专题01 幂的运算十四大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题01 幂的运算 目录 A 题型建模 专项突破 1 题型一 同底数幂相乘 1 题型二 同底数幂乘法的逆用 3 题型三 用科学记数法表示数的乘法 4 题型四 积的乘方运算 5 题型五 积的乘方的逆用 7 题型六 幂的乘方运算 8 题型七 幂的乘方的逆用 10 题型八 同底数幕的除法运算 11 题型九 零指数冪 12 题型十 负整数指数幂 14 题型十一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 15 题型十二 还原用科学记数法表示的小数 16 题型十三 幂的混合运算 17 题型十四 同底数幕除法的逆用 18 B 综合攻坚 能力提升 20 题型一 同底数幂相乘 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【思路引导】（1）逆用同底数幂相乘法则计算即可得出结果； （2）逆用同底数幂相除以及幂的乘方法则计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 4．若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【规范解答】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 5．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为_____米． 【答案】 【思路引导】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）（1）计算：． （2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1）；（2）海王星距离太阳大约米 【思路引导】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂，再进行加减计算即可； （2）先利用同底数幂的乘法法则进行计算，再利用科学记数法表示即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：（米）， 答：海王星距离太阳大约米． 【考点剖析】本题考查实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法法则及科学记数法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型四 积的乘方运算 7．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先计算幂的乘方，再合并同类项； （3）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了积的乘方及其逆向应用，关键是熟练应用运算法则计算； （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （3）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （4）逆向应用积的乘方的公式及运算律进行运算即可； 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 题型五 积的乘方的逆用 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【思路引导】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】（1）根据积的乘方公式和幂的乘方逆运算求解即可； （2）根据积的乘方公式的逆用求解即可． 【规范解答】解：（1） ， ； （2） ， ， ， ， 解得． 题型六 幂的乘方运算 11．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【思路引导】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 幂的乘方的逆用 13．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则_______． 【答案】625 【思路引导】利用同底数幂的除法、幂的乘方的逆运算计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】 （1）①72；② （2）8 【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【规范解答】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型八 同底数幕的除法运算 15．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算乘方，再算乘除即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 题型九 零指数冪 17．（25-26七年级上·广东梅州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂的意义等知识，掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据乘法的分配律计算即可； （2）根据乘方的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义等计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【思路引导】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【规范解答】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【5，125】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， ∴【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 题型十 负整数指数幂 18．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】（1）原式分别计算绝对值、有理数的乘方、负整数指数幂以及零指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，然后再合并即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 19．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：B． 题型十一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 20．（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【规范解答】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 21．年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了用科学记数法表示一个较小的数、有理数的除法，已知头发丝直径为毫米，超薄金属厚度为其二十万分之一，首先通过有理数的除法计算出超薄金属的厚度，再用科学记数法表示． 【规范解答】解：头发丝直径为毫米， 超薄金属厚度为：． 超薄金属的厚度用科学记数法表示为毫米． 故选：A． 题型十二 还原用科学记数法表示的小数 22．某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将科学计数法转化为一般计数法即可． 【规范解答】， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，明确负整数指数幂的含义是解题的关键． 23．用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ） A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056 【答案】A 【思路引导】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到． 【规范解答】解：把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为−0.00056． 故选：A． 【考点剖析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 题型十三 幂的混合运算 24．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）计算： (1) (2) (3)解方程：． 【答案】(1)80 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，幂的混合运算，解一元一次方程： （1）先根据负整数指数幂，零指数幂化简，再计算加减即可； （2）先根据积的乘方和同底数幂乘法计算，再合并即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1即可求得结果 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 25．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【思路引导】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【规范解答】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【考点剖析】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 题型十四 同底数幕除法的逆用 26．已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的关系式为①②③⑤． 故选：C． 27．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【思路引导】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【考点剖析】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 1．已知：，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据幂运算的相关法则，分别计算出a、b、c的具体数值，再比较三个数的大小，即可得到结果． 【规范解答】解：∵根据负整数指数幂运算法则，，根据乘方运算法则，，根据零指数幂运算法则，底数不等于0，即成立，， 又， ． 2．已知，则的值等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【思路引导】本题利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【规范解答】解：． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，计算出三个数的结果，再比较大小得到正确排序． 【规范解答】解：∵，，， 又∵， ∴. 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方法则逐一判断选项，选出正确结果． 【规范解答】选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； 选项B，∵根据同底数幂乘法法则，，∴B错误，不符合题意； 选项C，∵根据积的乘方法则，，∴C正确，符合题意； 选项D，∵根据合并同类项法则，，∴D错误，不符合题意； 故选：C． 5．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【规范解答】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知实数、、存在数量关系，求________． 【答案】144 【思路引导】先利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将进行变形，转化为含和的形式，再代入，计算． 【规范解答】解：∵， ∴． 7．如果，，则___． 【答案】 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【规范解答】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【思路引导】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【规范解答】解：，， ， ， ． 9．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【规范解答】解：． 10．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______． 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． 【规范解答】 ， 又 ， ， ， 解得， ． 故答案为． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （3）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 12．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 【答案】 【思路引导】本题考查了同底数幂相乘的应用，理解题意，整理得，又因为，故，运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，即可作答． 【规范解答】解：，， ∴， ∵， ． 则 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【思路引导】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【考点剖析】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【规范解答】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 15．（24-25七年级上·山东济南·月考）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9 (2)①；② 【思路引导】此题主要考查规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，数学常识，列代数式，解答本题的关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． （1）根据材料一进行求解； （2）①由题意可得，第n个格放粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：①由题意得，第一格放的米粒数为； 第二格放的米粒数为； 第三格放的米粒数为； 第四格放的米粒数为； … 第n格放的米粒数为， 在第64格中应放粒米； 故答案为：； ②由题意得： ， 则， ， 即． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 目录 A 题型建模 专项突破 1 题型一 同底数幂相乘 1 题型二 同底数幂乘法的逆用 2 题型三 用科学记数法表示数的乘法 3 题型四 积的乘方运算 4 题型五 积的乘方的逆用 4 题型六 幂的乘方运算 5 题型七 幂的乘方的逆用 5 题型八 同底数幕的除法运算 6 题型九 零指数冪 7 题型十 负整数指数幂 7 题型十一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 8 题型十二 还原用科学记数法表示的小数 8 题型十三 幂的混合运算 8 题型十四 同底数幕除法的逆用 9 B综合攻坚 能力跃升 10 题型一 同底数幂相乘 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 题型二 同底数幂乘法的逆用 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 4．若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 5．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为_____米． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）（1）计算：． （2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）． 题型四 积的乘方运算 7．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (4) ； (4) 题型五 积的乘方的逆用 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型六 幂的乘方运算 11．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 12．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 题型七 幂的乘方的逆用 13．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则_______． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 题型八 同底数幕的除法运算 15．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 题型九 零指数冪 17．（25-26七年级上·广东梅州·期末）计算 (1)； (2)． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 题型十 负整数指数幂 18．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1) (2) 19．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 题型十一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 20．（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 21．年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 题型十二 还原用科学记数法表示的小数 22．某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 23．用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ） A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056 题型十三 幂的混合运算 24．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）计算： (1) (2) (3)解方程：． 25．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 题型十四 同底数幕除法的逆用 26．已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 27．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 1．已知：，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知实数、、存在数量关系，求________． 7．如果，，则___． 8．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 9．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 10．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 15．（24-25七年级上·山东济南·月考）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $