专题04 分式运算与分式方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题04 分式运算与分式方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 约分通分的计算 题型二 分式乘除混合运算 题型三 同分母分式加减法 题型四 异分母分式加减法 题型五 整式与分式相加减 题型六 分式加减混合运算 题型七 整数指数幂的运算 题型八 解分式方程 【经典例题一 约分通分的计算】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）化简：． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）已知，，求分式的值． 3．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，求分式的值． 5．（23-24七年级上·山东聊城·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 6．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）已知，求分式的值． 7．（23-24七年级上·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）约分 (1) (2) (3) (4) 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 10．（23-24七年级上·全国·课堂例题）“！”是一种数学运算符号，，，，，…，请你计算． 【经典例题一 分式乘除混合运算】 11．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）计算：． 12．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算： 13．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级上·海南海口·期末）计算： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·山东济南·期中）计算 (1) (2) 16．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（23-24七年级上·山东东营·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值． 18．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 20．（23-24七年级上·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程． 【经典例题三 同分母分式加减法】 21．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 22．（2024·浙江杭州·一模）计算： (1)； (2)． 23．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1）；（2）；（3）． 24．（24-25七年级上·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 25．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)． 26．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 27．（23-24七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值，其中． 28．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)化简代数式，再从、2、0、1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 29．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式如．这种方法我们称为“分离常数法”． (1)如果，求常数a的值； (2)利用分离常数法，解决下面的问题∶当m取哪些整数时，分式的值是整数？ 【经典例题四 异分母分式加减法】 31．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算：． 32．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3)                         33．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 34．（24-25七年级上·山东东营·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 35．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）先化简，再求值，在代数式中， 当时，求出代数式的值． 36．（2024·浙江杭州·二模）化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 37．（2024·浙江·模拟预测）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 38．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题： ， (1)若为正整数，猜想_________ (2)根据上面的结论计算：． 39．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 40．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 【经典例题五 整式与分式相加减】 41．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简：． 42．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 43．（2024八年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 44．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1) (2) 45．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2)； (3)； (4) 46．（23-24七年级上·湖南株洲·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 47．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝　 ，＝　 ； （2）利用你发现的规律计算：＋＋…＋． 48．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）以下是圆圆的的解题过程中 先化简，再求值： ，其中． 解：原式…① 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 49．（23-24七年级上·山东淄博·期中）计算∶ (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，在四个数中选一个合适的代入求值． 50．（23-24七年级上·北京昌平·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①　　　　②　　　　③　　　　　④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【经典例题六 分式加减混合运算】 51．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，求的值． 52．（23-24七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 53．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 54．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)． (2)． 55．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 56．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 57．（23-24七年级上·北京·期末）已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 58．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 59．（2024·浙江杭州·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错． (2)请写出此题的正确解答过程． 60．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于正数，规定，例如：，，， ， (1)计算： (2)直接写出下面式子的计算结果：     =______． 【经典例题七 整数指数幂的运算】 61．（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算：． 62．（2024七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 63．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 64．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 65．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 66．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式． (1)； (2)． 67．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 68．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 69．（2024·辽宁葫芦岛·二模）先化简，再求值：，其中． 70．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【经典例题八 解分式方程】 71．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 72．（24-25七年级上·甘肃天水·开学考试）解方程： (1) (2) 73．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）计算： (1)解分式方程：； (2)化简：． 74．（2024七年级上·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 75．（24-25七年级上·湖南常德·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 76．（2024·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）（1）   （2）化简求值：   其中 77．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算 ： (1) (2)先化简再求值：， 然后选一个合适的整数作为a的值带入求值． 78．（23-24七年级上·山东东营·期末）计算题： (1)解分式方程：； (2)先化简，后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 79．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 80．（23-24七年级上·全国·单元测试）在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式运算与分式方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 约分通分的计算 题型二 分式乘除混合运算 题型三 同分母分式加减法 题型四 异分母分式加减法 题型五 整式与分式相加减 题型六 分式加减混合运算 题型七 整数指数幂的运算 题型八 解分式方程 【经典例题一 约分通分的计算】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的约分，将分式的分子与分母因式分解后，约去公因式即可 【详解】解： 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）已知，，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的通分是解题的关键． 将通分为，然后代入求解即可． 【详解】解：， ． 3．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值．设，则代入原式进行计算即可． 【详解】解：设，则． 原式． 5．（23-24七年级上·山东聊城·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查通分，找到各分母的最简公倍数是解题的关键． （1）根据，，的最简公倍数为进行通分即可； （2）根据，，的最简公倍数为进行通分即可． 【详解】（1）解：，，的最简公倍数为， ； ； ； （2）解：，，的最简公倍数为， ； ； ． 6．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据可得，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 7．（23-24七年级上·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）约分 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． （1）根据分式的基本性质求解即可； （2）根据分式的基本性质求解即可； （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． （4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分式的约分化简求值，根据分式的性质，进行约分，再代值计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 10．（23-24七年级上·全国·课堂例题）“！”是一种数学运算符号，，，，，…，请你计算． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．根据“！”的意义，把分子、分母分别转化为乘法式子后，约分计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题一 分式乘除混合运算】 11．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 12．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简，分式的混合运算，掌握分式的性质，混合运算法则是解题的关键． （1）先确定符号，再根据分式的性质进行约分化简即可求解； （2）运用乘法公式因式分解，再根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24七年级上·海南海口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分式的混合运算，先算乘方，然后算乘除； （2）分式的加减乘除混合运算，先算乘除，然后算加减，有小括号，先算小括号里面的． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． 15．（24-25七年级上·山东济南·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算： （1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则即可. （1）利用分式的混合运算法则即可求解； （2）将分子、分母因式分解后，约分即可求解； （3）通分后即可求解； （4）利用分式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 17．（23-24七年级上·山东东营·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值． 【答案】（1）；（2），时，原式 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行计算，然后再将数据代入求出分式的值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵或时，原分式无意义， ∴在范围内x可以取得整数为0， 当时，原式． 18．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据分式的减法及除法可进行求解； （2）根据分式的乘除运算可进行求解； （3）根据分式的加法及乘法可进行求解； （4）根据分式的减法及乘法可进行求解 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)8 【分析】本题考查分式的运算： （1）根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先乘方，再进行乘除运算； （4）先乘方，再进行乘除运算； （5）除法变乘法，约分化简即可； （6）先进行负整数指数幂和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 20．（23-24七年级上·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程． 【答案】乙、丁同学在接力中出错，正确答案为 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、分式的约分法则是解题的关键． 根据分式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：乙、丁同学在接力中出错． 正确的过程： ． 【经典例题三 同分母分式加减法】 21．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法法则，根据分式的加法法则相加，再约分即可； 【详解】解： ； 22．（2024·浙江杭州·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算，先算乘方后乘除最后加减，有括号先算括号里面的即可； （2）先进行同分母的加法运算，然后把分子与分母约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算以及分式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． 23．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）1． 【分析】利用同分母分式的加减计算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ， ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 24．（24-25七年级上·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式除法计算，分式加法即可： （1）先把原式变形为，再根据分式减法计算法则求解即可； （2）先把第一个分式的分母和分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)b 【分析】本题主要考查了分式加减运算和分式乘除运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则进行计算即可； （2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． （2）原式各项利用同分母分式的加减法则计算即可． （3）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． （4）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． 【详解】解：（1）原式1； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 27．（23-24七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值，其中． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）根据同分母分式的减法法则计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 28．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)化简代数式，再从、2、0、1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】(1) (2) (3)；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式加减法计算，分式的化简求值： （1）根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先通分，然后化简求解即可； （3）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 29．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【详解】（1）； ； （2）； （3） ∴． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式如．这种方法我们称为“分离常数法”． (1)如果，求常数a的值； (2)利用分离常数法，解决下面的问题∶当m取哪些整数时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的加减运算的逆运算，熟练掌握分式的加减运算的逆运算是解题的关键． （1）先把化为，再比较即可得到结论； （2）由，结合m为整数，分式的值为整数，可得或，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴． （2）， ∵m为整数，分式的值为整数， ∴或， ∴解得或或或． 【经典例题四 异分母分式加减法】 31．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握分式的减法法则．先将原式进行通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： 32．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据同分母分式的减法计算即可； （2）根据异分母分式的加法计算即可； （3）先通分，再计算即可 【详解】（1）解： （2）解：         （3）解：                          33．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法运算，理解异分母分式加减法的运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用同分母分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用同分母分式加减法运算法则进行计算，最后再利用提取公因式法和平方差公式变形后约分求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 34．（24-25七年级上·山东东营·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接进行同分母分式相加即可； （2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式相加即可； （3）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式相减即可； （4）先将异分母分式化为同分母分式，再进行括号内的同分母分式相加，最后算乘除即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 （4）原式 ． 35．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）先化简，再求值，在代数式中， 当时，求出代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分化简，再把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式． 36．（2024·浙江杭州·二模）化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】圆圆的解答不正确，正确解答过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的减法，根据异分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：圆圆的解答不正确，正确解答过程如下： 原式 ． 37．（2024·浙江·模拟预测）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确解答过程见解析 【分析】根据整式减法的运算法则进行判断，再利用整式减法的运算法则进行正确计算即可． 【详解】解：有错误，正确解答如下： 【点睛】此题考查了分式的减法，熟练掌握分式减法法则是解题的关键． 38．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题： ， (1)若为正整数，猜想_________ (2)根据上面的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据变形规律，写出等式即可求解； （2）根据题意，将每一项拆解为差的形式，然后根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2） ． 39．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）根据分式减法计算即可． （2）根据得到，的关系式． （3）根据与，的关系求解． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 40．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 【答案】因式分解；三；过程见解析； 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．根据小芳化简过程分析可解答答题空；根据异分母的分式相加减法则写出正确结果即可． 【详解】解∶小芳化简过程的第一步依据的是因式分解，化简过程的第三步开始出现错误． 故答案为：因式分解；三；     原式 【经典例题五 整式与分式相加减】 41．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简：． 【答案】． 【详解】． 42．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果； （2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 43．（2024八年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同分母分式的加减法运算法则进行运算即可． （2）利用分式的除法法则进行运算再进行加减运算，注意要先因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确使用分式的运算法则，如同分母分式相减，分母不变，分子相减，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数． 44．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）根据分式的加减运算法则即可求出答案． （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 45．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将第二项的分母化为，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 46．（23-24七年级上·湖南株洲·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可得； （2）根据分式的加法法则计算即可得； （3）根据分式的加法法则计算即可得； （4）先计算零指数幂、乘方、化简绝对值，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加法与乘法、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 47．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝　 ，＝　 ； （2）利用你发现的规律计算：＋＋…＋． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； 【详解】解：（1），， （2）原式＝ ， ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 48．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）以下是圆圆的的解题过程中 先化简，再求值： ，其中． 解：原式…① 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【答案】有错误；正确的解答过程见解析 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了分式的加法运算法，掌握分式的加法法则是解题的关键． 49．（23-24七年级上·山东淄博·期中）计算∶ (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，在四个数中选一个合适的代入求值． 【答案】(1) (2) (3)，当时，原式 【分析】（1）根据分式的加减进行计算即可求解； （2）先算乘方，再将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解； （3）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，然后根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件取舍，代入求值即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3）解： 当时，分式无意义 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及化简求值，掌握分式的运算法则，准确的计算是解题的关键． 50．（23-24七年级上·北京昌平·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①　　　　②　　　　③　　　　　④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)②③ (2)，过程见解析 (3)，当，该式的值是整数， 【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得； （2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解； （3）将原式变形为，根据题意求得的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解． 【详解】（1）解：①，不是“和谐分式”，　　　　 ②，是“和谐分式”，　　　 ③，是“和谐分式”， ④，不是“和谐分式”， 故答案为：②③； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数， ∴， ∴当时，是整数， 又∵． ∴时，原式的值是整数． 【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解． 【经典例题六 分式加减混合运算】 51．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， 原式． 52．（23-24七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 53．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案； （2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键． 54．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 55．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 56．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 57．（23-24七年级上·北京·期末）已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 【答案】(1) (2),详见解析 (3)12或18 【分析】（1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与0的大小关系． （3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题． 【详解】（1）当时， ； （2）当时，，理由如下： ， ， 或， 当且时，；当时，； （3），，， ， 、均为非零整数， 时，，； 时，，； 综上所述：的值为18或12． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 58．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． 59．（2024·浙江杭州·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错． (2)请写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】（1）根据分式的加减运算法则可作出判定； （2）根据分式的加减运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解：第二步开始出错，因为丢掉了分式的分母， 故答案为：二； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则并正确求解是解答的关键． 60．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于正数，规定，例如：，，， ， (1)计算： (2)直接写出下面式子的计算结果：     =______． 【答案】(1)2 (2)201 【分析】（1）根据新定义的换算进行计算即可； （2）利用加法的结合律以及（1）中的规律得出答案． 【详解】（1） （2）通过观察发现规律为：， ∴原式 故答案为：201 【点睛】本题考查代数式求值，分式的加减法以及数字的变化类，理解新定义的函数的意义，掌握分式加减法的计算法则以及数字所呈现的规律是解决问题的前提． 【经典例题七 整数指数幂的运算】 61．（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，涉及负整数指数幂与零指数幂，掌握这两个幂的运算规则是解题的关键．分别计算负整数指数幂与零指数幂，最后按有理数混合运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 62．（2024七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，负整数指数幂；先利用积的乘方，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 63．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再计算乘除运算，最后合并即可； （2）先计算整数指数幂的乘法运算，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 64．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和积的乘方法则及有理数的乘法法则计算即可； （2）利用幂的乘方和积的乘方法则及有理数的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查科学记数法，幂的乘方和积的乘方及有理数的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 65．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先按照积的乘方运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （2）先按照积的乘方，同底数幂的运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （3）先按照积的乘方，再计算同底数幂的除法，再化为张整数指数幂的形式即可； （4）先按照积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，再化为科学记数法的形式即可； 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ； 66．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据化简，再利用同底数幂的乘法法则即可求解； （2）先根据化简，除法转化成乘法，再利用同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了负指数幂，灵活的将负指数幂转化为正指数幂是解题的关键． 67．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-5 (2)2 022 (3) 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 【详解】（1） ； （2） =2024； （3） ． 68．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果; （2）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果. （3）根据异分母的分式加减计算即可． （4）首先计算乘方，然后计算乘法，然后进行除法运算即可． 本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和简便方法的应用以及结果的符号是本题的关键． 【详解】（1）解：, , ； （2）解：, , ； （3）解： ； （4）解： ． 69．（2024·辽宁葫芦岛·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】先根据求出，再根据分式混合运算法则把原式进行化简，把代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， ∴原式． 【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值，以及负整数指数幂、零次幂等知识点，熟知分式混合运算的法则以及整数指数幂是解答此题的关键． 70．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，7 【分析】此题考查了负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，完全平方公式和平方差公式，多项式除以单项式，平方和绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）首先计算括号内完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，然后计算多项式除以单项式，然后根据平方和绝对值的非负性得到，，然后代数求解即可． 【详解】（1） ； （2） ∵ ∴， ∴， ∴原式． 【经典例题八 解分式方程】 71．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 检验：当，时，， ∴是原方程的解． 72．（24-25七年级上·甘肃天水·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握计算步骤是解题的关键． （1）（2）分别先去分母，转化为解一元整式方程，再检验是否有增根即可． 【详解】（1）解： ， ， 经检验：是原方程的解， ∴ 原方程的解为； （2）解： ， 经检验：时， ∴原方程的解为． 73．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）计算： (1)解分式方程：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查分式方程与分式的运算， （1）根据分式方程的解法，将原方程转化为整式方程即可求出答案，注意分式方程要检验； （2）根据分式的运算法则即可求出答案，注意先做小括号里的，然后再做括号外面的． 【详解】（1）解： 去分母，得． 解得． 经检验，是分式方程的解． （2） ． 74．（2024七年级上·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根． （1）两边同时乘以去分母，再解整式方程，验根即可求解； （2）两边同时乘以去分母，再解整式方程，验根即可求解； （3）两边同时乘以去分母，再解整式方程，验根即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母得， 移项得， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解： 去分母得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 75．（24-25七年级上·湖南常德·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验． 先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论． 【详解】解：解方程得； 经检验是方程的解； ∵两方程的解相同； ∴将代入方程中得， 解得， 经检验是方程的解 ∴． 76．（2024·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）（1）   （2）化简求值：   其中 【答案】（1）无解（2）， 【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． （2）先通分括号，再运算除法，最后代入求值即可． 本题考查解分式方程，分式的化简求值，掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． （2）原式 ， 当时，原式． 77．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算 ： (1) (2)先化简再求值：， 然后选一个合适的整数作为a的值带入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值： （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 78．（23-24七年级上·山东东营·期末）计算题： (1)解分式方程：； (2)先化简，后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)无解； (2)，当时，原式． 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件： （1）根据解分式方程的方法求解即可，注意要检验； （2）先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可． 【详解】（1）解： 当时，， 所以原方程无解； （2）解： ∵，，， ∴，， 将代入上式得： 原式． 79．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 【答案】从① 步开始出错，正确的解析过程见详解 【分析】本题主要考查解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：去分母时，等式两边的各项都要乘以公分母， ∴在去分母时应为：，故从①步开始出错； 正确的解析过程如下， 方程两边同时乘以，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴是原分式方程的解． 80．（23-24七年级上·全国·单元测试）在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果； （2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可． 本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解分式方程，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：依题意， ∵ ∴原方程化简为 去分母，得． 整理，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$