专题08 分式的运算（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08 分式的运算 内容概览 常考题型精准突破 考点一分式的乘除 题型1最简公分母 题型2负整数指数幂重点 题型3分式乘法 题型4分式除法 题型5分式乘除混合运算 题型6含乘方的分式乘除混合运算难点 题型7分式乘方 考点二分式的加减 题型1同分母分式加减法 题型2异分母分式加减法 重点 题型3整式与分式相加减 题型4已知字母的值，求代数式的值 题型5分式加减混合运算 考点三分式的混合运算与化简求值 题型1分式加减乘除混合运算难点 题型2分式化简求值重难点 题型3错解问题 题型4新定义问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ●考点一分式的乘除 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型1最简公分母 13 1.[25-26七年级上·上海宝山·阶段检测]分式2x+6,2x的最简公分母是 113 2.[25-26八年级上·山东淄博·阶段检测]分式x2+x'x2一了'2x-2的最简公分母是 a a-1a+1 3.[2425七年级上·上海青浦·阶段检测]分式a2-2a+1,a+1,a2-a的最简公分母为一 ◆题型2负整数指数幂 1.2627七年额上·上薄嘉定·阶段检测己知：(+=1，则的值是」 a+b-1 2,[25-26七年级上·上海宝山·阶段检测]计算：。2-67 3.[25-26七年级上·上海杨浦·期末]将分式3y(m2+n2)表示成不含有分母的形式：一 x-y 4.[25-26七年级上·上海·期未]计算：2-y户 (结果用不含负整数指数幂的形式表示) 5.24-25七年级上·上海青浦·期未]计算：b(a2+b) 一·（结果用不含有负整数指数幂的形 式表示) ◆题型3分式乘法 3x-2x-1 1.[24-25七年级上·上海普陀·阶段检测]计算：x-1‘2-3x 4(cx+y)2 2.[24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测]将x3化成不含负指数幂的形式 2a(x-y）3b 3.[24-25七年级上·上海松江·阶段检测]计算： 620- x2-y2 .x+5y 4.[24-25七年级上·上海青浦·阶段检测]计算：x2+6xy+5y2x2-2xy+y2. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4分式除法 x2-1 1-x2 1.[24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测]已知分式x乘一个分式后结果为x2,那么这个分式 为 x2-x-2.x2+x-6 2.[24-25七年级上·上海青浦·阶段检测]计算x-x-6*x+x-2的结果是 x2-1.2x2-2 3.24-25七年级上·上海·期中]化简：+2x+14+8x+4(- 4.[23-24八年级上·广西玉林·期末]如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住 了式子的一部分，求老师捂住的部分. ×1+)=+4 5.22-23七年级上·上海·期末]计算：(x-y)(x+y） ◆题型5分式乘除混合运算 (x2-y2)÷(x1+y)= 1.[24-25七年级上·上海静安·期末]计算： (结果不 含负整数指数幂) 5 3a2b. 5a) 2.[25-26七年级上·上海浦东新·期末]计算： “12ab(46. 3.[24-25七年级上·上海·期未]计算： x+2.x2-9xx3-3x2 4.[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：2xx2+2x-3x2+5x+6. 5.[21-22九年级下·浙江舟山·阶段检测]老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是： 每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 老师 甲 乙 丙 丁 ，。--- x2-2x x2-2x1-x x2-2xX-】 x(x-2)x-1 x-2 x-1 1-x X-1 x-1 x-1 (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2中选择一个合适的数求值. ◆题型6含乘方的分式乘除混合运算 2ab)2 1.[25-26七年级上·上海·阶段检测]把3C2 化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为 卫256七年上上海意龙·阶段检测刘计第，产 3,[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算： 3) 4.24-25七年级上·上海松江，阶段检测计算：（2)（口b÷b.(结果只含有正整数指数幂） ◆题型7分式乘方 1.[25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测]计算： -2 3n 2.[25-26七年级上·上海金山·期末]计算： 21m -2 3.[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算： (结果不含负指数幂)· a 4.[24-25七年级上·上海·阶段检测]计算： 、b3 ,(结果只含正整数指数 幂) 4/11 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ●考点二分式的加减 ◆题型1同分母分式加减法 a21 1.[25-26七年级上·上海·期末]计算： a-1a-1 2.[25-26七年级上·上海，阶段检测]计算：x-2x-2一 aa 3.[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]计算：a+1a+1 a21 4.25-26七年级上·上海黄浦·期]计算：a一a1 1 5.24-25七年级上·上海·期未]计算：a-+1-a=一 ◆题型2异分母分式加减法 11 1.[2526七年级上·上海金山·期末]计算：3x4x 11,2y 2.[25-26七年级上·上海松江·期]计算：x+yx-yx2-y2· 13x+5 3.2425七年级上·上海普陀·阶段检测]计算：x+3x2+2x-3 1,1,11 4.[24-25七年级上·上海虹口·阶段检测]计算：x十2x+63江 一十 2a-b-c 2b-c-a 2c-a-b 5.[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算(a-b)(a-c）'(b-c(b-a)(c-a(c-b) ◆题型3整式与分式相加减 3 1.[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：a-1 1 2.[2025·河南平预山·三模]计算a+1+ 1a-1的结果是() B.a-1 C.a-1 D.a2 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-1-2 3.[2025·山西·一模]化简a-1的结果为() a2-2a-3 A.a-3 B.a-1 C.a2-2a+1 D.a-1 x2 4.2324八年级上·山东济南·期]计算x一2x-2= 5.2025·新江，模拟预测]计算：1x本的结果是 ◆题型4已知字母的值，求代数式的值 A B 2x-6 1.[2526七年级上·上海虹口·期未]A,B为常数，如果-1x-2(c-(x-2),那么A-B=— 2x-3 A B 2.[2425七年级上·上海·阶段检测]已知x2-xx-1x,其中4、B为常数，则4+B=— 3x+4-A-B 3.[24-25七年级上·上海松江·阶段检测]己知x-x-2x-2x+1,其中A、B为常数，求4A-B的 值. 4.5-26七年级上·上海，阶段检测即计算：(a+2+a2):(a+a)a ◆题型5分式加减混合运算 111 1.[2022·湖南衡阳·模拟预测]计算：x+1x+2x+3x+4一· 2.[2627八年级上·湖南永州·阶段检测]计算： 5 (0)x-55-x 2-+ x+y. 3.[25-26八年级上·全国·课后作业]计算： 369 (①)2x+44-x+2x-4 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x1 (②)x2-4x+4x2-42x+4 ·考点三分式的混合运算与化简求值·— ◆题型1分式加减乘除混合运算 31）.x-4 1.[25-26七年级上·上海宝山·期末]计算： （x+2x-2'x+2 1 a2-2a+1 a--÷ 2.[25-26七年级上·上海·期末]计算：（a a. a-1-3）a2-4a+4 3.[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]计算： a+1a+1 4.[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算： 5.[25-26七年级上·上海金山·期末灯计算：(x+y)产(-y)x(x+ 6,25-26七年级上·上海松江·翔末]计算：ab(01-b .(结果不含负指数幂) ◆题型2分式化简求值 2-1=22+月 1 1.[25-26七年级上·上海奉贤·期末]若x,则x2的值是 2a-b.4a2-b2 2.[26-27七年级上·上海宝山·阶段检测]先化简，再求值：a2-2b+bab-a6,其中a=1,b=-1. x- 2526七年级上上游·期利先化简，再求值：x-2x1一x+2,其中 x-1-x---2+1 4.[25-26七年级上·上海普陀·期末]先化简代数式 1-x+2x-4+,然后在-2、-1、0、 1、2中选取一个适合的数，代入求值. 7/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3错解问题 2a1 1.[25-26七年级上·上海·阶段检测]小马虎在计算a2一万M时把整式M抄错了，得到的化简结果是 1 a-b:他在核对时发现所抄写的M比原来大2b,则正确的化简结果应该是 4 2.25-26七年级上·上海·期中]下面是小明同学在作业计算02-。+2的过程，请仔细阅读后解答下列 问题： 小明的作业 4 a- +2 2-a =a+2-4 -a 第一步 =(2+a)2-a)-4 第二步 =4-a2-4 第三步 =-a2 第四步 (1)小明的作业是从第 步开始出现错误的，错误的原因是 4 +2的值. 2)已知a2+a=2,求a-2-a ◆题型4新定义问题 1.[25-26七年级上·上海普陀·期末]如果两个分式P与Q的和为常数k,且k是整数，则称P是Q的 x*7,01 “和整分式”，k称为“和整值”.例如：分式P= 9,所以P4Q=中，p是0 的“和整分式”“和整值”k=1·已知分式X-3,D x2-9,C是D的“和整分式”，且“和整 值”k=1.当x为正整数时，分式D的值为正整数，则x的值. 2.[25-26七年级上·上海·期末]我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形.类似的， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个 分式相加”方向相反的变形为“分式分解”， 2x-1 2x-1x+(x-1)_x x-11,1 例如，将xx-D分式分解：xx-)xx-)xx-)x(x-)x-1x· 2x+1 (①)将xx+)分式分解的结果为 因若在1可以分式分解为名十2品（共中m八g是常数），则 7x-4 2x+12x2x+1 3)化简：x2+x2-1x2+x-2 3.[24-25七年级上·上海·阶段检测]【阅读理解】若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则 称4是5的加差分式”，例如：一-3，我们称是的“3差分式”.解答下列间愿： 3x3 3x C 2x (①)分式4=，x是分式B=x的“2差分式”，用含x的代数式表示C: ②记知=1：分式)是华的4老分式”（共中，少为正数》，求-y的值， x-3y 4.[24-25八年级下·江西九江·阶段检测]【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的 转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定 它们的大小，即要比较代数式M,N的大小，只需要作出它们的差M-V.若M-N>0,则M>N;若 M-N=0,则M=N:若M-N<0,则M<N. 【运用】 a a-1 aa-11 、>0 ()若a>0,要比较a+1和a的大小，只需要a+1aa(a+) a a-1 可得a+1一 -(填“>”“_”或“<”) ②若3a>b>0:M=8,N=a+1 b’ b+3,试比较M与N的大小. (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为x元斤，第二次采购的价格为y元/斤 (,y是整数，且x≠y).甲店两次各购买了m斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了n元.试比较甲店 和乙店两次采购苹果的平均价格的高低. 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.[24-25七年级上·上海·阶段检测]阅读下述材料： 2x+9 分式x(x+3)可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差.为解决这个问题，可设 2x+9 A B AB（A-B)x+3A 2x+9（A-B)x+3A x(x+3)xx+3(A、B为常数)，由xx+3x(x+3),可得x(x+3)x(x+3),由此可 A-B=2 「A=3 2x+931 得3A=9,解得B=1,所以x(x+3)xx+3 4x-3 请用上述方法将(2x+1)(x-2)化为分母分别为2x+1与x-2且分子都是常数的两个分式的差. 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 3x-4 A B 1.[2425七年级下·浙江金华·阶段检测]若(x-1(x-2)x-1x-2,求4A-B的值为 2.25-26七年级上·上海·期未灯对于代数式mn定义运算“※”：mn=m+m4m+0,若 mn (x-4※(x+2)=A+B Γx-4x+2,则2026A-B=一 3.[25-26七年级上·上海·期中]我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程.类似地， 2x-1 “几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程.例如，将一x分式 2x-1_2x-1_x+x-1_xx-11,1 5x-4 分解：x-xx(x-x(c-x(-)x(x-)x-1x,若mx2-3x+i可以分式分解为 卫+9 x一i2x-i(其中m、p、g是常数)·则p=一，9=一 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、解答题 1防老上商对te司】 x+1 卫2526飞车上·上涛裙系新·末利宏1≤：且x为整数，请对+子+2x-3先化面 再求值. 3.[25-26七年级上·上海·期末]定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“阶 33x_30+-3 33x 分式”，例如：x+11+x1+x,则分式x+1与1+x互为“3阶分式”. 10x15 (1)填空：分式3+2x与3+2x互为“阶分式”： 12x+3 (②)已知分式2x+3与4互为“4阶分式”，求分式4； 3)尼知分式B=2x+ 、C=、M x-2 x2+2x-8,且B与5C互为“2阶分式”.求代数式M(用含x的式子表示). 11/11列学科网·上好课 ◆题型1最简公分母 1.2x(0x+3) 2.2x(+00-) 3 a(a+1)(a-1)2 ◆题型2负整数指数幂 1.0或-2 ab 2. b-a 3.3xy(m2+m) y 4. x+y b a 5.1 b ◆题型3分式乘法 1.-1 4x3 2.(x+y)月 2b2 3.3a(x-y) 1 4. x-y www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08分式的运算 常考题型精准突破 ●考点一分式的乘除 1/6 可学科网·上好课 ◆题型4分式除法 x-1 1. x2+x x2-1 2.x2-9 2 3.(x-1)2 4.老师捂住的部分为x y-x 5.y+x ◆题型5分式乘除混合运算 y-x 1 xy 25a2 2.16b2 3.-a3b (x-1)(x-3) 4.2(x-9) 2-x 5.(1)D(2)x,-2 ◆题型6含乘方的分式乘除混合运算 9a2 1.4b2c4 2.成 2/6 www.zxxk.com 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x2 3.y2 a 4.4b ◆题型7分式乘方 y 1.x 2. 4m2 9n2 x2 3. bs 4. ●考点二分式的加减●— ◆题型1同分母分式加减法 1.a+11+a 2.-1 3.a2-a 4.a+1/1+a 11 5. a+11+a ◆题型2异分母分式加减法 1 1.12x 2.0 3/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 4.3x 5.0 ◆题型3整式与分式相加减 4-a2 1.a-1 2.A 3.B 4 4.x-2 1 5.x+1 ◆题型4已知字母的值，求代数式的值 1.6 2.2 3.13 4.a2+1 ◆题型5分式加减混合运算 4x+10 1.(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) x2 2.(1)-1(2)x+y 6 3.(1)x-22)2(-27 ●考点三分式的混合运算与化简求值 ◆题型1分式加减乘除混合运算 4/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 1.x-2 a+1 a+2 3.02 1 4.x+1 5.y-x 1 6.b-a ◆题型2分式化简求值 1.6 -ab 2.(a-b)2a+b,号 1 3 3.化简结果为2x,值为2 4.x,当x=0时，原式=0 ◆题型3错解问题 1 1 1.a+bb+a 2.(1)二；漏掉了分母(2)-1 ◆题型4新定义问题 1.1或2 11 2x+2 2.(①四x+1+x:(②)3,1：(3)P+2x 3.(1)C=18+6x(2)x-y的值为±2 4.(1)>(2)M>N(3)甲店的平均价格比乙店的平均价格高 4x-3 2-1 5.(2x+1)(x-2)2x+1x-2 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1.2 22四6号 2021 3.13 二、解答题 1.a2 a-2 x+3 2.c+i;3 -4x+9 3.(1)5(②)2x+3(3)M=-x-4 616 专题08 分式的运算 常考题型·精准突破 考点一 分式的乘除 题型1 最简公分母 题型2 负整数指数幂　重点 题型3 分式乘法 题型4 分式除法 题型5 分式乘除混合运算 题型6 含乘方的分式乘除混合运算　难点 题型7 分式乘方 考点二 分式的加减 题型1 同分母分式加减法 题型2 异分母分式加减法　重点 题型3 整式与分式相加减 题型4 已知字母的值，求代数式的值 题型5 分式加减混合运算 考点三 分式的混合运算与化简求值 题型1 分式加减乘除混合运算　难点 题型2 分式化简求值　重难点 题型3 错解问题 题型4 新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式的乘除 ◆题型1 最简公分母 1．[25-26七年级上·上海宝山·阶段检测]分式，的最简公分母是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 2．[25-26八年级上·山东淄博·阶段检测]分式的最简公分母是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】解： ∴最简公分母为， 故答案为：． 3．[24-25七年级上·上海青浦·阶段检测]分式，，的最简公分母为______． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的最简公分母；先把各分式的分母进行因式分解，找出所有因式的最高次幂的乘积即是最简公分母． 【详解】解：， 故最简公分母为：； 故答案为：． ◆题型2 负整数指数幂 1．[26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测]已知：，则的值是___________． 【答案】 或 【分析】幂的结果为分为三种符合条件的情况，分别求解后验证即可得到结果． 【详解】解：分三种情况讨论： ①：非零数的零次幂等于 ， ∵ ， ∴ ， 验证底数：，符合条件； ②：的任意次幂都等于 ， ∵ ， ∴ ， 代入原式得，符合条件； ③：的偶次幂等于， ∵ ， ∴ ， 此时指数，是偶数，结果与情况1重复，不新增解； 综上，的值为或． 2．[25-26七年级上·上海宝山·阶段检测]计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查负指数幂、平方差公式和分数的除法运算，利用分数的除法运算是解题的关键． 首先将负指数化为倒数形式，分子和分母分别通分后，利用分式的除法法则转化为乘法，再结合平方差公式约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 3．[25-26七年级上·上海杨浦·期末]将分式表示成不含有分母的形式：_____． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义进行变形即可，熟练掌握运算法则是解题的关键； 【详解】解：根据负整数指数幂的意义，分母中的常数3可写为 ，字母y可写为， 可写为 ， 因此原式化为 ， 故答案为：． 4．[25-26七年级上·上海·期末]计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了通分，约分，分解因式，负整数指数幂，将负指数转化为分式形式，然后把分母利用平方差公式分解因式，再约分后把分母通分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．[24-25七年级上·上海青浦·期末]计算：______．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，先根据乘法的分配律计算，然后根据负整数指数幂的意义化简即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． ◆题型3 分式乘法 1．[24-25七年级上·上海普陀·阶段检测]计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 2．[24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测]将化成不含负指数幂的形式_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的运算法则化为正整数指数幂，再根据分式的乘除运算法则进行化简即可．解题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则：一个数（零除外）的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 【详解】解： 故答案为：． 3．[24-25七年级上·上海松江·阶段检测]计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4．[24-25七年级上·上海青浦·阶段检测]计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． ◆题型4 分式除法 1．[24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测]已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 2．[24-25七年级上·上海青浦·阶段检测]计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．[24-25七年级上·上海·期中]化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 4．[23-24八年级上·广西玉林·期末]如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住了式子的一部分，求老师捂住的部分．    【答案】老师捂住的部分为x 【分析】本题考查分式的乘除法运算，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，根据法则直接计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 答：老师捂住的部分为x． 5．[22-23七年级上·上海·期末]计算：． 【答案】 【分析】先把负整数指数幂化为分式的形式，再去括号进行除法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． ◆题型5 分式乘除混合运算 1．[24-25七年级上·上海静安·期末]计算：____________________．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算以及分式的化简知识点，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，并能正确运用平方差公式对式子进行化简。 先将原式中各项的负整数指数幂化为正整数指数幂的形式，再对分子进行变形，利用平方差公式因式分解，然后通过约分消去公因式，将结果化为不含负整数指数幂的形式。 【详解】原式 = 故答案为： 2．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除混合运算，原式先计算，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案． 【详解】解： ． 3．[24-25七年级上·上海·期末]计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 5．[21-22九年级下·浙江舟山·阶段检测]老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 A．只有乙    B．甲和丁    C． 乙和丙    D．乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 【答案】(1)D (2)， 【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【详解】（1） 出现错误是在乙和丁， 故选：D． （2） ， 根据分式有意义的条件可得且， 即只能从和中选择一个， 代入，得出结果为． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． ◆题型6 含乘方的分式乘除混合运算 1．[25-26七年级上·上海·阶段检测]把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，分式的除法法则和乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 2．[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方及除法运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；先算乘方，然后再进行分式的除法运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 4．[24-25七年级上·上海松江·阶段检测]计算：．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、分式的乘方与乘除法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将负整数指数幂转化成正整数指数幂，再计算分式的乘方，然后计算分式的乘除法即可得． 【详解】解：原式 ． ◆题型7 分式乘方 1．[25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测]计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算以及分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式的乘方运算法则和乘法运算法则． 先计算，再与相乘并约分即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 2．[25-26七年级上·上海金山·期末]计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂． 根据负整数指数幂的运算法则：计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：________（结果不含负指数幂）． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．[24-25七年级上·上海·阶段检测]计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 考点二 分式的加减 ◆题型1 同分母分式加减法 1．[25-26七年级上·上海·期末]计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的减法． 原式分母相同，直接合并分子，分子利用平方差公式因式分解后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法运算，掌握知识点是解题的关键． 分母相同，直接分子相减，再化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]计算：______． 【答案】 【分析】此题考查分式的加减运算，明确同分母分式相加减的方法是解题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分．分式运算时，默认字母的取值范围使分式有意义（即）． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．[25-26七年级上·上海黄浦·期末]计算：_________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的减法及化简，原式为两个同分母分式的减法运算，直接合并分子后，利用平方差公式因式分解，再约分即可化简． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 5．[24-25七年级上·上海·期末]计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键；通过观察分母 和互为相反数的关系，将第二个分式变形，然后合并分式，再因式分解分母并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ◆题型2 异分母分式加减法 1．[25-26七年级上·上海金山·期末]计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，先通分，然后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．[25-26七年级上·上海松江·期末]计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的运算法则是解答此题的关键．根据异分母分式加减运算法则通分计算即可． 【详解】解： ． 3．[24-25七年级上·上海普陀·阶段检测]计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，再相减即可． 【详解】解： ． 4．[24-25七年级上·上海虹口·阶段检测]计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的混合运算，掌握异分母分式的加减混合运算法则是关键． 根据异分母分式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 5．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式的加减运算，把每一个分式化为两个分式的和是解本题的关键．先逆用分式的加减运算的运算法则把每一个分式化为两个分式的和，再计算即可． 【详解】解： ． ◆题型3 整式与分式相加减 1．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算： 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法． 先将分式通分，再按同分母分式的加减法法则计算，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 2．[2025·河南平顶山·三模]计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 3．[2025·山西·一模]化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 4．[23-24八年级上·山东济南·期末]计算______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 5．[2025·浙江·模拟预测]计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． ◆题型4 已知字母的值，求代数式的值 1．[25-26七年级上·上海虹口·期末]为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 2．[24-25七年级上·上海·阶段检测]已知，其中为常数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．[24-25七年级上·上海松江·阶段检测]已知，其中A、B为常数，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由①②得：， 所以． 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先将变形为，再进行除法、乘法计算． 【详解】解： ◆题型5 分式加减混合运算 1．[2022·湖南衡阳·模拟预测]计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 2．[26-27八年级上·湖南永州·阶段检测]计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． ． 3．[25-26八年级上·全国·课后作业]计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 考点三 分式的混合运算与化简求值 ◆题型1 分式加减乘除混合运算 1．[25-26七年级上·上海宝山·期末]计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式加减乘除混合运算，通分，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，然后通分合并进行化简即可． 【详解】解： 2．[25-26七年级上·上海·期末] 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的四则运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握分式的四则运算法则． 按照分式的四则运算法则，对式子进行化简，先计算括号里的式子，再将除法转化为乘法，最后约分求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 3．[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的混合运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的加法及除法可进行求解． 【详解】解：原式 ． 5．[25-26七年级上·上海金山·期末]计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的混合运算．将负整数指数幂转化为分式形式，然后根据分式的性质化简即可． 【详解】解： ． 6．[25-26七年级上·上海松江·期末]计算：．（结果不含负指数幂） 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的混合运算，先把负整数指数幂化为正指数幂的形式，然后根据分式的混合运算法则化简，即可得到结果． 【详解】解： ． ◆题型2 分式化简求值 1．[25-26七年级上·上海奉贤·期末]若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 2．[26-27七年级上·上海宝山·阶段检测]先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ． 当，时，原式． 3．[25-26七年级上·上海·期末]先化简，再求值：，其中 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查分式的化简求值及负整数指数幂的运算，先分别化简两个括号内的式子，再将除法运算转化为乘法运算，约分化简得到最简分式；接着计算出的值，最后代入最简分式计算结果． 【详解】解： ． 将代入，原式． 4．[25-26七年级上·上海普陀·期末]先化简代数式，然后在、、0、1、2中选取一个适合的数，代入求值． 