得两根分别为和．根据两根距离为3，得 ，即．解此绝对值方程，得到或．代入所求表达式 ，即可求得值． 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 17．方程的解为___________． 【答案】，， 【知识点】公式法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查高次方程的解法，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．观察到方程系数对称，通过除以 （）进行代换，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后再解关于 的方程． 【详解】解：原方程为 ， 由于 ，两边除以 ，得：， 整理得：． 设 ，则 ， 代入得：， 化简得：． 解该二次方程：判别式 ， ， 所以 ，． 当 时，即，两边乘以 得：， 即 ，判别式 ， ， 所以 或 ； 当 时，即，得：， 即 ，所以 ， 综上，原方程的解为 ，，． 18．关于的方程只有一个实数解，则实数所有可能的值的绝对值之和为________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、解分式方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． 先根据分式有意义的条件确定分式方程x的取值范围，再将分式方程整理成，再分、以及分式方程存在增根三种情况求得k的值，最后再求绝对值的和即可． 【详解】解：原分式方程 的x的取值范围为且． 两边乘以公分母 ，得： ， 简化后为：， 展开并整理得：，此为关于的二次方程，但系数含 ． ①：当 ，即 时，方程为一次方程． 将代入原方程，解得 ，符合题意，故符合条件． ②：当 ，即 ，方程为二次方程． 二次方程有唯一实数解时判别式为零： ，解得：． 当时，，经检验均不为或，故 符合条件． 情况三：考虑增根可能性． 若是根，代入二次方程得 ，即 ． 当，原方程解得 ，满足题意，故符合条件． 若是根，代入二次方程得 ． 当，原方程解得 ，满足题意，故 符合条件． 综上，所有符合条件的 值为 ． 其绝对值之和为： ． 故答案为 ． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）解方程： 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴，即，..................................3分 ∴或， ∴，．..................................6分 20．（本题6分）已知是方程的根，求的值． 【答案】 【知识点】分式的求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据题意得到，，，然后代入化简即可． 【详解】解：∵是方程的根 ∴，即， ∴，..................................3分 ∴ ．..................................6分 21．（本题6分）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根。 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；..................................3分 （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴．..................................6分 22．（本题6分）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解； （2）先求出的值，再开方即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，， ∴, ∴；..................................3分 （2）解：由（1）知, ∴， ∴..................................6分 23．（本题8分）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【答案】绿地的长和宽各是米，米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设宽为米，则长为米，再根据长宽列出方程求解即可．根据长方形的面积计算公式列方程是解题的关键． 【详解】解：设宽为米，则长为米， 依题意列方程：，..................................4分 解方程得：，（舍去） ∴ 答：绿地的长和宽各是米，米．..................................8分 24.（本题8分）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)米 (3)解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为：..................................3分 （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米；..................................6分 （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为．..................................8分 25．（本题9分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)5或13 (3)0 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解；②根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）由为“幸运方程”，可得两根都为整数，推出为完全平方数，再结合为整数，即可求出的值； （3）根据的解为整数，得出m的值，进而得出，再根据列方程，将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：①当时，为， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 故答案为：①；②或3．..................................3分 （2）解：， ， ， ， 为“幸运方程”， 两根都为整数， 为完全平方数， 为49或64或81， m的值为5或或， 为整数， m的值为5或13；..................................6分 （3）解：为“幸运方程”， 两根都为整数， 设方程的两个根分别为p，q， 则，， ， ， ， p，q都为整数，， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 综上可知，m的值为5或， 的“幸运数”为：， 当时，， 当时，， 综上可知，的“幸运数”为； 的“幸运数”为： ， 与互为“开心数”， ， ， 当时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当时，， 解得， 综上可知，的值为0．..................................9分 【点睛】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 26．（本题9分）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，；..................................2分 （2），，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ；..................................5分 （3）， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ．..................................9分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十一章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．判断关于x的方程根的情况（     ） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 6．如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．方程的解为________． 8．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 9．用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 10．在实数范围内因式分解：______． 11．已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 12．若是方程的根，则代数式的值是______． 13．顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价_________元 15．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 17．方程的解为___________． 18．关于的方程只有一个实数解，则实数所有可能的值的绝对值之和为________． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）解方程： 20．（本题6分）已知是方程的根，求的值． 21．（本题6分）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 22．（本题6分）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 23．（本题8分）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 24.（本题8分）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 25．（本题9分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 26．（本题9分）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十一章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．判断关于x的方程根的情况（     ） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 6．如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．方程的解为________． 8．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 9．用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 10．在实数范围内因式分解：______． 11．已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 12．若是方程的根，则代数式的值是______． 13．顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价_________元 15．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 17．方程的解为___________． 18．关于的方程只有一个实数解，则实数所有可能的值的绝对值之和为________． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）解方程： 20．（本题6分）已知是方程的根，求的值． 21．（本题6分）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 22．（本题6分）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 23．（本题8分）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 24.（本题8分）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 25．（本题9分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 26．（本题9分）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十一章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B C B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．， 8．-1 9． 10． 11．3 12．2028 13． 14．20 15． 16．或 17．， ， 18. 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）【答案】，． 【详解】解：， ∴， ∴，即，..................................3分 ∴或， ∴，．..................................6分 20．（本题6分）【答案】-1 【详解】解：解：∵是方程的根 ∴，即， ∴，..................................3分 ∴ ．..................................6分 21．（本题6分）【答案】(1)方程有两个不相等的实数根。 (2) 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；..................................3分 （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴．..................................6分 22．（本题6分）【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，， ∴, ∴；..................................3分 （2）解：由（1）知, ∴， ∴..................................6分 23．（本题8分）【答案】绿地的长和宽各是米，米 【详解】解：设宽为米，则长为米， 依题意列方程：，..................................4分 解方程得：，（舍去） ∴ 答：绿地的长和宽各是米，米．..................................8分 24．（本题8分）【答案】(1) (2)米 (3)解：不能，理由：∴仓库的面积不能为． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为：..................................3分 （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米；..................................6分 （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为．..................................8分 25． （本题9分）【答案】(1)①；②或3 (2)5或13 (3)0 【详解】（1）解：①当时，为， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 故答案为：①；②或3．..................................3分 （2）解：， ， ， ， 为“幸运方程”， 两根都为整数， 为完全平方数， 为49或64或81， m的值为5或或， 为整数， m的值为5或13；..................................6分 （3）解：为“幸运方程”， 两根都为整数， 设方程的两个根分别为p，q， 则，， ， ， ， p，q都为整数，， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 综上可知，m的值为5或， 的“幸运数”为：， 当时，， 当时，， 综上可知，的“幸运数”为； 的“幸运数”为： ， 与互为“开心数”， ， ， 当时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当时，， 解得， 综上可知，的值为0．..................................9分 26．（本题9分）【答案】【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，；..................................2分 （2），，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ；..................................5分 （3）， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ．..................................9分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $