专题04 一元二次方程根与系数关系的灵活运用（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题04 一元二次方程根与系数关系的灵活运用 目录 典例详解 类型一、利用根与系数关系求代数式的值 类型二、已知一根或根的关系求参数 压轴专练 类型一、利用根与系数关系求代数式的值 1．根与系数的关系（韦达定理） 若，是一元二次方程的两个根，则： ， 2．常见代数式变形 ① ； ② ； 【重要性质】 ① 使用韦达定理前，需确保方程有实数根； ② 计算时要注意符号。 例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式列不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ， 又 ， 解得：． 变式1-1．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）若关于的一元二次方程． (1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值； (2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程，和分别是该方程的两个根， ∴ ∵， ∴ ∴或； （2）解：设方程的两个根为： 则， ∴ ∴，， …．． ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及有理数的混合运算等．熟记相关一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 变式1-2．（21-22八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得关于k的方程，求解该方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、， ∴， ∵， ∴ ． 解方程得：，． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 类型二、已知一根或根的关系求参数 1．常见题型 ① 已知方程的一个根，求另一个根及参数值； ② 已知两根满足某种关系（如相等、互为相反数、互为倒数等），求参数； ③ 已知两根的和与积，反求方程。 2．解题方法 ① 设两根为，，根据已知条件列出方程组； ② 利用韦达定理将条件转化为关于参数的方程（组）； ③ 解方程（组）求出参数； ④ 代入判别式验证是否有实数根。 【重要性质】 ① 已知一根求另一根时，可选用两根之和或两根之积的关系，选择计算简便的； ② 求出参数后，务必检验方程存在实数根。 例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：，解得或，然后再运用根的判别式验证即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ∴，解得：或， 当时，原方程变形为，该方程无实数根； 当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意． 故答案为：． 变式2-1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是，求的值，并求该方程的另一个根； 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）证明即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程，且 ∴ ， ， ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， ∵， ∴把代入方程得：， ， ∵， ∴， ∴， 故m的值为0，方程的另一个根为1． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 【答案】(1) (2)方程是“邻根方程” 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴两根和为，两根积为， ∴ 一元二次方程为； （2）解：解，得，， ， 方程是“邻根方程”． 变式2-3．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据嘉嘉及琪琪的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和， ∴两根之和， ∴当时，； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和6， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：B． 一、填空题 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）若m，n为方程的两个实数根，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系． 利用一元二次方程的解得到，即，根据根与系数的关系得到，进而可求的值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， 即， ∵m和n是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：2026． 2．（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算． 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 二、解答题 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）设x1，x2是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值． (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点是解决本题的关键． （1）先把方程的解代入方程，得关于m的新方程并求解，再根据根与系数的关系或解方程求出方程的另一个解； （2）先利用根的判别式判断方程解的情况，再利用根与系数的关系整体代入，得结论 【详解】（1）解：把代入方程， 得， ∴． ∴，即． 解得：． ∴，． （2）证明：方程可化为． ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程即的两根为， ∴，． ∴ ． ∵， ∴，即． 4．（25-26九年级上·安徽·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程： （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于m的一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】（1）解：． 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 的值为或． 5．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等． （1）根据方程可知，，，再利用即可证明本题答案； （2）利用方程可知，，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ， ， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 检验，是分式方程的解， ∴m的值为1． 6．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为，，且，求的值． 【答案】的值为或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，运用完全平方公式变形，得到，再解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原一元二次方程为，则，符合题意； 当时，原一元二次方程为，则，符合题意； ∴的值为或． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，求的值； (2)已知，满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题中所给结论得出，的值，代入计算即可； （2）将和可看成是方程的两个根， 先利用根的判别式判断，再利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：，是方程的两根， ，， ； （2）解：，满足，， 和可看成是方程的两个根， ， ， ，， ． 8．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 10．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求的值和方程的两个根． 【答案】，， 【分析】此题比较复杂，考查的是一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解答此题的关键是先判断出的取值范围，再根据根与系数的关系解答． 先根据方程有两个实数根判断出的取值范围，设出方程的两个实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起关系式，再根据这两个实数根的平方和比两根的积大21可列出关于的方程，求出的值，再把的值代入原方程即可解答． 【详解】解：方程有两个实数根， ， ， 设方程的两根分别为、， ①，②， 这两个实数根的平方和比两根的积大21，即， 即， 把①、②代入得，， （舍去）或， ， 原方程可化为， 解得，． 11．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据判别式即可判断； （2）根据根与系数的关系可知，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 所以该方程总有实数根； （2）存在实数m，使得代数式的值为，理由如下： 由根与系数的关系可知， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04一元二次方程根与系数关系的灵活运用 目录 典例详解 类型一、利用根与系数关系求代数式的值 类型二、已知一根或根的关系求参数 压轴专练 典例详解 类型一、利用根与系数关系求代数式的值 1. 根与系数的关系（韦达定理） 若x,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则： b C X1+X2=-二，X1X2= a a 2.常见代数式变形 ①x2+x22=(x+x2)2-2xx2: ②1+1=+五， X1 X2 XX2 【重要性质】 ①使用韦达定理前，需确保方程有实数根： ②计算时要注意符号。 例1.(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)关于x的一元二次方程x2+4x+m-2=0的两个实数根分别为x,x2. (1)求m的取值范围； (2)若2(x1+x2+xx2+10=0,求m的值. 变式1-1.(23-24九年级上·安微淮南·月考)若关于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0. (1)若a和B分别是该方程的两个根，且oB=-2,求m的值： (2)当m=1,2,3,…,2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为0、B,02、B2,…,224、 1/4 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1,1,1,1 11 F24,求+ 十…+ a B a2 B2 02024阝2024的7值 变式1-2.(21-22八年级下·安徽安庆期末)如果关于x的一元二次方程x2+2(k+3)x+k2+3=0有两个实数 根0、B,且(a-1)2+(B-12=18,求k的值 类型二、已知一根或根的关系求参数 1.常见题型 ①己知方程的一个根，求另一个根及参数值； ②已知两根满足某种关系（如相等、互为相反数、互为倒数等），求参数； ③已知两根的和与积，反求方程。 2.解题方法 ①设两根为x，x2,根据己知条件列出方程组； ②利用韦达定理将条件转化为关于参数的方程（组）： ③解方程（组）求出参数； ④代入判别式验证是否有实数根。 【重要性质】 ①已知一根求另一根时，可选用两根之和或两根之积的关系，选择计算简便的： ②求出参数后，务必检验方程存在实数根。 例2.(24-25八年级下·安微合肥期末)若关于x的一元二次方程x2+(2a-4)x+a2-3=0的两个实数根互 为倒数，则a的值为 变式2-1.(25-26九年级上·安微芜湖·期末)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x-m-2=0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)若此方程的一个根是-2，求m的值，并求该方程的另一个根： 变式2-2.(25-26九年级上·安徽合肥·月考)观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2-3x+2=0,方程的两个根分别是x=1,x2=2; 第2个方程：x2-5x+6=0,方程的两个根分别是x=2,x2=3: 第3个方程：x2-7x+12=0,方程的两个根分别是x=3,x2=4: 第4个方程：x2-9x+20=0,方程的两个根分别是x=4,x2=5; (1)请按照此规律写出两个根分别是x=5,x2=6的一元二次方程 (2)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那 2/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 么我们称这样的方程为“邻根方程”.上述各方程都是“邻根方程”.请通过计算，判断方程x2-√5x+1=0是 否是“邻根方程”. 变式2-3.（24-25九年级上河北保定·期末)嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错 了常数项，因而得到方程的两个根为-7和-2，祺淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根 为3和6，则原来的方程是() A.x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 压轴专练 一、填空题 1.(25-26九年级上·安徽宿州期末)若m,n为方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则 m2+3m+n=_ 2.(25-26八年级上·上海期中)一元二次方程4x2-7x-3=0的两根是x,x2,则 X2+x= x+1x2+1 二、解答题 3.(25-26九年级上·安微毫州期末)设x1,x2是关于x的方程x-1)(x-2)=m2的两根. (1)当x,=-1时，求x及m的值， (2)求证：（x-1)(x-1≤0 4.(25-26九年级上·安徽期末)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两个实数根分别为x,x2,且x2+xx2+x=3,求m的值. 5.(25-26九年级上山东德州·期中)已知方程x2+(m-3)x+1-2m=0(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②)若X,5是原方程的两根，且上+上=-2，求m的值。 X1 X2 6.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)己知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0有两个不相等的实 数根，分别为X,x2,且x+x-x2=9,求m的值. 3/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26九年级上·安徽阜阳·月考)我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程 x2+Px+g=0的两个根是X,x2,那么由求根公式可推出x+x2=-p,xx=9,请根据这一结论，解决 下列问题： (1)若a,B是方程x2-3x+1=0的两根，求a-aB+B的值： (2)已知a,b满足a2-5a+2=0,6-5b+2=0,求+的值. 8.（25-26九年级上·安徽准南·月考)关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根 X1、x2. (I)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足X1+x2=XX2,求k的值 9.(24-25八年级下·安徽合肥期末)己知关于x的一元二次方程x2-（2m+1x+m2+m-1=0 (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根： (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值 10.(2024八年级下·安徽专题练习)已知方程x2+2(k-2)x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的 平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根. 11.(25-26九年级上·山东潍坊·期中)已知关于x的一元二次方程x2-2x+1-m2=0. (1)求证：该方程总有实数根； (2)设x,x2是该方程的两个实根，是否存在实数m,使得代数式(x-1)(x2-)的值为-2？若存在求出实数 m的值，若不存在，请说明理由. 4/4