专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线四类综合题型，以“通法引领-题型精析-压轴突破”构建系统性方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1方法体系|垂直平分线连两端构等腰，角平分线作双垂线证等距，强调性质与判定逆用|从性质定理到判定应用，构建“概念-方法-易错”逻辑链| |题型归纳|4题型（每题型1典例+3变式）|角平分线性质求距离、性质与判定综合证平分，垂直平分线性质求线段、性质与判定综合证垂直平分|按“单一性质应用→性质与判定综合”递进，典例覆盖全等、面积等核心考法| |压轴挑战|15道综合题|结合对称、动态最值、多结论证明，提升复杂问题解决能力|从基础应用到压轴创新，对接中考对几何直观与应用意识的考查|

专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 题型二、角平分线的性质和判定综合 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结合全等、对称或求周长/角度。 - 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 - 易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象；角平分线作垂线时误作斜线；角平分线判定中未说明点在角的内部；作图题遗漏作图痕迹说明。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 典例1 （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2.方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式求解。 变式1-1（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 变式1-2（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 变式1-3（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 题型二、角平分线的性质和判定综合 典例2 （25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上）进行证明。 2.方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式2-1（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 变式2-2（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． (2) 【分析】（1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：在和中，，， ． ． ． 变式2-3（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； (2) ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 典例3 （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2.方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式3-1（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 变式3-2（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 变式3-3（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例4 （25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2.方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式4-1（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 变式4-2（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）略 变式4-3（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如图1，四边形中，，，，则称四边形为直角筝形． (1)连接对角线、交于点，得到图2，请证明：垂直平分； (2)在图2中，若，点在射线上（不与点重合），点是平面内一点，以、、、为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的的度数． 【答案】(1)证明：， ∴点在的垂直平分线上； ， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． (2)，，， 【分析】（1）考查中垂线的定义；（2）关键点在于对点位置的分类讨论，分四种情况选取不同的直角顶点：①点在线段的延长线上，是直角顶点；②点在线段的延长线上，是直角顶点；③点在线段上，是直角顶点；④点在线段上，是直角顶点. 【详解】（1）略 （2）共有四种可能的情形， ①当点在线段的延长线上，如图， 此时 ， 故 ； ②当点在线段的延长线上，如图， 此时 ③当点在线段上，如图， 此时 ,平分， ④当点在线段上，如图， 此时 ， 故. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 4．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 6．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，由题意得，垂直平分，则，由角平分线性质得，根据的面积为12，列关于的式子，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得，垂直平分， ， 平分，，， ， 的面积为12， ，即， ． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，，点为上一点，连接，将沿着翻折，使得点的对应点落在边的垂直平分线上，连接，则的周长为_________． 【答案】14 【分析】根据翻折可得，，再利用垂直平分线的性质可得，线段和差即可解答． 【详解】解：根据翻折可得，， 点的对应点落在边的垂直平分线上， ， 的周长为． 8．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形中，，、分别为的角平分线，、相交于点． （1）则的度数为________； （2）若平分，当，，的面积为时，则的面积为________． 【答案】 /度 【分析】过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：（1），，分别为的角平分线， ， ； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ∵，平分， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积． 三、解答题 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 【答案】(1)平行，理由如下： ∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再结合等腰三角形的定义进行等量代换证明平行； （2）先根据平行线的性质得到，然后由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵点在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴ 10．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2) 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，是的角平分线． (1)如图①，于点E，于点F，连接．求证：所在直线是的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，于点E，于点F，此时（1）中的结论是否成立？请证明； (3)如图③，当点G沿方向从点D沿的延长线运动时，（或其延长线）于点E，（或其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 【答案】(1) 证明：如图①平分，，， ，则点D在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ，则点B在线段的垂直平分线上； ∴所在直线是的垂直平分线； (2) 成立，即，理由如下： 平分，，， ，则点G在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ,则点B在线段的垂直平分线上， ∵点G在直线上， ∴所在直线是的垂直平分线； (3)成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可求证结论； （2）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可得结论； （3）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：成立，即，理由如下： 平分，，， ，则点G在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ，则点B在线段的垂直平分线上， ∵点G在直线上， ∴所在直线是的垂直平分线． 15．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）（1）如图1，中，，平分交于D，过C点作的垂线交的垂直平分线于M，连，N在的延长线上．求证：平分； （2）把（1）中的“平分交于D”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若（如图3），且，作于，求的长度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，即平分； （2）解：如图，连接、，过点作于，过点作交的延长线于点， ； （3） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，最后得到； （2）连接、，过点作，过点作交的延长线于点，根据题意得到，证明，得到，根据等腰三角形的性质计算，得到答案； （3）连接，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得到，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1） 略 （2）， 由(1)可知：， ∵，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，, 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据角平分线的性质定理求解 题型二、角平分线的性质和判定综合 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结 合全等、对称或求周长角度。 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等 或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 -易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象：角平分线作 垂线时误作斜线：角平分线判定中未说明点在角的内部：作图题遗漏作图痕迹说明。 习题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 根据角平分线的性质定理求解 典例1(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分 别交AC、AB于点MN,再分别以MN为圆心，以大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP交边BC于点D,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AB=8,△ABC的面积为I3,则AC的长为 D E B 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式 求解。 变式1-1(25-26八年级下广东佛山~期末)如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于 点F,若AB=6,BC=4,△ABC的面积为8，则△ABF的面积为 变式1-2(25-26七年级下甘肃酒泉期末)如图，在△ABC中，AC=6,△ABC的面积为12，AD平分 ∠BAC交BC于D,M,N分别是AD和AB上的动点，连接MN,BM,则BM+MN的最小值为 D 变式1-3(25-26七年级下陕西汉中期末)如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是 △ABD的中线，动点G在BC边上，连接DG,若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、角平分线的性质和判定综合 典例2(25-26八年级下·山西运城期末)如图，已知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP 于点Q,OB垂直平分PN,交MN于点F,交PN于点R,连接OP. N R B (I)连接PE,PF,若MN=12,求△PEF的周长； (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上)进行证明。 2方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式2-1(25-26八年级下山东青岛期中)已知，如图所示，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, BE=CF.BD=CD B (I)求证：DE=DF: (2)求证：AD平分∠BAC 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2(25-26八年级下·陕西渭南阶段检测)如图，在△ADF中，∠F=90°，点B、C分别在边AF、 DF上，连接AC、BC,CB=CD,∠D+∠ABC=I8O°，在边AD上截取DE=BF,连接CE. (I)求证：AC平分∠DAB: (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. 变式2-3(2425八年级上江西吉安期中)解答下列各题 (I)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,求证： 点P在∠AOB的平分线上： E 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F, BE=FC 】 图2 ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. 题型三、根据线段垂直平分线的性质求解 典例3(25-26七年级下陕西咸阳·期末)如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线EF分别交边AC,BC 于点E,F,AD是线段BF的垂直平分线，若△ABC的周长为38，AE=7,则CD的长为 4/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式3-1(25-26七年级下河北张家口期末)如图，△ABC的边BC的长为3cm,面积为12cm2,AB边的 垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一个动点，则BM+DM的最小值 为 cm E B D 变式3-2(25-26七年级下辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC,1是AC边的中垂线，点E是 直线I上动点.点F是直线AB上动点，当AB=5,AD=3,BC=I1时，则AE+EF的最小值为 B 变式3-3(25-26七年级下四川达州期末)如图，在△ABC中，D为AB中点， +<BCE=I80°，EF⊥BCBC.AC=3. BF ,则的长为一· 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 题型四、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例4(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB 交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (I)证明：AD垂直平分EF: (②)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 2方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式41(25-26八年级下广东佛山期中)如图，射线OC在∠AOB内，点P为射线OC上一点，过点P作 PE⊥OA,PF⊥OB,且OE=OF (I)求证：OC是∠AOB的平分线： 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接EF,求证：EF⊥OC」 变式4-2(25-26八年级下·广东佛山阶段检测)如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC 于点D,E,连接BD. (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为—： (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平 分线上，并说明理由. 变式43(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨期中)定义：如图1，四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC, ∠B=∠D=90°，则称四边形ABCD为直角筝形. 图1 图2 备用图 (1)连接对角线AC、BD交于点O,得到图2，请证明：AC垂直平分BD: (2)在图2中，若∠BCD=70°，点E在射线CB上（不与点B重合），点F是平面内一点，以C、D、E、 F为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的∠ECF的度数. ◆◆ 刁压轴挑战 攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级下·甘肃酒泉·期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D, BC=10,点D到AC的距离为4，则CD的长为() 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.3 B.4 c.6 D.10 2.(25-26八年级下·贵州毕节期末)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于 点D,再分别以点B和点D为圆心，大于2BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN 交AB于点E,若AB=I2,AC=5,则△ADE的周长为() ￥M A.20 B.18 C.17 D.16 3.(25-26七年级下~陕西西安期末)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm2,腰AC 的垂直平分线EF交AB于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则CM+MD的最小值 为() B A.3cm B.6cm C.8cm D.12cm 4.(25-26七年级下广东茂名期末)如图，在△ABC中，利用尺规作图作出了射线BP交AC于点P.根 据作图痕迹，下列说法不一定正确的是() 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A BP是∠ABC B. SAABP SACBP AB:CB 的平分线 C.点P到AB,BC的距离相等 D.AP=PC 二、填空题 5.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=40°，点D在AC边上，且 AD=3,点E是BC边上的动点，连接BD、DE,若DE的最小值是3，则∠ABD的度数为一°， E 6.(25-26七年级下辽宁铁岭期末)已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以A、B为圆心，以大于 2AB为半径作弧，两弧相交于MN:作直线MN交BC于点D,连接AD,DE平分∠ADC,交AC于点 E,BD=6,△ADE的面积为12，则EC的长为一 E B 7.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D为BC上一 点，连接AD,将△ACD沿着AD翻折，使得点C的对应点E落在AB边的垂直平分线上，连接BE,则 △BDE的周长为 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(25-26七年级下·安徽宿州期末)在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分别为△ABC的角 平分线，BE、CD相交于点F. A E B (1)则∠BFC的度数为 (2)若FG平分∠BFC,当BD=3,CE=2,△BFC的面积为2.5时，则△BCD的面积为 三、解答题 9.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC的中点，点M,N分别 在线段AB,AD上，且AM=MN. M (1)MN与AC平行吗？请说明理由； (2)若∠BAC=40°，点N在线段BM的垂直平分线上，求∠DBN的度数. 10.(2026八年级下山东青岛专题练习)如图，∠ABC=∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠ADC, 过点E作EF⊥AD,垂足为F,连接AE、BF. 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AE是∠DAB的平分线. (2)求证：线段AE垂直平分BF. 11.(26-27八年级上湖北武汉开学考试)己知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分 ∠ACB,交AB于点D,BE与CD交于点O 图1 图2 (I)如图1.求证：∠BOC=90°+号∠BAC 2 (2)如图2，连接OA,求证：OA平分∠BAC. 12.(25-26八年级下·广东梅州期中)图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,DF=EF. A 01 D 沁R B B P 图1 图2 图3 ()如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D,E分别在边AB,AC上，连接AF并 延长，交BC于点P.求证：AP平分∠BAC (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ1AB于点O,若PO=6,AC=8,△ABC的面积为60，求AB 的长 13.(25-26七年级下·山东青岛期末)已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°，求证：AD=DC. 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E 图① 图② 图③ (I)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E,连接 DE,请按小明的思路进行证明， (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E,使BE=BC,连接DE.…请按小刚的思 路进行证明. (3)如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作 DE⊥BC,垂足为点E,探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由. 14.(2026八年级下黑龙江哈尔滨专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线. G 图① 图② 图③ (I)如图①，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF.求证：BD所在直线是EF的垂直平分线： (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F,此时(1)中的结论是否 成立？请证明： (3)如图③，当点G沿BD方向从点D沿BD的延长线运动时，GE⊥BA(或其延长线)于点E,GF⊥BC (或其延长线)于点F,此时(1)中的结论是否成立？不需证明. 15.(25.26八年级上湖北荆门期末)()如图1，△MBC中，∠ACB=a0<a<180）,CD平分4CB 交AB于D,过C点作DC的垂线交AB的垂直平分线于M,连AM,N在AC的延长线上.求证：CM平 分∠BCN: (2)把(1)中的“CD平分∠ACB交AB于D”换成“CD平分∠ACB的外角∠ACF交直线AB于D”,其 他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出∠BAM的度数（用含“的式子表示）： 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，若a=90°（如图3），且BC=2AC=10,作MH⊥BC于H,求MH的长度. D D B M NB C F M 图1 图2 图3 13/13