专题02 根的判别式与根与系数的关系（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题02 根的判别式与根与系数的关系 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 题型1 判断一元二次方程根的情况 题型2 根的判别式的计算与根的情况判定 题型3 根的判别式的分类讨论 考点二 由根的情况确定字母参数 题型1 由根的情况求参数范围 题型2 由根的情况求参数的值 考点三 一元二次方程根与系数的关系 题型1 利用根与系数的关系求值 题型2 由两根构造一元二次方程 题型3 利用根与系数的关系求参数 题型4 根与系数的关系的综合应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 ◆题型1 判断一元二次方程根的情况 1．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]下列方程中有两个相等实数根的是（） A． B． C． D． 2．[25-26八年级上·上海·期末]小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 3．[24-25八年级上·上海·阶段检测]定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．[25-26八年级上·上海·期中]关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型2 根的判别式的计算与根的情况判定 5．[24-25八年级上·上海闵行·阶段检测]方程的根的判别式的值为________． 6．[25-26八年级上·上海·阶段检测]已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． ◆题型3 根的判别式的分类讨论 7．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 8．[25-26八年级上·上海虹口·期中]已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 考点二 由根的情况确定字母参数 ◆题型1 由根的情况求参数范围 9．[25-26八年级上·上海普陀·期末]已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 10．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 11．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 12．[25-26八年级上·上海·期末]如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 13．[25-26八年级上·上海宝山·期末]关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________． 14．[25-26八年级上·上海·期末]已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 15．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是___________． 16．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________． 17．[25-26八年级上·上海虹口·期中]若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． ◆题型2 由根的情况求参数的值 18．[25-26八年级上·上海·期末]如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 ◆题型1 利用根与系数的关系求值 19．[2026·广西百色·三模]已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 20．[25-26九年级上·四川宜宾·期末]若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 21．[25-26八年级上·上海宝山·期末]一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 由两根构造一元二次方程 22．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]若一元二次方程的二次项系数为，两根为和，则该方程的一般式为________． ◆题型3 利用根与系数的关系求参数 23．[26-27八年级上·上海闵行·阶段检测]已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 24．[26-27九年级上·四川达州·阶段检测]如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 25．[25-26八年级上·上海·期末]若是方程的两个实数根，则的值为__________． 26．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]方程的根是与，则________． ◆题型4 根与系数的关系的综合应用 27．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]已知关于的一元二次方程 (1)求证：该方程必定有一个实数根是． (2)用含的代数式表示方程的另外一个实数根． 28．[26-27九年级上·全国·单元复习]已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 29．[25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测]已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 30．[25-26九年级上·四川宜宾·期末]已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．[25-26八年级上·上海·阶段检测]如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 2．[25-26九年级上·浙江·阶段检测]对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 二、填空题 3．[25-26八年级上·上海黄浦·期中]阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______． 4．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 三、解答题 5．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为______； (2)若关于的一元二次方程是“幸运方程”，求正整数的值． (3)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，直接写出的值为_______． 6．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]若，是方程的两根，求的值． 7．[25-26九年级上·湖北恩施·期末]已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 8．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 根的判别式与根与系数的关系 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 题型1 判断一元二次方程根的情况 题型2 根的判别式的计算与根的情况判定 题型3 根的判别式的分类讨论 考点二 由根的情况确定字母参数 题型1 由根的情况求参数范围 题型2 由根的情况求参数的值 考点三 一元二次方程根与系数的关系 题型1 利用根与系数的关系求值 题型2 由两根构造一元二次方程 题型3 利用根与系数的关系求参数 题型4 根与系数的关系的综合应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 ◆题型1 判断一元二次方程根的情况 1．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]下列方程中有两个相等实数根的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，，该方程没有实数根． B．方程整理为，，该方程没有实数根． C．方程整理为，，该方程有两个相等实数根． D．，，该方程有两个不相等实数根． 2．[25-26八年级上·上海·期末]小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断结论，时方程有两个实数根，逐一计算各条件下的判别式即可判断正误． 【详解】解：A选项：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； B选项：∵， ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， 则无法得到方程的根的个数，故本选项错误，符合题意； C选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； 3．[24-25八年级上·上海·阶段检测]定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据的定义分区间讨论，去掉取整符号后转化为一元二次方程求解，验证解的有效性． 【详解】解：，，即， 又， ． 当时，，方程化为，解得，符合要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合区间要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合要求． 