【答案】x，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，由分式有意义得出符合条件的的值，代入求解即可． 【详解】解：原式= ， 因为分式有意义时、、2． 当时，原式． ◆题型3 错解问题 1．[25-26七年级上·上海·阶段检测]小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是______． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果． 【详解】解：抄错时，有， 则， 所以． 由于抄写的M比原来大， 故正确的M为．代入原式， 正确结果为． 故答案为：． 2．[25-26七年级上·上海·期中]下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；漏掉了分母 (2) 【分析】（1）从第二步开始出现错误，错误的原因是通分漏了分母． （2）根据分式的运算，化简代入求值计算即可， 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2）解：                 ， 由 得 故原式． ◆题型4 新定义问题 1．[25-26七年级上·上海普陀·期末]如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 【答案】1 或 2 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． 根据题意可得，再去分母，整理即可解得；并化简 D，再根据 D 的值为正整数，列出方程求解 x，检验即可． 【详解】解：∵C 是 D 的和整分式，且和整值， ∴． 即 ． 通分得 ． 则 ． 解得 ． 于是 （其中 ）． ∵ D 的值为正整数，x 为正整数， ∴ 或 ． 解得：或． 故答案为：或． 2．[25-26七年级上·上海·期末]我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题干提供的解题思路分解分式即可； （）仿照题干得，比较分母，得，比较分子，得 ，解得，从而求解； （）分别求出， ，则，然后计算，从而求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴ 比较分母，得 ， 比较分子，得 ，解得 ， 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， 原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 3．[24-25七年级上·上海·阶段检测]【阅读理解】若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”．例如：，我们称是的“3差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“2差分式”，用含x的代数式表示C； (2)已知，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的加减法，熟练运用分式的加减法法则是解题的关键． （1）根据“2差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （2）根据“4差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，且称A是B的“2差分式”． ∴， 解得，； （2）解：∵分式是的“4差分式”， ∴， ， ， ， 且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 4．[24-25八年级下·江西九江·阶段检测]【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【答案】(1) (2) (3)甲店的平均价格比乙店的平均价格高 【分析】（）根据作差法的比较法则即可求解； （）求出的差，再根据作差法的比较法则即可判断求解； （）根据题意表示出甲店和乙店的平均价格，再利用作差法比较即可判断求解； 本题考查了作差法，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，甲店的平均价格为元/斤， 乙店的平均价格为元/斤， ∴ ， ∵，，且， ∴，， ∴， 即， ∴甲店的平均价格比乙店的平均价格高． 5．[24-25七年级上·上海·阶段检测]阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为与且分子都是常数的两个分式的差． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，解二元一次方程组，设（M、N为常数），仿照题意得到，则可得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设（M、N为常数）， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．[24-25七年级下·浙江金华·阶段检测]若，求的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 2．[25-26七年级上·上海·期末]对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 3．[25-26七年级上·上海·期中]我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 二、解答题 1．[25-26七年级上·上海·期末]计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】解： ． 2．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]若，且为整数，请对先化简再求值． 【答案】；3 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，再代入求解即可． 【详解】解： ∵，且为整数， ∴或0或1， 为使原式有意义，需满足，分母不为0，除数不为0， 即，， ∴，，， ∴， 当时， 3．[25-26七年级上·上海·期末]定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $