专题01 直角三角形与角平分线（10题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以10题型为框架，系统整合直角三角形性质判定、角平分线性质应用及综合解题方法，通过典例变式实现知识逻辑与解题能力的双重突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形性质|题型1-4（含30°角、斜边中线）|互余关系应用、判定三法、中线转化、30°边角关系|从基本性质到特殊元素，构建直角三角形认知体系| |全等与综合|题型5-6（HL及综合）|HL判定规范、性质联用技巧|全等作为工具，衔接直角三角形性质实现综合应用| |角平分线|题型7-10（作图、性质、判定、应用）|尺规作图原理、性质（作垂线）与判定（证等距）|从作图到性质判定，结合实际问题体现应用意识|

专题01 直角三角形与角平分线（10题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形的两个锐角互余 题型02 判定直角三角形 题型03 斜边中线定理 题型04 含30°角的直角三角形 题型05 用HL判定全等 题型06 直角三角形与全等综合 题型07 角平分线的尺规作图 题型08 角平分线的性质定理 题型09 角平分线的判定定理 题型10 角平分线性质的实际应用 ▌题型01 直角三角形的两个锐角互余 先确认三角形是直角三角形，再由“两锐角和为90°”列式求角；常与角平分线、外角、对顶角结合。 【典例1-1】如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【典例1-2】如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】如图，在中，斜边的垂直平分线交边于点，交边于点，如果，那么____度． 【变式1-1】如图，在中，，是高，平分交于点，过作交边于点，交边于点，连接，下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海普陀·阶段检测）已知：如图，在中，，，若，则_______． 【变式1-3】如图，在中，，，于点E，的垂直平分线交于点D，交于点F，若，则______． 【变式1-4】如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． ▌题型02 判定直角三角形 ①算得两内角和为90°→直角三角形；②三角形一边上的中线等于该边一半→直角三角形；③（衔接22.3）用勾股定理的逆定理。 【典例2】在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【变式2-3】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ▌题型03 斜边中线定理 正用：找到斜边中点→连中线→中线=½斜边，得到等腰三角形、实现线段转化；逆用：中线等于所对边一半→直角三角形。 【典例3-1】如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【典例3-2】如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【典例3-3】如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为___________． 【变式3-1】如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 【变式3-2】如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式3-3】（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：． 【变式3-4】如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． ▌题型04 含30°角的直角三角形 正用：30°→所对直角边=½斜边，求线段长；逆用：直角边=½斜边→该锐角为30°。 【典例4-1】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【典例4-2】如图，中，为上一点，，，，则_________°． 【变式4-1】等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于_________． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式4-3】如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． (1)直接写出与的位置关系：_____； (2)如图①，当时，求证：； (3)在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． ▌题型05 用HL判定全等 ①确认两个三角形都是直角三角形；②找到斜边、一条直角边对应相等；③用HL，书写必须标注“Rt△”。 【典例5】如图，在中，F是上的一点，，的延长线于点E，． (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【典例5-1】如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【典例5-2】如图，中，，点为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． ▌题型06 直角三角形与全等综合 综合题常把HL全等与斜边中线、30°性质连用：先用HL证全等得到线段（或角）相等，再借助斜边中线“一半”关系完成目标。 【典例6-1】（24-25八年级上·上海·期中）如图，在四边形中，，，，平分，点在边上，射线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作，交于点，求证：． 【典例6-2】如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【典例6-3】如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿射线运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点运动到在的延长线上，连接交延长线于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 【变式6-1】如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 【变式6-2】如图，在中， 在外部取一点，连接，且平分， (1)如图，求证：； (2)如图，当时，将沿翻折，点落在点处，连接，若，试探究线段与线段的数量关系，说明理由． 【变式6-3】已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【变式6-4】如图1，中，，，点为上一动点，连接，．过点作交于点，． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，求证：； (3)若，的面积为2，求的面积． ▌题型07 角平分线的尺规作图 【典例7-1】下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【典例7-2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，__________． 【变式7-1】观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 【变式7-2】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，，则的长为______． 【变式7-3】两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） ▌题型08 角平分线的性质定理 题中有角平分线时，向角的两边作垂线段（已有垂直则直接用），得到相等线段；常与面积法联用求距离。 【典例8-1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【典例8-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在直角三角形中，，点在边上，且平分．求证：． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于__________． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，、，垂足分别为M、N，试探索与的大小关系，并说明理由． 【变式8-3】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） (1)________；（直接写出结果） (2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； (3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） ▌题型09 角平分线的判定定理 要证“某点在角平分线上（或某射线是角平分线）”→证该点到角两边距离相等，并确认点在角的内部。 【典例9-1】下列说法中，不正确的是（    ） A．有两个角是的三角形是等边三角形 B．已知，，，则可以画出唯一确定的 C．若中，，则是直角三角形 D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 【典例9-2】如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【典例9-3】已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【变式9-1】如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【变式9-2】在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 【变式9-3】（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条___________的交点，点为三条___________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3） 已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． ▌题型10 角平分线性质的实际应用 【典例10】如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式10-1】如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【变式10-2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01直角三角形与角平分线(10题型突破举一反三) 目录 题型01直角三角形的两个锐角互余 题型02判定直角三角形 题型03斜边中线定理 题型04含30°角的直角三角形 题型05用HL判定全等 题型06直角三角形与全等综合 题型07角平分线的尺规作图 题型08角平分线的性质定理 题型09角平分线的判定定理 题型10角平分线性质的实际应用 题型01直角三角形的两个锐角互余 三解题必备 先确认三角形是直角三角形，再由“两锐角和为90”列式求角；常与角平分线、外角、对顶角结合。 E 典例精析 【典例11】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AC于点E.若 ∠BAD=34°，则∠AEB的度数为() A.56 B.60° C.62° D.65 【答案】C 【详解】解：：AD⊥BC, .∠ADB=90°， ,∠BAD=34°， .∠ABD=90°-∠BAD=90°-34°=56°， :BE平分∠ABC, 1157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 .∠ABE=5∠ABD=×56°=28°， 在△ABC中，∠BMC=90°，∠ABE=28, .∠AEB=90°-28°=62°， 故选：C 【典例12】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC,BE平分∠ABC交AD于点E, EF‖AC交BC于点F,下列结论不成立的是() E B D F A.∠ABD=∠DACB.∠C=∠BAD C.AC=2AD D.AD=2DF 【答案】D 【详解】解：，∠B4C=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=90°-∠C=60°， AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∠DAC=90°-∠C=60°， .∠ABD=∠DAC,故A选项成立，不符合题意： :∠BAC=90°，∠DAC=60°， .∠BAD=90°-∠DAC=30°， ∴∠C=∠BAD=30°，故B选项成立，不符合题意： ,∠ADC=90°，∠C=30°， ,AC=2AD,故C选项成立，不符合题意； :EFI‖AC, ∴.∠EFD=∠C=30°， BE平分∠ABC, ÷∠EBD=)∠ABC=30, 2 .∠EBD=∠AEFD, 2157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BE=FE, :ED⊥BF, .BD=DF, 在RtAABD中，∠BAD=30°， ∴AB=2BD, .AB=2DF, .AB>AD. AD≠2DF,故D选项错误，符合题意 故选：D 【典例1-3】如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AB于点E,交边BC于点D,如果 ∠B=28°，那么∠CAD=度 【答案】34 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=28°， ∴.∠CAB=90°-28°=62°， ,DE垂直平分AB, .'AD=BD, ∠DAB=∠B=28°， .∠CAD=∠CAB-∠DAB=62°-28°=34°， 故答案为：34 三举一反王 【变式11)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=9O°，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E,过E作 EF∥AC交边AB于点F,交边BC于点G,连接CF,下列结论中，不一定成立的是() D 3157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.∠EFD=∠BCDB.∠ACF=∠DCF C.BF=BC D.AF=CF 【答案】D 【详解】A、:EF∥AC,∠BCA=90°， ∴.∠CGE=∠BCA=90°， .∠BCD+∠CEG=90°， 又，CD是高， .∠EFD+∠FED=90°， :∠CEG=∠FED. ∴，∠EFD=∠BCD,故此选项正确： B、由上可得：∠EFD=∠BCD, 又由C选项得：△BCE≌aBFE, :.BF=BC, ∴.∠BFC=∠BCF. :.∠BFC-∠EFD=LBCF-∠BCE,即∠DCF=∠CFG, :EF∥AC, .∠ACF=∠CFG, .∠ACF=∠DCF,故此选项正确： C、由A证明得∠EFD=∠BCD, :BE平分∠ABC, ∴.∠EBC=∠EBF, 在△BCE和△BFE中， ∠EFD=∠BCD ∠EBF=∠EBC, BE=BE ∴.△BCE≌aBFE(AAS), ,BF=BC,故此选项正确： D、由上可知：∠ACF=∠DCF,若AF=CF,则有∠ACF=∠DCF=∠A, 则有∠A=30°，与题意不符，故此选项不一定成立： 故选：D 【变式12】(2425八年级上上海普陀阶段检测)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 4157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若∠ACD=26°，则∠B= B D 【答案】26° 【详解】解：：∠ACB=90°，∠ACD=26°， ∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=64°. CD⊥AB, .∠CDB=90°， .∠B=90°-∠BCD=90°-64°=26° 故答案为：26°」 【变式13】如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AE⊥BC于点E,AB的垂直平分线交BC于点 D,交AB于点F,若BD=62,则∠DAE=一 B D 【答案】30° 【详解】解：连接AD, ∠B=30°，AE⊥BC, ∴∠BAE=90°-∠B=60°， DF垂直平分AB, .'BD=AD, ∴.∠B=∠DAB=30°， .∠DAE=∠BAE-∠DAB=30° 故答案为：30° D 5157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式14】如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD, ∠DAC=20°，∠C=38°，那么∠BAD= B 【答案】58 【详解】解：延长AD交BC于点E, 是 的角平分线， E .·BD ∠ABC ,∠ABD=∠EBD, AD⊥BD. ∴.∠BAD=∠BED=∠DAC+∠C=20°+38°=58°， 故答案为：58 题型02判定直角三角形 三 解题必备 ①算得两内角和为90°→直角三角形：②三角形一边上的中线等于该边一半→直角三角形；③（衔接22.3） 用勾股定理的逆定理。 E 典例精析 【典例2】在下列条件中：①∠A=∠B-∠C,②∠A-∠B=90°，③∠A:∠B:∠C=2:3:5,④ A=)∠B=∠C中，能确定AMBC是直角三角形的条件有（） 2 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：①：∠A=∠B-∠C,且∠A+∠B+∠C=180°， 6157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.（∠B-∠C+∠B+∠C=180° .2∠B=180° .∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. ②：∠A-∠B=90°，且∠A+∠B+∠C=180°， .∠A=∠B+90°， 代入得∠B+90)+∠B+∠C=180° ∴2∠B+∠C=90° ∴.∠C=90°-2∠B<90°，且∠A>90°， :△ABC是钝角三角形，不是直角三角形. ③：∠A:∠B:∠C=2:3:5,设∠A=2k,∠B=3k,∠C=5k, 则2k+3k+5k=10k=180° ∴k=18° .∠C=5×18°=90°. △ABC是直角三角形. 1 ④：∠A=2∠B=3∠C,设∠A=x' 则∠B=2x,∠C=3x, .x+2x+3x=6x=180° x=30°， .∠C=3×30°=90° △ABC是直角三角形， ∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①、③、④，共3个. 故选：C. 举一反三 【变式2-1】(25-26八年级上·上海·期中)已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等： ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等： ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等： ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等： 7157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等. 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题： ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题： ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，SSA不一定成立，原命题是假命题： ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题 ⑤两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题 其中真命题的个数是2个： 故选：B 【变式22】小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程， 于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是() (A) 等腰三角形 (C) 三角形 等腰直角三角形 (B) 直角三角形 (D) A.两条边相等 B.一个角为直角 C.有一个角45° D.两条直角边相等 【答案】C 【详解】解：A,两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意： B.有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意： C.有一个角45°，可以是顶角45°的锐角三角形，也可是底角45°的等腰直角三角形，故不一定是等腰直 角三角形，故该选项符合题意： D.两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意： 故选：C. 【变式23】在下列条件：①∠A+∠B=∠C:②∠A∠B:∠C=123:③∠A=∠B=2∠C:④ ∠A=90°-∠B:⑤∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】C 【详解】解：①：∠A+∠B=∠C, 8157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 .∠A+∠B=∠C=。×180°=90°， ∴△ABC为直角三角形， 故①正确，符合题意： ②.∠A∠B:∠C=123」 ∠C=2x180°=90°， 6 △ABC为直角三角形， 故②正确，符合题意： ③，∠A=∠B=2∠C. ∠A=∠B=2x180°=72，∠C=x180°=36°， 1 5 ·△ABC不是直角三角形， 故③错误，不符合题意： ④，∠A=90°-∠B」 ∴∠A+∠B=90°， .∠C=180°-（∠A+∠B)=90°， ∴.△ABC为直角三角形， 故④正确，符合题意： ⑤：∠A=∠B=∠C, ÷∠A=∠B=∠C=x180°=60°， :△ABC不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意： 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C 题型03 斜边中线定理 解题必备 正用：找到斜边中点→连中线→中线=斜边，得到等腰三角形、实现线段转化；逆用：中线等于所对边一 半→直角三角形。 9157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 典例精析 【典例31】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，且DC=AC,则∠A的度数为() A.60 B.45° C.30° D.25° 【答案】A 【i详解】解：在。4BC中，∠4CB=90g,D是AB的中点，则CD=AD=BD=1B, 2 .:DC=AC, .AC=AD=CD, 即△ACD是等边三角形， .∠A=60°， 故选：A 【典例32】如图，△4BC中，∠ABC=90°，∠C=620,分别以点4，C为圆心，大于24C的长为半径画 弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E,F两点，连接EF,EF与AC交于点O,则∠ABO的大小为 () A A.280 B.30° C.31° D.36° 【答案】A 【详解】解；由作图方法可得EF垂直平分AC, ∴点O是AC的中点， ·∠ABC=90°， 10/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ..OB=OC=AC, 2 ∴∠0BC=∠C=62° .∠AB0=∠ABC-∠OBC=28°， 故选：A 【典例33】如图，在Rt△ABC中，D是斜边AC的中点，连接BD,AC=6,则BD的长为 D 【答案】3 【详解】解：，Rt△ABC中，D是斜边AC的中点， D=)4C=5x6=3 1 2 2 故答案为：3 举一反目 【变式31】如图，在RIABC中，∠ACB=90°，D是边AC上的动点（不与点A,C重合），E为BD的 中点，过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接CE,EF.若∠CBA=50°，则在点D运动过程中，∠CEF的度 数() D A.等于80° B.等于100° C.等于120° D.无法确定 【答案】B 【详解】解：：∠ACB=9O°，点E为线段BD的中点， .EC=BE, .∠BCE=∠CBE, ∴.∠CED=2LCBE、 :DF⊥AB,点E为线段BD的中点， 11/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.EF=BE, .∠FBE=∠EFB, ∴.∠DEF=2∠EBF, .∠CEF=2∠CBE+2∠EBF=2∠CBA, ∴∠CEF-2∠CBA=100° 故选：B. 【变式32】如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、 BC边上的动点，DE与CM相交于点F且∠DME=90°.则下列4个结论：①△DEM是等腰三角形：② ∠CDM=∠CFE:③AD+BE=AC;④四边形CDME的面积会发生改变，其中正确的结论有()· B M A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【详解】解：AC=BC,M是AB边上的中点， .CM⊥AB ∴.∠AMC=90°， 又∠ACB=90°， ∴.AM=CM, ∴.∠A=∠ACM=45°， .∠BCM=∠A=45°， 又'∠DME=90°， ∴.∠AMD+∠DMC=90°，∠DMC+∠EMF=90°， ∴.LAMD=∠EMF, 在△AMD和△CME中， ∠A=∠MCE AM=MC ∠AMD=∠CME ∴.△AMD≌△CME(ASA) :DM=ME, 12/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∴.ADEM是等腰三角形， ①正确： :DM=ME,∠DME=90°， ∴.∠MDE=DEM=45°， :∠CDM=∠CDF+∠MDE=∠CDF+45°，∠CFE=∠DFM=∠CDE+∠DCM=∠CDE+45°， ∠CDM=∠CFE, ②正确： .△AMD≌ACME, ∴AD=CE, .AD+BE=EC+BE=BC=AC, ③正确： .△AMD≌△CME, ∴.S四边i形DME=SACDM+SCEM=ScDM+SAADM=SACM, Sa4Cw为定值， ④错误. 故选：A. 【变式33】(25-26八年级上·上海嘉定阶段检测)如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°， E,F分别是BD,AC的中点.求证：EF⊥AC. E B 【答案】 证明：连接AE,CE,如图所示， 13/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分别是 的中点， B :∠BAD=90°，∠DCB=90°E,F BD,AC AE-DB.CE-TDB.AF-CF 2 .AE=CE, AF=CF AE=CE EF=EF ∴aAEF≌aCEF(SSS). 24PE=∠CFE=4C=X10=0. .EF⊥AC 【变式34】如图，己知在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是BC,DE的中点， 4 B M (1)求证：MN⊥DE: (2)若BC=10,DE=6,求△MDE的周长. 【答案】(1) 证明：如图，连接ME、MD, A E D B M CBD⊥AC .∠BDC=90° 14/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :M是BC的中点， .DMBC 同理可得EM=。BC, .DM=EM :N是DE的中点， .MN⊥DE: (2)BC=10,ED=6. DM=EM =IBC=5. 2 ∴.△MDE的周长为MD+ME+DE=5+5+6=16 题型04， 含30°角的直角三角形 三解题必备 正用：30°→所对直角边=%斜边，求线段长；逆用：直角边=%斜边→该锐角为30°。 典例精析 【典例41】(2026：上海浦东新·二模)如图是地铁入口双翼闸机示意图.己知双翼边缘AC=BD=60cm, 与闸机侧立面夹角∠PCA=∠QDB=30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm,当双翼收起时，可通过闸 机的物体最大宽度为 cm 【答案】68 【详解】解：如图，过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥OD于点F, 15/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D :∠PCA=∠QDB=30°，AC=BD=60cm, .E=AC=30cm,BF-1BD=30cm, ,双翼展开时端点A、B的间距为8cm, ∴.当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为30+8+30=68(cm). 【典例42】如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA,∠BAC=45°，∠BDC=60°，则∠ACB= 【答案】75° 【详解】解：过点C作CE⊥BD于点E,连接AE, B D ∴∠CED=∠CEB=90°， ∠BDC=60°， ,∠DCE=30°， ∴CD=2DE, ·CD=2DA, .DE=DA, ÷∠DEA=∠DAE=)∠BDC=30, 2 .∠ECA=∠EAC, 16/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'EC=EA, .∠BAC=45 ∠BAE=15°， ·∠BDC=60°，∠BAC=45°， ,∠ABD=∠BDC-∠BAC=I5° ∠ABE=∠BAE, .AE=BE=CE, .∠ECB=∠EBC=45°， ∴.∠ACB=∠ECB+∠ECA=45°+30°=75°， 故答案为：75° 举-反三 【变式41】等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于 【答案】30°或120°或150° 【详解】解：如图①： D B ① ,CD⊥AB」 ∴.∠ADC=90°. CD-AC ∴.∠A=30°. 如图②： D B ② 17/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,CD⊥AB, .∠ADC=90°， CDC ∴∠CAD=30°， ∠DAC=90°-30°=60°」 AB=AC,∠B+∠ACB=∠CAD, ∴.∠B=∠ACB=30°÷2=15°， 则∠BAC=180°-30°=150°： 如图③， 0 ③ BD⊥CD BD-IBC, 2 .∠C=30°」 ..AB=AC, .∠ABC=∠C=30°， .∠BAC=180°-30°-30°=120° ∴这个三角形的顶角为：30°或120°或150° 故答案为：30°或120°或150 【变式42】(24-25八年级上·上海普陀阶段检测)如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1 D C (1)求∠ABD的度数： (2)求AD的长. 【详解】(1)解：∠C=90°，∠DBC=60° .∠BDC=180°-∠C-∠DBC=30°， 18/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠A=15°，∠A+∠ABD=∠BDC, .∠ABD=15°； (2)解：在△BDC中，∠BDC=30°，∠C=90°， ,BD=2BC=2, .∠ABD=15°=∠A, ∴.AD=BD=2 【变式43】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC,点D是边BC上一动点，连接AD,将△ABD 沿AD翻折得到△ADB. 图① A (备用图) (备用图) (1)直接写出AD与BB的位置关系： (2如图①，当∠BAD=40°时，求证：△ADB'≌△AFC: (3)在点D运动过程中，直线B'D与直线AC相交于点E,连接B'C,，当B'C=AB=5时，求线段EC长度 【详解】(1)解：连接BB', P, 由折叠的性质得DB=DB,AB=AB, ∴点D在线段BB的垂直平分线上，点A在线段BB的垂直平分线上， ∴.AD是线段BB的垂直平分线， .AD⊥BB, 故答案为：AD⊥BB': 19/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)证明：由折叠的性质得∠B'AD=∠BAD=40°，∠B=∠B=30°，AB=AB', :∠BAC=120°，AB=AC, .∠CAF=120°-40°-40°=40°，AC=AB,∠B'=∠C=30°， .△ADB'≌aAFC(ASA)片 (3)解：当直线B'D与射线CA相交于点E时， E 由折叠的性质得AB=AB, B'C=AB=5. .'B'C=AB=AB'=5, .△AB'C是等边三角形， ∠AB'C=∠ACB'=60°， :∠AB'D=∠B=30°， ∴.∠EB'C=30°+60°=90°， .∠CEB=30°， ∴.CE=2B'C=10: 当直线B'D与线段CA相交于点E时， B' B 同理△AB'C是等边三角形， ,∠BAC=60°，BA=B'C, ∠BAC=120°， ∠BAB'=180° 20/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .B、A、B在同一直线上， 由(1)得AD⊥BB, .∠DAC=120°-90°=30°=∠ACD, ∴DA=DC, ..B'A=B'C, ∴.B'D垂直平分AC, .∠B'EC=90°，∠CB'E=30°， ..CE=. B'C, 2 B'C=5, -IBc-5 :.CE=2月 综上，线段EC的长度为10或2 题型05用L判定全等 三 解题必备 ①确认两个三角形都是直角三角形；②找到斜边、一条直角边对应相等；③用HL,书写必须标注“t△”。 E 典例精析 【典例S】如图，在△ABC中AB=AC,F是BC上的一点，BD⊥AF,CE⊥AF的延长线于点E, AD=CE B A (1)求证：△ABD≌△AEC (2)判断BD、DE、CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)证明：：BD⊥AF,CE⊥AF的延长线于点E, .△ABD和△AEC是直角三角形， 在RtAABD和Rt△CAE中， 21/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC AD=CE' ·.RtAABD≌RtACAE(HL), 即△ABD≌△AEC: (2)BD=DE+CE,理由如下： △ABD≌△AEC .BD=AE, AE=AD+DE,AD=CE, ∴BD=DE+CE 三举一反目 【典例51】如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B=∠D=90°，AB=AD. B D (1)求证：Rt△ABC≌Rt△ADC: (2)若LBAC=60°，求∠ACD的度数. 【答案】(1)解：在Rt△ABC和Rt△ADC中， AC=AC AB=AD .RtaABCRtAADC(HL): (2)解：由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC, ∴.∠ACB=∠ACD :∠B=90°，∠BAC=60° ∴.∠ACB=90°-∠BAC=90°-60°=30°， ∴.∠ACD=∠ACB=30° 【典例52】如图，△ABC中，∠ABC=90,BA=BC,点F为CB延长线上一点，点E在AB上，且 AF=CE. 22/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F B E C (1)求证：△ABF≌aCBE: (2)若∠ACE=25°，求∠CAF的度数. 【答案】(1)证明：：∠ABC=90°， ∴.∠ABF=∠CBE=90°， 在Rt△ABF和RIACBE中， AF=CE BA=BC' .RIABF≌RIACBE(HL): .△ABF≌aCBE: (2)解：∠ABC=90°，BA=BC, ∠BAC=∠BCA=45°， :∠ACE=25°， .∠BCE=∠ACB-∠ACE=45°-25°=20°， :△ABF≌ACBE ∴.∠BCE=∠BAF=20°， ∴.∠CAF=∠CAB+∠BAF=45°+20°=65° 【变式S3】已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC,AC边上的高，AD、BE交于H,DA=DB, BH=AC,点F为BH的中点，DC=DF. E B D (1)求证：△ADC≌△BDH: (2)求证：∠ABE=15° 【答案】(1)：AD⊥BC,BE⊥AC, .∠ADC=∠BDH=90°， 23/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ADC和Rt△BDH中， AC=BH AD=BD· .Rt△ADC≌Rt△BDH(HL). (2.Rt△ADC≌Rt△BDH, .'CD=DH .DC=DF, .'DF =DH, 点F为BH的中点， .DF BF FH, ..DH DF=FH, ,△DFH是等边三角形， .∠BHD=60°， ∴.∠DBH=30°， DB=DA, .∠DBA=∠DAB=45°， ∠ABE=15 题型06直角三角形与全等综合 三解题必备 综合题常把HL全等与斜边中线、30°性质连用：先用HL证全等得到线段（或角）相等，再借助斜边中线 “一半”关系完成目标。 典例精析 【典例61】(2425八年级上·上海期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=CD, ∠ADC=9O°，DB平分∠ADC,点F在CD边上，射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G. 24/57 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E F H G C (1)求证：△ADE≌ACDE: (2过点C作CH⊥CE,交FG于点H,求证：FH=GH 【答案】(1)证明：，DB平分∠ADC, &∠ADE=∠CDE=)∠ADC, AD=CD,DEDE, ·.aADE≌aCDE(SAS): (2)证明：△ADE≌aCDE .∠DAE=∠DCE, CE⊥CH, ∴.∠DCE+∠FCH=90°， ,AD∥BC,∠ADC=90° .∠DCG=∠ADC=90°，∠CGH=∠DAE, ∴.∠GCH+∠FCH=90°， ·.∠GCH=∠DCE=LDAE=LCGH, .'CH=GH, :∠GCH=∠CGH,∠GCH+∠FCH=∠CGH+∠CFH=90°， .∠FCH=LCFH, ∴CH=FH, ∴.FH=GH 【典例62】如图1，在五边形ABCDE中，∠E=90°，BC=DE,连接AC、AD,且AB=AD,AC⊥BC B 图1 图2 25/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：AC=AE: (2)如图2，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD 【答案】(1)证明：~AC⊥BC, ∠ACB=90°=∠E, 在Rt△ABC和Rt△ADE中， BC=DE AB=AD' ∴.RtAABC≌Rt△ADE(HL). .AC=AE: (2)证明：延长AE,BC交于点G, M G 图2 :△ABC≌AADE ∴∠BAC=∠DAE,又∠ABC=∠CAD, ∴.∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB. BG∥AE, .∠G=∠EAG 在△AEF和△GBF中， ∠AFE=∠GFB ∠EAF=∠BGF, EF=BF ∴.△AEF≌aGBF(AAS). :AE=BG, AC=AE, :.BG=AC, 在△ABG和△DAC中， AB=AD ∠ABG=∠CAD BG=AC 26/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABG2ADAC(SAS), ∴∠G=∠ACD :∠ACG=∠ACB=90°，即∠ACD+∠GCD=90°， ∴.∠G+∠GCD=90° .AF⊥CD 【典例63】如图1，在△ABC中，AB=AC=BC=20cm,动点P以每秒lcm的速度从点A出发，沿射线 AB运动.设点P的运动时间为(>0)秒. C 图1 图2 图3 (1)当1=10时，求证：△PAC是直角三角形. (2)如图2，若另一动点P在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点卫到达 终点A时点P也随之停止运动.当△PA犯是直角三角形时，直接写出t的值. (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，以每秒lcm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发.当点P 运动到在AB的延长线上，连接PO交AC延长线于点D,过点P作PE⊥AC于E.在运动过程中，线段 DE的长度是否发生变化？为什么？ 【答案】(1)证明：动点P以每秒lcm的速度从点A出发，t=10 ∴t=10时，PA=10cm, .AB=AC=BC=20 cm .PA=PB, PC⊥AB :△PAC是直角三角形. (2),动点P以每秒lcm的速度从点A出发，另一动点O在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运 动，且与点P同时出发， ∴.PA=tcm,QC=2tcm, .·AB=AC=BC=20cm :.Ag=AC-C0=(20-21）cm,∠PAg=60°， 当∠APQ=90°时，∠AQP=30° 27/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..40=2PA y B C 20-21=2t, 解得1=5(s) 如图，∠A0P=90°时，∠AP9=30°， .2A0=PA. 0 力 B .2(20-2）=1, 解得1=8(s) 故当△PA犯是直角三角形时，1=5或t=8. (3)DE的长度不变化，DE=10.理由如下： 过点Q作F⊥AD,交AD的延长线于点F, AB=AC=BC=20 cm .∠PAE=∠ACB=∠QCF=60°， 根据题意，AP=C2, ∠PAE=∠QCF ∠PEA=∠QFC, PA=OC .△AEP≌aCFQ(AAS). ..EP=FO,AE=CF, 28/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C D ∴.AE+EC=CF+EC, ..AC=EF=20(cm). 「∠PDE=∠QDF ∠PED=∠QFD, PE=OF .△EPD≌aFOD(AAS), .DE =DF :DE=)EF=)4C=10(cm. 2 故DE的长度不变化，DE=I0 举一反三 【变式61】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于E. (1)若AD是△BAE的角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系； (2)若点D同时在AB的垂直平分线上，求证CD=DE: (3)若AC=BC,BD是∠ABC的角平分线，直接写出AE与BD的数量关系. 【详解】(1)解：，AD是△BAE的角平分线， .∠BAD=∠DAE, ,∠ACB=90°，AE⊥BD,∠BDC=∠ADE, .∠CBD=∠DAE. ∠ACB=90°， 29/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠ABD+∠BAD+∠CBD=90°， .∠ABD+2∠CBD=90°： (2)证明：，点D同时在AB的垂直平分线上， .'DB=DA, 在△BDC和△ADE中， ∠BCD=∠AED ∠BDC=∠ADE DA=DB ABDC≌aADE(AAS), .CD=DE: (3)解：在△BCD和△ACF中， [∠DBC=∠FAC BC=AC ∠BCD=∠ACF .aBCD≌△ACF(ASA), ∴.BD=AF, 在△ABE和△FBE中， 「∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB △ABE≌aFBE(ASA), .AE=FE, ∴.AF=2AE, ∴.BD=2AE. 【变式-2】如图，在△ABC中AC=BC,在△ABC外部取一点D,连接AD,BD、CD,且CD平分 ∠ADB, D 图1 图2 30/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，求证：∠BCD=∠BAD: (2)如图2，当∠ACB=6O°时，将△ADB沿AB翻折，点D落在点E处，连接CE,若CE⊥BE,试探究线 段AE与线段CD的数量关系，说明理由. 【答案】(I)证明：如图，过C作CE⊥AD于E,CF⊥BD于F,CH⊥AB于H,设CD与AB相交于点M, D 图1 .∠CEA=∠CFB=90°， :CD平分∠ADB, .'.CE=CF, 在Rt△ACE与Rt△BCF中， AC=BC CE=CF ..RtAACERtABCF(HL). .∠ACE=∠FCB,∠CAE=∠CBF,CE=CF, ∴.∠ACB=∠ECF 在Rt△CED和Rt△CFD中， CD=CD CF=CE' .RtACEDRtACFD(HL). 1 LECD=∠FCD=5∠ECF, ,AC=BC,CH⊥AB, BCH-号ACB, ∴∠BCH=∠FCD. .∠BCH+∠1=90°，∠FCD+∠2=90°， ∴.∠1=∠2， :CD平分∠ADB 31/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠2=∠3 ∠1=∠2=∠3. 在△CMB和△AMD中， ∠CMB=∠AMD,∠I=∠3， ∴.∠BCM=∠MAD 即∠BCD=∠BAD: (2)解：CD=3AE,理由如下： :∠ACB=60°，AC=BC, .△ACB是等边三角形， .AB=BC=AC,∠CAB=∠ABC=60°， CE⊥BE, .∠BEC=90°， 在CD上截取CF=AD,连接BF,作∠MAD=6O°交CD于M,连接EM、BM,设CD与AB相交于点G, G 图2 ,∠CAB=∠MAD 、∠CAM=∠DAB 由折叠得，∠DAB=∠EAB,AD=AE, ∴∠CAM=∠EAB, ∴.∠1=∠2， 由(I)可知，∠BCD=∠BAD :∠BGC=∠AGD .∠ADG=LABC=60° ∴△ADM是等边三角形， 32/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'AD=DM=AM, .AD=DM=AM=AE, ..AB=AC, ÷AAMB≌aAEC(SAS), ∴.∠3=∠4，BM=CE, ,∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠MBC=∠ECM, .BC=CB .aMBC≌aECB(SAS). ∴.∠CMB=∠BEC=90°， 即BM⊥DF, 在△ABD和△CBF中， AD=CF ∠BAD=∠BCF, AB=CB ∴△ABD≌aCBF(SAS). ∴.BD=BF, ,BM⊥DF, .DM=FM, .CF=AD,AD=DM=AM=AE, ∴，AE=DM=FM=CF, ∴.CD=3AE 【变式3】已知，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC, D 图1 图2 图3 (1)如图1，连接BD.若BAD=90°，求证：AD=CD (2如图2，点P,分别在线段AD,DC上，且满足P№=AP+CO,求证∠PB0=∠ABP+∠QBC. 33/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若点O在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，连接BP,BO,P吧，仍然满足PO=AP+C.请 在图3中补全图形，根据图形直接写出∠PBO与∠ADC的数量关系. 【答案】(1)证明：：∠ABC+∠ADC=180°， .∠BCD+∠BAD=180°， ∠BAD=90°， ∴.∠BCD=∠BAD=90°， 在RtABAD和RtABCD中， BD=BD AB=BC .RtABADS≌RtABCD(HL) :.AD=DC: (2)证明：延长DC至点K,使CK=AP,连接BK,如图2， D C 图2 K .∠ABC+∠ADC=180° .∠BAD+∠BCD=180°， :∠BCD+∠BCK=180°， ∠BAD=∠BCK, 在△BPA和△BCK中， AB=CB ∠BAP=∠BCK, AP=CK .ABPA≌ABCK(SAS) .∠ABP=LCBK,BP=BK, .PO=AP+CO.OK=CK+CO, .PO=OK 在△PBQ和△BKQ中， 34/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BP=BK OP=OK BO=BO .∴APBQ2 BKO(SSS) ∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+LCBQ=∠ABP+∠CBO, (3)补全图形： 个 B 图3 ∠PBQ=90+∠ADC 2 理由如下：在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK, :∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠BAD+∠BCD=180°， ∠BAD+∠PAB=180°， ∠PAB=∠BCK, 在△BPA和△BCK中， AP=CK ∠BAP=∠BCK AB=BC ∴.ABPA≌ABCK(SAS) ∠ABP=LCBK,BP=BK, ∠PBK=∠ABC, .PO=AP+CO. :.PO=OK, 在△PBO和aBKQ中， BP=BK BO=BO PO=KO 35/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .APBQ≌BKO(SSS) ·.∠PBQ=∠KBQ」 .2∠PBO+∠PBK=2∠PBO+∠ABC=360° .2∠PBQ+(180°-∠ADC=360° ∠PB0=90°+)∠ADC 【变式64如图1，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,E点为CB上一动点，连接AE,AF=AE 过F点作FD⊥AC交AC于D点，AD=CE. G D 图1 图2 (1)求证：EC+CD=DF; (2)如图2，连接BF交AC于G点，求证：△FDG≌△BCG: (3)若AG=3CG,△FDG的面积为2，求△ABE的面积. 【答案】(1)证明：FD⊥AC, ∠ADF=90°， ∴∠CAE=∠AFD 在Rt△ADF和Rt△ECA中， AF=AE AD=CE' ..RtAADFSRtAECA(HL). :FD=AC, AD=CE, .CE+CD=AD+CD=AC=FD. 即EC+CD=DF: (2)证明：~FD=AC,AC=BC, ∴.FD=BC, 在△FDG和△BCG中， 36/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FGD=∠CGB ∠FDG=∠C=90° FD=BC ∴△FDG≌aBCG(AAS) (3)解：△FDG≌△BCG. :.DG=CG. .AG=3CG.AG=AD+DG. ∴.AD=2CG=2DG, DF=AC, .DF=2AD=4DG :△FDG的面积为2， :.IDG.DF-2, 2 3DG:4DG=2, ∴.DG=1, ∴AC=DF=4,CE=AD=2, .BE=BC-CE=2, :aABB的面积=2BE×AC=)×2x4=4 1 题型07 角平分线的尺规作图 典例精析 【典例1】下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中 三角形全等的依据是() E B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 37/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】A 【详解】解：连接CD,CE, A D E B 由作图得：OD=OE,CD=CE,OC=OC, .aOCD≌△OCE(SSS). ∴.∠AOC=∠BOC 故选：A 【典例7-2】(25-26八年级上·上海崇明期末)如图，依据尺规作图的痕迹，∠ACP= 100% 【答案】25 【详解】解：如图，标记点D、点E, E 100% B D :∠ADB=100° ∠ADC=80° 由尺规作图可知，DE为线段AC的垂直平分线，CP为∠ACB的角平分线， ∴AD=CD,DE⊥AC,∠ACP=∠BCP, ∠ADE=∠CDE=)×80°=400 ∴.∠ACD=180°-90°-40°=50°， ∴.∠ACP= ∠ACD=25 2 故答案为：25 三举一反 38/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式T1】观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段AD是△ABC的() B A.中线 B.高线 C.中垂线 D.角平分线 【答案】D 【详解】解：由作图过程可得：线段AD是△ABC的角平分线。 故选：D 【变式72】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于 点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于2M的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于 点D,若△ABC的面积是32，AB+AC=16,则CD的长为一· C 【答案】4 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H, M Ae :LC=90°， .DC⊥AC, 又由作图可知AD是∠BAC的角平分线， .DH=DC ,△ABC的面积是32， DH+4CDC-ABDC+ACDC-DC(AB+AC)-32 1 2 2 .AB+AC=16, 39/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DCx16=32, .2 DC=4, 故答案为：4. 【变式73】两个城镇A、B与两条公路ME,MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路.现电信部门需 在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME,MF的距离 也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法， 只保留作图痕迹) F ·B M E 【答案】解：如图： E 故点C即为所求作的点. 题型08 角平分线的性质定理 解题必备 题中有角平分线时，向角的两边作垂线段（已有垂直则直接用），得到相等线段：常与面积法联用求距离。 典例精析 【典例81)】(25-26八年级上·上海期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC.如果BC=5, AD=2,那么△BCD的面积是 D 【答案】5 40/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E, A D B E :∠A=90°， .DA⊥BA, :BD平分∠ABC,AD=2, .DE=AD=2, BC=5, ÷aDBC的面积为2 BCxDE=-x5x2=5. 故答案为：5 【典例82】(25-26八年级上·上海杨浦期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC 上，且AD平分∠BAC.求证：BD>CD B D 【答案】解：如图，作DE⊥AB于点E, B D :AD平分∠BAC, .'CD=DE. 在△DEB中，∠DEB=90°， .DB是斜边，DE是直角边， 41/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.DB>DE, .BD>CD 举一反三 【变式81(25-26八年级上·上海期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,如果CD=2, AB=8,那么△ABD的面积等于 D B C 【答案】8 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E, E D 平分 B C:∠C=90° BD ∠ABC ∴.DE=CD=2. 公2自自面。三 ×8×2=8 故答案为：8 【变武82】(25-26八年级上·上海宝山期末)已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D, DM⊥AB、DN⊥AC,垂足分别为M、N,试探索BM与CN的大小关系，并说明理由， M B C 【答案】BM=CN, 连接BD、CD 42/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 的平分线与 的垂直平分线交于点， B ∠BAC BC 0 .BD=CD ,D为∠BAC平分线上的点，DM⊥AB、DN⊥AC, :DM=DN, ,RtABDM≌RtACDN(HL), .BM=CN 【变式83】(25-26八年级上·上海杨浦期未)如图，在边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格 点上.（在图中不能再另外补充网格） B 图① 图② (1)AB= (直接写出结果) (2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出∠ABC的平分线B吧，并标注字母，进行证明： (3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于(2)的方法作出∠ABC的平分线B,并简单说明 理由.（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】(1)4： 2)如图BO即为所求， 图① (3)如图， 43/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图② 【详解】(1)解：由图可知小正方形的边长均为1，AB占4个边长则AB=4: (2)解：由图可知∠ABC=90°，且点B在格点上， :正方形对角线平分两个对角， ,连接小正方形的对角线BQ,即为∠ABC的平分线： (3)解：过点C作C2⊥BC于点2，且C0=3,再过点0作D01AD于点D,且D0=3 CQ⊥BC,DQ⊥AD且CQ=DQ, :BO是∠ABC的平分线 1题型09 角平分线的判定定理 三 解题必备 要证“某点在角平分线上（或某射线是角平分线）”→证该点到角两边距离相等，并确认点在角的内部。 典例精析 【典例91】下列说法中，不正确的是() A.有两个角是60°的三角形是等边三角形 B.己知∠C=90°，AB=8,AC=4,则可以画出唯一确定的△ABC C.若△ABC中，∠A:∠B:∠C=I:2:3,则△ABC是直角三角形 D.三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：A、有两个角是60°的三角形是等边三角形，原说法正确，不符合题意： B、由HL可证明两个三角形全等，故可以画出唯一确定的△ABC,原说法正确，不符合题意： C、aABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3」 .∠C=180°x,3 -=90°， 1+2+3 44/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABC是直角三角形，原说法正确，不符合题意； D、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三个内角的角平分线的交点，原说法错误，符合题意： 故选：D 【典例92】如图，CA=CD,∠I=∠2，BC=EC,AB与ED的交点为F,连接CF,下列结论：① AB=ED:②∠EFB=∠I:③CF平分∠ECA;④FC平分∠BFD.其中一定正确的结论有() B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：，1=∠2， ∴.∠I+∠ACE=∠ACE+∠2， 即∠BCA=∠DCE, 在△ABC与△EDC中 BC=EC ∠BCA=∠DCE, AC=CD ∴△ABC≌aDEC(SAS). ∴.AB=ED,故①正确： △ABC≌△DEC, ∠E=∠B, :∠3=∠4，∠E+∠4+∠EFB=∠B+∠3+∠I, .∠EFB=∠I,故②正确： 过点C作CG⊥AB,CH⊥DE,垂足分别为G,H, .·△ABC≌△DEC 45/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠B=∠E, CG⊥AB,CH⊥DE, ∴.∠BGC=∠EHC=90°， 在△BCG和△ECH中 ∠B=∠E ∠BGC=∠EHHC, BC=EC :ABCG≌AECH(AAS), ∴.CG=CH, ·.FC平分∠BFD,故④正确： 不能证明CF平分∠ECA,故③错误： 故选：C 【典例93】已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为 E、F,再过点D作DG∥AB,交BC于点G,且DE=DF. B G 求证： (1)DG=BG: (2)BE=GD+GF 【答案】(1)证明：连接BD,如图所示： B G :DE⊥AB,DF⊥BC且DE=DF, ∴.BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC, 46/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：DG∥AB, .∠ABD=LBDG, .∠BDG=∠DBC, ..DG=BG (2)证明：在Rt△EBD和RtAFBD中 DE=DF BD=BD' .RtAEBDS≌RtAFBD(HL), .'BE=BF, .BF=BG+GF, 又，DG=BG, ∴BE=DG+GF 举一反目 【变式9-I】如图，分别以△ABC的边AB,AC向外作两个等边三角形△ABD与△ACE,连接BE、CD交 点F,连接AF.以下四个结论：①DC=EB;②∠BFC=120°；③FA平分LEFD:④ AF+BF+CF=CD,其中正确结论的是() B A.①②③④ B.①③④ C.①②③ D.①②④ 【答案】A 【详解】解：△ABD、△ACE都是等边三角形， .AD=AB=BD,AC=AE=CE,∠BAD=∠CAE=60°. .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, ,.△DAC≌aBAE(SAS). .DC=BE,故①正确： 设DC和AB相交于O, 47/57 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B :△DAC≌△BAE, ∠ADC=∠ABE, ,∠BOD=∠ADC+∠DAB=∠ABF+∠BFD, ∠BFD=∠DAB=60°， .∠BFC=180°-∠BFD=120°，故②正确： 过A作AM⊥DC于M,AN⊥BE于N, D A E B △DAC≌△BAE, Sne=Sa即时c04M=k,Aw, 又DC=BE, .AM AN. .FA平分∠DFE,故③正确： 由②知，∠DAB=∠DFB=60°， 延长FB至点K,使FK=DF,连接DK, B .△DFK是等边三角形， ∴.DK=DF,∠KDF=60°， :∠KDF=∠BDA=60°， 48/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴，∠KDF-∠BDF=∠BDA-∠BDF, 即∠KDB=∠FDA, .BD=AD, ÷△DBK≌aDAF(SAS), BK=AF, ∴，DF=FK=FB+BK=FB+FA, ∴CD=DF+CF=AF+BF+CF.故④正确. 综上所述，正确的结论是①②③④. 故选：A 【变式92】在△ABC中，∠CAB和∠CBA的平分线AD,、BE交于点P,连接CP. A D B D B D B D (1)求证：CP平分∠ACB: (2)当△ABC为等边三角形时，求证：EP=PD; (3)当△ABC不是等边三角形，且∠ACB=60°时，(2)中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不 成立，说明理由 【答案】(1)证明：过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,PO⊥AC,垂足分别为M,N,Q, M T B ND :P在∠BAC的平分线AD上， .PM=PO. ,P在∠ABC的平分线BE上， ..PM=PN. 49/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PN=P№， .点P在∠ACB的平分线上， .CP平分∠ACB: (2)证明：：△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB, ∴PD⊥BC,同理PE⊥AC, 作PH⊥AB于H, B D :AD平分∠CAB,PE⊥AC, ∴PE=PH,同理PD=PH, ∴PE=PD, .EP=DP: (3)解：EP=PD成立，理由如下： 设∠CAB<∠CBA,作PH⊥AC于H,PM⊥CB于M,P巴⊥AB于，则点H在线段CE上，点M在线 段BD上， B DM :∠CAB和∠ACB的平分线AD,BE交于点P, ..PH=PO=PM, :∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°， ∴.∠CAB+∠ABC=120°， :AD,BE分别平分∠CAB,∠ABC, .∠PAB+∠PBA=60° ,∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°， 50/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°， .∠CEP=∠ADB 在△PHE和△PMD中， ∠HEP=∠MDP ∠EHP=∠DMP, PH=PM ∴.△PHE≌△PMD, .'EP=PD 【变式93】(25-26八年级上·上海杨浦阶段检测)【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及 其逆定理，数学课本PI20的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明， 例1.如图1，已知，在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB ,垂足分别为点D、E 求证：点O在∠C的平分线上. A E 证明：如图2，过点作 ，垂足为· B D 图1 图2 OOF⊥AC F :AO是∠BAC的平分线，OE⊥AB,OF⊥AC, .OE=OF(角平分线的性质定理) 同理可得：OE=OD ∴.OD=OF 又：OD1BC,OF⊥AC:点O在∠C的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点， 均在这个角的角平分线上)· 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接DE、EF、FD (1)点O为△ABC三条」 的交点，点O为△DEF三条 的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线：③高：④中线： (2)小普发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，如果∠BAC=m°，那么∠EDF= (用含m的代数表示) 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”，点O叫做 51/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “共心”。 (3)已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上， 且OE∥BC,先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G,求证：点G在直线A0上. 【详解】解：(1)过点O作OF⊥AC,垂足为F. :AO是∠BAC的平分线，OE⊥AB,OF⊥AC, ∴.OE=OF(角平分线的性质定理)， 同理可得：OE=OD, :.OD=OF, 又：OD⊥BC,OF⊥AC, ∴，点O在∠C的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）， 由于AO、BO、CO分别是△ABC三个角的平分线， ∴.点O为△ABC三条角平分线的交点. 如图所示， B D 图1 在Rt△ODB和Rt△OEB中， OD=OE.OB=OB. ..RtAODBS2RtAOEB(HL). .'BD=BE, ,点B在线段DE的垂直平分线上， .…OE=OD .点O在线段DE的垂直平分线上， .OB是线段DE的垂直平分线， 同理：OA是线段EF的垂直平分线，OC是线段DF的垂直平分线， 因此，点O为△DEF三条边的垂直平分线的交点. 故答案为：②，①： (2)如图1所示， 52/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 OD=OE OD=OF ∠0DE=∠0ED=)080°-∠D0E)=90°-)∠D0E,∠0DF=∠0FD=080°-∠DOP=90°-1∠D0F 2 ∠BDF=L0DE+∠0DF=90°-∠D0E+90°-，ZD0F=180-)(ZD0E+ZD4 2 OE⊥AB,OF⊥AC, ∴∠AEO=∠AFO=90°， 在△AE0和△AFO中， ∠AE0+∠AOE+∠OAE=180°，∠AFO+∠AOF+∠OAF=180°， .∠AE0+∠AOE+∠OAE+∠AFO+∠AOF+∠OAF=180°+180°， 即∠AE0+∠AFO+∠BAC+∠EOF=360°， ∠BAC=m°， .∠E0F=360°-∠AE0-∠AF0-∠BAC=360°-90°-90°-m°=180°-m°， .∠D0E+∠D0F=360°-∠E0F=360°-(180°-m)=180°+m°， 2mr-1w-号0+a-1-0w4a-o0- 1） 故答案为： 0-2m°： (3)示意图如图2所示. D 图2 .·OE∥BC 由题意得，OE⊥AB, .∠ABC=∠AEO=90° 53/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(2)可知∠EFD=90°-】∠ABC=450】 2 EG⊥DF, ∴.∠EGF=90°，∠GEF=90°-∠EFG=45°， .·∠GEF=∠EFG :.EG=FG, ∴.点G在EF的垂直平分线上. 在△AEO和△AFO中， ∠AEO=∠AFO=90°，∠EAO=∠FAO,AO=AO, :.△AEO≌△AFO(AAS), ..AE=AF,OE=OF, AO是EF的垂直平分线， .点G在直线AO上. 题型10角平分线性质的实际应用 典例精析 【典例10】如图，直线4bC表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址有() b、 A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 【答案】D 【详解】解：如图1，作△ABC两内角的角平分线，交于点P,即所求中转站地址： bB/ E D吹$ 图1 理由：△ABC两内角的角平分线，交于点P, 54/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PE=PF,PD=PF, ∴.PE=PF=PD,即点P到三条公路的距离相等： 同理可得，如图2，图3，图4，作△ABC两外角的角平分线，交于点P,即所求中转站地址. 5 B D 图2 图3 图4 综上所述，可供选择的地址有四处。 举一反三 【变式101】如图，从△ABC内一点0出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB,BC,AC放在同一 直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MNI1AC,则点O是△ABC的() M B B 图1 图2 A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三边中垂线的交点 【答案】A 【详解】解：：直线MNIIAC, 根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等， ∴.点O到三边的距离相等 点O是三角形三条角平分线的交点， 故选择A 【变式102】(25-26八年级上上海期末)如图，有三条公路4、b、c两两相交于A、B、C三点.现要建 设一个商场P,使得它到三条公路的距离相等。 55/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在△ABC的内部.请用尺规作出在 △ABC外部的另外3个符合要求的点P(保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为B、B 和)： (2)猜想：请你写出根据(1)的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形PBB_: 【答案】(1)B、B和B如图所示： (2)解：根据(1)的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形B马是锐角三角形. 【变式103】(25-26八年级上·上海·期末)如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一 所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等. B (1)符合要求的位置有 个： (2)请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是 【详解】()解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的 平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 56/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：4； (2如图所示，？、B、、?即为加油站的位置， (3)解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理。 57/57