当时，，且，，即，方程无解． 综上，方程共有3个解． 4．[25-26八年级上·上海·期中]关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ⁠． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，方程的解．利用一元二次方程的判别式，方程的解，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①若 ，则该方程没有实数根，正确； ②若 ，此时，若，该方程没有实数根，故原说法错误； ③若 ，，则该方程一定有两个实数根，正确； ④若该方程的一个根是 ，此时，即， 当时，不一定为0，则无法确定是否为方程的根，故原说法错误； 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B ◆题型2 根的判别式的计算与根的情况判定 5．[24-25八年级上·上海闵行·阶段检测]方程的根的判别式的值为________⁠． 【答案】 【分析】先确定一元二次方程中，，的值，再代入根的判别式公式计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为， ∴ ，，， 根的判别式公式为， 代入计算得： ． 6．[25-26八年级上·上海·阶段检测]已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________⁠． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． ◆题型3 根的判别式的分类讨论 7．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______⁠． 【答案】方程有两个实数根 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 8．[25-26八年级上·上海虹口·期中]已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根⁠． 【答案】(1)证明：，不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)，根为，；或，根为1，2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 考点二 由根的情况确定字母参数 ◆题型1 由根的情况求参数范围 9．[25-26八年级上·上海普陀·期末]已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次方程有实数根的条件，判别式非负，求解不等式． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 10．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用．关键在于：一元二次方程要求二次项系数不为0；方程有实数根时，判别式．需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 故选：B． 11．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________⁠． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式确定参数，列出不等式组求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴ 由， 得， 由， 得 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 12．[25-26八年级上·上海·期末]如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________⁠． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 13．[25-26八年级上·上海宝山·期末]关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________⁠． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式，解题关键是运用分类讨论思想解题． 方程可能为一元二次或一元一次方程，需分类讨论；当为一元二次方程时，利用判别式求参数范围． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，有实数根； 当时，方程为二次方程，有实数根时， 判别式， 解得 ； 综上，时方程有实数根． 故答案为：． 14．[25-26八年级上·上海·期末]已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________⁠． 【答案】且 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的定义．根据关于x的方程有两个实数根，得，，且，再计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 故答案为：且． 15．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是___________⁠． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，已知根的情况求参数．根据一元二次方程的定义，二次项系数 ；再根据根的判别式，方程有实数根时 ，代入系数计算判别式并解不等式，即可作答． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根， ∴且， 其中 ，，，代入得 ， 解得 ， ∵， ∴且， 故答案为：且． 16．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________⁠． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 17．[25-26八年级上·上海虹口·期中]若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________⁠． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． ◆题型2 由根的情况求参数的值 18．[25-26八年级上·上海·期末]如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根⁠． 【答案】； 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数以及求解一元二次方程．熟记相关结论即可．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求出a的值，再代入方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程是一元二次方程， ∴， 此时， 解得：或（舍去）， 故原方程为： 即： ∴． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 ◆题型1 利用根与系数的关系求值 19．[2026·广西百色·三模]已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 20．[25-26九年级上·四川宜宾·期末]若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 21．[25-26八年级上·上海宝山·期末]一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． ◆题型2 由两根构造一元二次方程 22．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]若一元二次方程的二次项系数为，两根为和，则该方程的一般式为________⁠． 【答案】 【分析】已知二次项系数和方程的两根，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到方程的一般式． 【详解】解：设该一元二次方程为，两根为，． 根据根与系数的关系可得： ， ， 计算，代入得，解得， 计算，代入得，解得， 因此该方程的一般式为． ◆题型3 利用根与系数的关系求参数 23．[26-27八年级上·上海闵行·阶段检测]已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________⁠． 【答案】 【分析】对所求代数式因式分解，再利用根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：一元二次方程的两个根是和， ，， 24．[26-27九年级上·四川达州·阶段检测]如果，是方程的两个实数根，则的值为________⁠． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ，整理得， ． ，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，， 将结果代入所求式子得：． 25．[25-26八年级上·上海·期末]若是方程的两个实数根，则的值为__________⁠． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，将代数式降次变形后，利用整体思想计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，． ∴ ． 26．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]方程的根是与，则________⁠． 【答案】 【分析】先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形计算目标式子的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： ◆题型4 根与系数的关系的综合应用 27．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]已知关于的一元二次方程 (1)求证：该方程必定有一个实数根是． (2)用含的代数式表示方程的另外一个实数根⁠． 【答案】(1)证明：将代入方程的左边，∵左边，∴左边右边，∴是该方程的一个实数根；(2)方程的另一个实数根为 【分析】（1）将代入方程左边计算，验证其值为0即可证明是方程的根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知根求出另一根． 【详解】（1）解：略 （2）解：设方程的另一个实数根为， ∵该方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 由根与系数的关系得， 解得． 28．[26-27九年级上·全国·单元复习]已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值⁠． 【答案】(1)证明：，又，，即，∴该方程有两个不相等的实数根；(2) 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，进而计算即可. 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系，得，， 则，解得． 29．[25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测]已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值⁠． 【答案】(1)证明：关于x的一元二次方程，，∴方程总有两个实数根．(2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 30．[25-26九年级上·四川宜宾·期末]已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值⁠． 【答案】(1)证明：∵，∴原方程总有两个不相等的实数根；(2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和性质． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．[25-26八年级上·上海·阶段检测]如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据角的平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，解答即可． 本题考查了角的平分线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，熟练掌握等腰三角形的判定，根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵和分别平分和， ∴，，     ∵，     ∴，     ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 且 ， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．[25-26九年级上·浙江·阶段检测]对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义运算，由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题 3．[25-26八年级上·上海黄浦·期中]阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______⁠． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，将函数化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键．设，将化为关于的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式，从而得到关于的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【详解】解：设， 将化为关于的一元二次方程． 关于的一元二次方程有实数解， ， 解得， ，的最小值是． 故答案为：． 4．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________⁠． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 三、解答题 5．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为______； (2)若关于的一元二次方程是“幸运方程”，求正整数的值． (3)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，直接写出的值为_______⁠． 【答案】(1)①；②或3(2)3(3)5或13 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）先根据一元二次方程的定义得出，则且，再由求根公式求出，，再根据“幸运方程”的定义及的取值范围确定的值； （3）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可． 【详解】（1）解：①当时，为， 此时， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； （2）解：∵是一元二次方程， ∴， ∴且， ∵， ∴方程的根为， ∴，， ∵为“幸运方程”， ∴两根都为整数， 又∵为正整数，且，， ∴m的值为3； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或64或81， 解得或或13， ∵m为整数， ∴或13， 当时，， 解得，， 两根都是整数，符合“幸运方程”的定义； 当时，， 解得，， 两根都是整数，符合“幸运方程”的定义； 综上所述，的值为5或13． 6．[26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测]若，是方程的两根，求的值⁠． 【答案】12 【分析】由根与系数的关系得出，，，然后化简分式进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 7．[25-26九年级上·湖北恩施·期末]已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值⁠． 【答案】(1)证明：由题意可得：，∵，∴，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵设的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得或． 8．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值⁠． 【答案】49 【分析】根据、是关于的一元二次方程的两个实数根，则，，结合判别式，利用配方法解决问题即可． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ． 方程有两个实数根， ， ， ， ∴的最小值为49． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 根的判别式与根与系数的关系 常考题型·精准突破 ○考点一一元二次方程根的判别式。 ◆题型1判断一元二次方程根的情况 1.C 2.B 3.B 4.B ◆题型2根的判别式的计算与根的情况判定 5.12 6.方程有两个不相等的实数根 ◆题型3根的判别式的分类讨论 7.方程有两个实数根 8(①T明；△=(2m+1旷-4(+)上m+m+1-4m-m=1>0,不论m为任何实数，方程总有两 个不相等的实数根；(2)m=1,根为-1，-2；或m=-2,根为1,2 ○考点二由根的情况确定字母参数● ◆题型1由根的情况求参数范围 9.A 10.B 11.a≤2且a≠1 12.k<1 13.a≥1 2 14ks 8且k≠1 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.k行且k=0 16.m22且m≠-1 3 17.号 ◆题型2由根的情况求参数的值 18.a=1,=53=2 ○考点三一元二次方程根与系数的关系· ◆题型1利用根与系数的关系求值 19.B 20.B 21.A ◆题型2由两根构造一元二次方程 22.3x2-12x+3=0 ◆题型3利用根与系数的关系求参数 23.-2026 24.8 25.2026 13 26.4 ◆题型4根与系数的关系的综合应用 3 27.(1)证明：将x=-2代入方程2mr+(3m-2x-4=0的左边，：左边2mx(-2)+(3m-2x(-2）4 =6-6m+4-4=0,左边=右边，∴x=-2是该方程的一个实数根；（②）方程的另一个实数根为3m 28.)证明：△=(4+4m=16+4m,又m2≥0,16+4m>0,即△>0，该方程有两个不相 2/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等的实数根；(2)m=±2 29.()i证明：关于x的一元二次方程-(k+4x+3弘+3=0.“△=[-(k+4]-4×1×(3k+3) =2+8就+16-12k-12=-4+4=(亿-220，六方程总有两个实数根.(Q=-1 30.()证明：·△=(m+1旷-4(m-1)=(m-1+4>0 “原方程总有两个不相等的实数根：（②%=-3 l2=2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.D 二、填空题 23 3.16 .720 4.“4或9 三、解答题 5.(4)①2：②-1或3(2)33)5或13 6.12 7.)证明：由题意可得：△=r-4x1×(2-5)=m2-8m+20=(m-4+4,(m-4≥0， (m-4+4之4，无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根：（②）m=5或m= 8.49 3/3