精品解析：江苏盐城市毓龙路实验学校2026-2027学年九年级上学期素养评价(一)数学试题

2026-2027学年度第一学期素养评价（一） 九年级数学试卷 （时长：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：1，2，9，5，3．该组数据的中位数是（ ） A. 9 B. 5 C. 3 D. 2 5. 如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 10. 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 11. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为 ___________ ． 12. 已知，是方程的两个实数根，则___________； 13. 将六个全等的正五边形按照如图的方式摆放，则的度数为________． 14. 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 15. 如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 16. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，等边三角形的顶点都在上，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 19. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积V（单位：）的反比例函数，如图所示． （1）写出这一函数的表达式． （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不小于多少? 20. 甲、乙两名学生参加数学素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差 甲 87 93 85 91 89 乙 89 96 80 91 33.5 （1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩； （2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，哪个学生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由． 21. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成生态园的面积为； （1）若设，则_______（用含的代数式表示） （2）请求出的长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 23. 如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，其中为水面截线，为台面截线，． 【计算】（1）如图1，已知，作于点，求的长． 【操作】将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，其中半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 【探究】（2）如图2，在滚动过程中，圆心到地面的距离________（填“改变”或“不变”）． （3）如图2，连接并延长交于点，求的长度．（结果保留） 25. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0， 如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值； （2）解方程：； （3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值． 26. 在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： （1）如图，若矩形是“等和积矩形”，且，求的值； （2）分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点重合，若“等和积矩形”的面积为，则点的坐标为___________； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，． ①直接写出与之间的函数表达式； ②请直接在图中画出①中函数的图象，并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 27. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华画出了符合要求的一条圆弧（如图． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为___________； ②△面积的最大值为___________． （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．用尺规作出点的运动路径，并求线段长的最小值． （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期素养评价（一） 九年级数学试卷 （时长：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数解析式的求法，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式，是做题的关键．将已知点的坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 反比例函数 () 的图象经过点， ∴ 当时，， 代入函数解析式得，， ∴ ． 故选：D． 2. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知一组数据：1，2，9，5，3．该组数据的中位数是（ ） A. 9 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：将数据从小到大排列为1，2，3，5，9， 数据共个，中位数为第个数据，即． 5. 如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余，由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由直角三角形两锐角互余可得出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 故选B. 6. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 8. 已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且，在中利用勾股定理求出，进而得到的长，在中求出的长，利用圆周角定理和三角形外角性质证明，进而求出的长，最后根据求解． 【详解】解：连接，，， ∵点E是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，，， ∴在中，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 10. 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【解析】 【分析】根据气温的波动大小判断即可．方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温波动较大，故甲地的日平均气温的方差大． 11. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式的应用，圆锥的侧面积公式为，其中r是底面半径，l是母线长． 【详解】解：∵，母线长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 12. 已知，是方程的两个实数根，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 故答案为：． 13. 将六个全等的正五边形按照如图的方式摆放，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先求出正五边形的一个内角度数，然后结合题图计算即可． 【详解】解：正五边形的内角为， 则． 14. 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 15. 如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可． 【详解】解：大圆半径为，小圆半径为， 圆环区域的外半径为，内半径为，  圆环的面积的四分之一为， 小圆的面积为， 故小圆盘运动过程中扫过的面积为． 16. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理及弧中点性质推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用含角的直角三角形性质求出和的长，即可求解 ． 【详解】解：延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ． ∵， ∴， ∴点关于的对称点为点，即， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 设的半径为，则， ∵， ∴ ， ∴，解得 ， ∴． 在中，，， ∴ ， ∴ ， 即的最小值是． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，等边三角形的顶点都在上，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）由为等边三角形，得，然后通过圆周角定理即可求解； （）过点作于点，则，由为等边三角形，得，则，由等腰三角形性质可得，所以，则有，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 19. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积V（单位：）的反比例函数，如图所示． （1）写出这一函数的表达式． （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不小于多少? 【答案】（1） （2）气球的体积至少为． 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像的性质等知识点，反比例函数的图像和性质是握掌解题的关键． （1）设，将点代入，求得k即可解答； （2）当时，代入解析式即可求解． 【小问1详解】 解：设， 将点代入可得；，解得：， ∴这个函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，有，解得：， 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． 20. 甲、乙两名学生参加数学素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差 甲 87 93 85 91 89 乙 89 96 80 91 33.5 （1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩； （2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，哪个学生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）10，89；（2）乙，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差 （2）根据加权平均数的概念计算． 【详解】解：（1） 乙平均数= （2）甲的分数= 乙的分数= 故乙的成绩更好 ． 【点睛】此题考查了平均数和加权平均数，用到的知识点是平均数和加权平均数，掌握它们的计算公式是本题的关键． 21. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成生态园的面积为； （1）若设，则_______（用含的代数式表示） （2）请求出的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据矩形的性质则； （2）根据面积建立方程即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 解得：，， 当时，不符合题意，舍去， ∴的长为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； （2）的面积为8． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 23. 如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连，证明，可得，证明，可得，则，结论得证； （2）延长交于点，由（1）知，求出，可求出，设半径为，则，解方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，由（1）知， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 设半径为，则， ， ． 的半径为． 24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，其中为水面截线，为台面截线，． 【计算】（1）如图1，已知，作于点，求的长． 【操作】将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，其中半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 【探究】（2）如图2，在滚动过程中，圆心到地面的距离________（填“改变”或“不变”）． （3）如图2，连接并延长交于点，求的长度．（结果保留） 【答案】（1）；（2）不变；（3）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图，连接．根据垂径定理可得，再说明，再在中运用勾股定理求解即可； （2）由操作过程可知：在滚动过程中，圆心到地面的距离始终为水槽的半径，据此即可解答； （3）根据直角三角形两锐角互余可得，再说明、，再运用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． 点为圆心，于点，， ． ， ． 在中，根据勾股定理，可知， ∴． （2）：如图2，在滚动过程中，圆心到地面的距离始终为水槽的半径，即不变． 故答案为：不变； （3）于点，， ． 半圆的中点为， ， ， ， 的长为． 25. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0， 如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值； （2）解方程：； （3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可； （2）令，则，原方程可化为，求得，即可求解； （3）因为所以，方程两边同时除以，可得，令，方程可化简为，求解方程即可． 【详解】解：（1）令，则，原方程可化为 即，，解得或 又∵ ∴ 所以，x2+y2的值为1 （2）令，则 原方程可化为 即，解得或 当时，即， ，即 解得 当时，， 判别式，方程无解 综上所述，的解为 （3）∵ ∴， 两边同时除可得： 令，可化为， 解得， ∴或 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了完全平方公式，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法以及整体代换的思想． 26. 在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： （1）如图，若矩形是“等和积矩形”，且，求的值； （2）分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点重合，若“等和积矩形”的面积为，则点的坐标为___________； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，． ①直接写出与之间的函数表达式； ②请直接在图中画出①中函数的图象，并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 【答案】（1）的值为 （2）点的坐标为 （3）①；②函数图象如图所示， 函数性质：当时，随的增大而减小； ③新矩形不是“等和积矩形”，理由如下： 新矩形的邻边长为和， 邻边之和：，邻边之积：， 原矩形是“等和积矩形”， ， 代入积的表达式得：， 假设新矩形是“等和积矩形”，则邻边和等于邻边积：， 整理得：， ，且， ，与矛盾， 因此假设不成立，即邻边长分别增加后，新矩形不是“等和积矩形”． 【解析】 【分析】（1）根据“等和积矩形”定义列出等式，结合代入消元，解一元二次方程并舍去不合题意的解； （2）建立平面直角坐标系后确定，联立与面积条件，构造一元二次方程求出，得到点坐标； （3）①利用定义式移项变形，整理得到关于的函数表达式；②在取值范围内描点画出函数图像，结合图像写出函数性质；③根据新矩形边长列出和与积的代数式，结合原有定义推理判断是否满足“等和积矩形”条件． 【小问1详解】 解：矩形是“等和积矩形”， ， ， ． 将代入，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（边长为正，舍去），， 的值为； 【小问2详解】 解：由题意，在轴上，在轴上，点与原点重合， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 矩形是“等和积矩形”， ， 矩形面积为， ， ， 由此可知是一元二次方程的两个根， 解方程得：，即， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：①根据“等和积矩形”的定义，得， 整理变形：，， ， ， ； ②画图：在的范围内取点、、等，在坐标系中描点后用平滑曲线连接，图像位于第一象限、直线右侧，且无限接近直线和； 函数性质：当时，随的增大而减小； ③见答案处． 【点睛】本题考查了新定义“等和积矩形”、一元二次方程、分式函数的变形与性质探究，读懂定义、熟练运用代数式变形与方程解法是解答本题的关键． 27. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华画出了符合要求的一条圆弧（如图． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为___________； ②△面积的最大值为___________． （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．用尺规作出点的运动路径，并求线段长的最小值． （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标___________． 【答案】（1）①；② （2）证明：设交圆于点，连接， 点都在圆上，同弧所对的圆周角相等， ， 是的外角，根据三角形外角性质：， ， 又， ； （3）如图所示，； （4）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求出弦对应的圆心角，结合勾股定理求圆半径；根据底边固定，圆上点到底边最大高为圆心到弦距离加半径，求三角形面积最大值； （2）构造同弧所对圆周角，利用三角形外角性质比较角的大小； （3）由定角定弦确定点的运动轨迹是圆弧，尺规作出轨迹，利用勾股定理求出圆心与定点的距离，减去半径得到线段的最小值； （4）利用同弧所对圆周角大于圆外角的结论，确定过的圆与轴相切时最大，结合垂直平分线、勾股定理列方程求出切点的坐标． 【小问1详解】 解：①设圆弧所在圆的圆心为，连接、， ， ， ，， 在中，由勾股定理：，即， 解得； ②在中，底边为定值，当边上的高最大时，三角形面积最大， 过点作于， 由垂径定理，为中点，， 在中：， 当点为优弧的中点时，点到的距离最大，最大值为， 面积的最大值为：； 【小问2详解】 证明过程见答案处； 【小问3详解】 解：①尺规作图步骤 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线左侧交于点； 以为圆心，长为半径画弧（不含两点），该圆弧即为点的运动路径； ②求长的最小值 连接、, 由圆周角定理：同弧所对圆心角是圆周角的倍， 得， 又， 是等边三角形， 即，圆的半径为， 过点作于点， 四边形是矩形， ，即， 是等边三角形， ， ， 在中，，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理：， ， 根据点与圆的位置关系，连接交圆于点， 此时取得最小值：； 【小问4详解】 解：当的外接圆与轴相切于点时，最大（圆外角小于同弧圆周角，切点处角最大）； 设该圆的圆心为，半径为， 圆与轴相切于，由切线性质：圆心到切线的距离等于半径， 轴，且，即圆心的纵坐标等于， 设，则切点的坐标为， ， 点在的垂直平分线上， 由两点距离相等（勾股定理）：， 展开化简：， ， ， ， 圆心坐标为， 又，由勾股定理：， 即 展开整理：， ， 由一元二次方程求根公式：， 对应横坐标： 当时，； 当时，， 定弦所对的圆周角，圆半径越小，角度越大，因此取较小半径，此时， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形外角性质、定角定弦隐圆模型、切线的性质，熟练运用圆的相关性质、勾股定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $