专题11 轴对称与中心对称（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11轴对称与中心对称 常考题型·精准突破 ●考点一轴对称· ◆题型1轴对称图形的识别 1.A 2.D 3.B 4.D ◆题型2根据成轴对称图形的特征进行求解 1.C 2.4.8 ① ② 3.(1)平移，画图如下： (2)两次轴对称(3)顺， 0 90° 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ② 02..⑤ 逆， ,画图如下： 4) 90° 4.(1)8-2a’ 30°：(2)2a+4a ◆题型3台球桌面上的轴对称问题 1.D 2.A 3.D 4.55 ◆题型4折叠问题 1.D 2.D 3.72 10 4.3或6 5.50°150度 ◆题型5画对称轴 1.(1)画出线段 的垂直平分线 如下：M (2)所画的轴对称图形如下： CD MN 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 如图， 第二组图形不是轴对称图形， 3.(1)如图所示，即为所求；(2)如图所示，即为所求. 图1 图2 ◆题型6求对称轴条数 1.C 2.D 3.0、1、2或3 4.5 ◆题型7镜面对称 1.D 2.C 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.3265 4.D 5.c 6.C 7.C 8.16:25 ◆题型8画轴对称图形 1.()如图所示， △4C为所求，如图所不，点0和△B,C即为前求：⑧理调肤示 △A,B,C即为 所求 2.(1)解：如图所示，三角形 关于直线1成轴对称的三角形 即为所求： (2)解： ABC AB'C" 如图所示，格点三角形和对称轴即为所求： 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 或 或 或 (答案不唯一，言之成理 备用图 备用图 备用图 备用图 即可) 3.(1)解：如图， 即为所求作： (2)解：如图， 即为所求作： △FDG △CBF (3)解：如图，点即为旋转中心， 即为所求作： 0 △DAP 5./12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4.(1) 即为所求作三角形： 即为所求作三角形： B E ①△FDG ②△CBF 如图，点目 即为旋转中心， 即为所求作三角形： ③ 0 △DAP (2) 或 36 B 5 ●考点二中心对称” ◆题型1中心对称图形的识别 1.C 2.D 6/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.①②⑤ 4.①④/④① ◆题型2成中心对称 1.D 2.D 3.A C 4.(1)三角形 关于点成中心对称的图形： (2)三角形 ABC 0 B A"B"C (3)正确，因为三角形 绕点顺时针旋转 得到三角形 B ABC 0 m AB'C 再将三角形B'C'绕点O逆时针旋转°，所以三角形ABC相对于初始位置顺时针旋转了(m-m,而三角 形ABC直接绕点O顺时针旋转(m-n)°后，其位置与经过两次旋转得到的三角形A"'B'C'位置相同（根据旋 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转的性质，旋转角度相同，旋转中心相同，图形的最终位置相同)，所以小明的观点正确，即三角形ABC 经过一次运动（绕点O顺时针旋转(m-n)°）就能和三角形'B"C"重合. ◆题型3画已知图形关于某点对称的图形 1.如图， 即为所求. B △A'B'C M A(A4) B B 2.(1)如图所示， 即为所求； (2)如图所示，四边形 即为所求 △A'B'C ABCD B D B 3.(1)如图所示， 即为所求： (2)如图所示， 即为所求； A △ABC B B △4，B,C2 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图所示， △AB,C即为所求. 4.(1)解：如图，四边形 即为所求： 4(2)正方形，， AAAA c2 a2+b2 d2+6=c6)解：如图，己知 BC ∠C=90°BC=aAC=bAB=c 是直角三角形， ,分别画出 △ABC绕点O顺时针旋转90°得到△4BG,关于点O成中心对称的 △A,B, C,绕点0递时针旋转90°得到 △A,B,C3 则四边形 AAAA AA AAs 是一个正方形，一方面，四边形 的面积可以直接用公式计算为， 一方面，它的面积等于四边 CC,C,C的面积减去四个三角形，为 (a+b}-4x)ab=a2+2+2ab-2ab=a+b,于是，我们得到a2+2=c2: A(B) B A3 C2 ◆题型4根据中心对称的性质求面积、长度、角度 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 28 1.9 2.60 D 3.(1)经过对称中心；(2)直线 即为所求： (3)经过两个中心对称图形的对 B 称中心：(4)直线 即为所求： 00 综合攻坚知能拔高 一、解答题 M C C A 1.(1)如图1， 即为所求作的图形， (2)取 与 的交点为O,如 IN △ABC1 图1 BB MN M C 图2， 即为所求作的图形， B 取 的交点为O,如图3， A2 N △A,B,C2 图2 CC MN 10/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M 即为所求作的图形. 取 与 的交点为0，如图4， A B B W △4B,C3 图3 AA MN M B A 即为所求作的图形. A △A,B,C4 图4 M B(B O 2.(1)解：如图所示， 即为所求； (2)解：如图所示， 即为 △AB,C △AB,C2 11/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所求： 3.(1)④，两点之间线段最短：(2)11；(3)①如图， 最短， P ②70 D B PC+CD+DP P D 4.(1)如图1，三角形 即为所求。 (2)①三角形 的面积是；②线段 109 ADF 图1 AEF 2 CF 的长是6：(3) 5.(1)25(2)①67.5°；②∠AEB=67.5°或∠AEB=75 914 6.(10②3，①2③④(2)a=43)3或3 12/12 专题11 轴对称与中心对称 常考题型·精准突破 考点一 轴对称 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解　重点 题型3 台球桌面上的轴对称问题 题型4 折叠问题　重难点 题型5 画对称轴 题型6 求对称轴条数 题型7 镜面对称　难点 题型8 画轴对称图形 考点二 中心对称 题型1 中心对称图形的识别 题型2 成中心对称　重点 题型3 画已知图形关于某点对称的图形 题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度　难点 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 轴对称 ◆题型1 轴对称图形的识别 1．[25-26七年级上·上海虹口·期末]近年来，国产人工智能模型发展迅速，以下四款人工智能模型的图标中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．[25-26七年级上·上海闵行·期末]下列说法正确的是（    ） A．平移和旋转都不改变图形的形状，但平移改变了图形的位置，旋转没有改变图形的位置． B．圆是轴对称图形，对称轴是其直径，也是中心对称图形，对称中心是圆心． C．成轴对称的两个图形形状相同，大小相等，经平移后必能重合． D．成中心对称的两个图形中，连接每组对称点的线段都能被对称中心平分． 【答案】D 【分析】本题考查了几何变换的性质和圆的基本概念，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、平移和旋转均不改变图形的形状和大小，但均改变图形的位置，故该选项不符合题意； B、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线（直径是线段，非直线），也是中心对称图形，对称中心是圆心，原说法的“对称轴是其直径”表述错误，故该选项不符合题意； C、成轴对称的两个图形全等，但经平移后不一定重合（可能需反射），故该选项不符合题意； D、中心对称的性质：连接对称点的线段必被对称中心平分，故该选项符合题意； 故选：D． 3．[25-26七年级上·上海·寒假作业]下列图形中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； 、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的定义，寻找每个图案的对称轴是解题关键． 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．根据定义依次判断各选项即可． 【详解】解： 选项：无对称轴，沿任意直线折叠后两部分无法重合，不是轴对称图形； 选项：无对称轴，图形为中心对称但非轴对称，不是轴对称图形； 选项：无对称轴，折叠后两部分无法重合，不是轴对称图形； 选项：存在一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后，直线两旁的图形能完全重合，是轴对称图形． 故选：． ◆题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解 1．[24-25七年级上·上海黄浦·期末]如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 2．[25-26七年级上·上海·阶段检测]如果点与点关于直线对称，而且点到的距离是，那么线段的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握“关于某直线对称的两点，到对称轴的距离相等，且对称轴是两点连线的垂直平分线”是解题的关键． 根据轴对称的性质，确定点、到对称轴的距离关系，进而计算线段的长度． 【详解】解：∵点与点关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即， ∴． 故答案为：． 3．[25-26七年级上·上海·期中]平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 【答案】(1)平移， 画图如下： (2)两次轴对称 (3)顺，，逆，， 画图如下： 【分析】本题考查的是平移，轴对称，旋转的性质与画图． （1）根据平移与轴对称的性质进行解答与画图． （2）根据轴对称的性质解答即可． （3）根据旋转的性质进行解答与画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次平移得到； 三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③， （2）解：通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过两次轴对称来实现， 故答案为：两次轴对称； （3）解：如图，三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点顺时针旋转．得到三角形④：再将三角形④绕着点逆时针旋转．得到三角形⑤． 4．[24-25七年级上·上海宝山·期末]已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算； （1）根据旋转与轴对称的性质先判断，可得旋转角，再证明是轴对称图形，是轴对称图形，进一步可得的长度； （2）由旋转可得：，，，，证明，求解，再进一步求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角是， ∵，， ∴是轴对称图形， 由旋转可得：， ∴是轴对称图形， ∴， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得： ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型3 台球桌面上的轴对称问题 1．[2026·河南·二模]如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．[24-25七年级下·全国·随堂练习]如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 3．[23-24八年级上·山东德州·期中]如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 4．[23-24八年级上·山东聊城·期中]数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ◆题型4 折叠问题 1．[25-26七年级上·上海金山·期末]如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在位置，点D落在的位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 首先求出， 根据折叠的性质得到，，然后求出，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿，折叠，点落在位置，点D落在的位置， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 2．[25-26七年级上·上海·期末]如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（   ） A．16cm B．15cm C．13cm D．10cm 【答案】D 【分析】本题考查了图形轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．根据轴对称的性质可得，，即得，即可求得则的周长为，即得答案． 【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处， ，， ， 则的周长为． 故选：D． 3．[25-26七年级上·上海·期末]如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么______度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，再根据平角的定义和已知条件解答即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵把沿直线翻折后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，    由折叠可知：， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时， 由折叠可知：， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：；           故答案为：或． 5．[25-26八年级上·新疆伊犁·期中]如图，把长方形沿折叠后，点D、C分别落在，的位置，若，则的度数为_____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握利用轴对称的性质的性质求解角度的大小是解题的关键． 首先求出，根据折叠的性质的性质，可以求得，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴ 由折叠得，， ∴ 故答案为：． ◆题型5 画对称轴 1．[24-25七年级上·上海·阶段检测]已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【答案】(1) 画出线段的垂直平分线如下： (2) 所画的轴对称图形如下： 【分析】本题考查了画轴对称图形，画对称轴，理解轴对称图形的性质是解题的关键． （1）直线是线段的垂直平分线，画出线段的垂直平分线即可； （2）作出A、B两点关于直线对称的对应点，依次连接四个对应点即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 2．[25-26七年级上·上海·课后作业]试找出下列两图形的对称轴． 【答案】 如图， 第二组图形不是轴对称图形． 【分析】本题考查了画对称轴，如果两个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴．据此即可解答． 【详解】解：略． 3．[22-23七年级下·陕西咸阳·期末]如图，图1是一个轴对称图形，图2是一个轴对称图形的一半．    (1)画出图1的对称轴，并标出点A的对应点． (2)请以虚线为对称轴，画出图2的另一半． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求． 【分析】根据轴对称图形的定义进行作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，画对称轴和找轴对称图形的对应点，熟知轴对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． ◆题型6 求对称轴条数 1．[24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中]下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和对称轴的定义，准确找出组合图形的所有对称轴是解题的关键； 找出每个组合图形的对称轴，然后比较即可得出答案． 【详解】 A．该图有两条对称轴， B．该图有一条对称轴， C． 该图有三条对称轴， D． ，该图有两条对称轴， 故选：C． 2．[23-24七年级下·河南平顶山·期末]下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意； B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意； C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意； D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意． 故选：D． 3．[24-25七年级上·上海静安·期末]在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 4．[22-23八年级上·湖北咸宁·期中]如图，五角星是非常美丽的图案，它有_______条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． ◆题型7 镜面对称 1．[24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测]一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 2．[24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测]某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 3．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 4．[24-25七年级下·福建三明·期末]在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 5．[25-26七年级上·上海·课后作业]小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 6．[25-26八年级上·四川广元·期中]李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 7．[25-26八年级上·重庆江津·期中]小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 8．[24-25七年级上·上海徐汇·期末]小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 __________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． ◆题型8 画轴对称图形 1．[24-25七年级上·上海杨浦·期末]在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1)画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的； (2)如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的； (3)画出关于直线l成轴对称的图形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，点O和即为所求； (3) 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了画平移图形，画中心对称图形和画轴对称图形： （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可； （2）由中心对称图形的性质可得O是的中点，据此确定点O的位置，再连接并延长到使得，同理作出 ，再顺次连接； （3）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，描出并顺次连接即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 2．[24-25七年级上·上海静安·期末]如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【答案】(1) 解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求： (2) 解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求： （答案不唯一，言之成理即可） 【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．[25-26七年级上·上海·阶段检测]已知点E是正方形的边的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图； (1)在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G． (2)连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． (3)点是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形绕着点O旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形旋转后得到的三角形． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作； (2) 解：如图，即为所求作； (3) 解：如图，点即为旋转中心，即为所求作； 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，画旋转图形，按照要求正确作出图形是解题的关键． （1）利用平移作图的方法即可作图； （2）利用轴对称作图的方法即可作图； （3）利用旋转作图的方法即可作图． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．[24-25七年级上·上海·期末]已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图、图、图的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 【答案】(1) 即为所求作三角形： 即为所求作三角形： 如图，点即为旋转中心，即为所求作三角形： (2)或 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，画旋转图形，轴对称的性质等知识点．按照要求正确作出图形是解题的关键． （1）分别按照平移（作图）、画轴对称图形、画旋转图形的方法作出相应的图形即可； （2）由轴对称的性质可得，进而求得、、和的关系，分两种情况讨论，由列方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：①略 ②略 ③略 （2）解：如图，情况一，当在的延长线上时， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况二，当在上时， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：或． 考点二 中心对称 ◆题型1 中心对称图形的识别 1．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]下列图形中是中心对称图形，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选：C． 2．[25-26七年级上·上海宝山·期末]生活中有许多安全标志，这些标志不仅能让我们快速地获取信息，还能提醒我们注意安全．下列标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，理解两个概念是解题的关键；根据这两个概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：D． 3．[25-26七年级上·上海杨浦·期末]以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：①圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴，也是中心对称图形，圆心是对称中心； ②长方形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点的连线），也是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但不是中心对称图形； ④平行四边形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ⑤线段是轴对称图形，其垂直平分线是对称轴，也是中心对称图形，中点为对称中心； ⑥角是轴对称图形，角平分线是对称轴，但不是中心对称图形． 故答案为：①②⑤． 4．[25-26七年级上·上海金山·期末]在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是①④． 故答案为：①④． ◆题型2 成中心对称 1．[24-25七年级上·上海·期末]已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】本题考查图形的变换，理解成中心对称图形、成轴对称图形、平移图形的定义是解答的关键．根据相关定义逐项判断，最好的方法是举反例或画图判断． 【详解】解：设图形甲与图形乙是半径相等的圆，如图， ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们有可能成轴对称，原说法不正确； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； 故选：D． 2．[23-24九年级上·广东汕头·期中]如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 3．[25-26七年级下·江苏南京·期中]如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 【答案】A 【分析】本题以正六边形为载体，结合其被对角线分割为个全等的等边三角形的性质，利用平移、旋转、轴对称、中心对称的定义，逐一分析各选项中四边形的变换是否成立，判断错误的变换． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个全等的等边三角形， 各边长相等，各中心角为． 对于选项A： 四边形关于点中心对称，对应点为，，，得到的图形为四边形，而非四边形，故A项说法错误． 对于选项B： 将四边形沿射线方向平移线段的长度， 点，点，点，点，可得到四边形，故B项说法正确． 对于选项C： 将四边形绕点逆时针旋转， 点，点，点，可得到四边形，故C项说法变换正确． 对于选项D： 作过点且垂直于的直线为对称轴，四边形关于该直线轴对称，点，点，点，可得到四边形，故D项说法正确． 4．[24-25七年级上·上海静安·期末]如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 【答案】(1) 三角形关于点成中心对称的图形； (2) 三角形； (3)正确， 因为三角形绕点顺时针旋转得到三角形，再将三角形绕点逆时针旋转，所以三角形相对于初始位置顺时针旋转了， 而三角形直接绕点顺时针旋转后，其位置与经过两次旋转得到的三角形位置相同（根据旋转的性质，旋转角度相同，旋转中心相同，图形的最终位置相同）， 所以小明的观点正确，即三角形经过一次运动（绕点顺时针旋转）就能和三角形重合． 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，图形旋转的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的基本概念与操作方法，能够准确找出对应点的位置来绘制图形，并依据旋转的角度关系判断图形是否重合． （1）根据中心对称的性质，连接三角形各顶点与对称中心并延长相同长度，确定对应点，，的位置，从而画出三角形． （2）依据图形旋转的性质，以点为旋转中心，将三角形的各顶点绕点逆时针旋转，找到对应点，进而画出三角形． （3）分析两次旋转的角度关系，由于顺时针旋转后再逆时针旋转，且，相当于整体顺时针旋转了，判断这个角度下三角形能否与三角形重合． 【详解】（1）连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 依次连接，得到三角形，此三角形关于点成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将点绕点逆时针旋转，得到点， 同样方法，将点绕点逆时针旋转得到点， 将点绕点逆时针旋转得到点， 依次连接，画出三角形； （3）略 ◆题型3 画已知图形关于某点对称的图形 1．[25-26七年级上·上海·阶段检测]按要求作图：画出以点为对称中心的中心对称图形． 【答案】 如图，即为所求． 【分析】本题考查画中心对称图形，作出各顶点关于点O的对称点，再顺次连接即可． 【详解】略 2．[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]（1）画出关于直线成轴对称的图形； （2）画出四边形关于点O成中心对称的图形． 【答案】 （1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，四边形即为所求． 【分析】本题考查了画轴对称图形，画中心对称的图形． （1）根据轴对称作图方法作图即可； （2）根据中心对称图形的作图方法作图即可； 【详解】略 3．[25-26七年级上·上海虹口·期末]已知的顶点在格点上，按要求在方格纸中画图． (1)画出向右平移格后的图形． (2)画出关于直线成轴对称的图形． (3)画出关于点成中心对称的图形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)如图所示，即为所求． 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据轴对称的性质画图即可； （）根据中心对称图形的性质画图即可； 本题考查了平移作图，作轴对称图形，作中心对称图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．[25-26七年级上·上海普陀·期末]小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 【答案】(1) 解：如图，四边形即为所求； (2)正方形，，， (3) 解：如图，已知是直角三角形，，，，，分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． 则四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四边形的面积减去四个三角形，为，于是，我们得到﹒ 【分析】本题为开放性问题，考查了通过数形结合思想﹒理解利用图形证明平方差公式，完全平方公式的过程是解题关键﹒ （1）根据题意进行作图即可求解； （2）根据题意分别计算图形面积，再进行整理即可求解； （3）类比（1）（2）进行拼图，计算面积即可求解﹒ 【详解】（1）略 （2）解：四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为，于是，我们得到﹒ 故答案为：正方形，，，； （3）略 ◆题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．[25-26七年级上·上海·期末]如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 2．[25-26七年级上·上海·期中]如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和___． 【答案】60 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：60． 3．[23-24八年级下·山东枣庄·期中]【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心； （2）直线即为所求： （3）经过两个中心对称图形的对称中心； （4）直线即为所求： ． 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）略 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）略 综合攻坚·知能拔高 一、解答题 1．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]画图题（保留必要画图痕迹，不需要写画法）：如图，已知直线和． (1)画出关于直线成轴对称的 (2)在直线上找一点，并画出关于点成中心对称图形，让所得三角形至少有一顶点与的三个顶点之一重合．（只需画出一种情况即可） 【答案】(1) 如图1，即为所求作的图形， (2) 取与的交点为O，如图2，即为所求作的图形． 取与的交点为O，如图3，即为所求作的图形． 取与的交点为O，如图4，即为所求作的图形． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、画中心对称图形、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先确定点关于关于直线的对称点，然后连线即可； （2）取与的交点为O，分别作出点关于点O的对称点，然后连线即可；或取与的交点为O，分别作出点关于点O的对称点，然后连线即可；或取与的交点为O，分别作出点关于点O的对称点，然后连线即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．[24-25七年级上·上海闵行·阶段检测]已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； 【分析】本题考查了中心对称作图及轴对称作图 （1）根据轴对称的性质找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称的性质找到各点的对称点，顺次连接可得． 【详解】（1）略 （2）略 3．[25-26七年级上·上海虹口·期末]【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短； （2）11； （3）①如图，最短， ②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 4．[25-26七年级上·上海松江·期末]图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【答案】 （1）如图1，三角形即为所求． （2）①三角形的面积是；②线段的长是6；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）①联结，根据旋转的性质，得出，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，，，即可求出线段的长； （3）根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）①联结，如图2所示， ∵将三角形绕点旋转到三角形， ∴，，， ∵正方形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ． 又∵， ∴． 解得． 答：三角形的面积是． ②如图2，由①可知： ， ， ． 根据题意，得；，， ∴，． ∵， 又∵， ∴． 答：线段的长是6． （3）如图3所示： 5．[25-26七年级上·上海·期末]定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)25 (2)①；②或 【分析】本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“差余角”的定义是解题的关键． （）根据“差余角”的定义即可求解； （）根据“差余角”的定义即可求解；存在．分三种情况根据“差余角”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“差余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； ②存在． 由折叠可得，，， 设，则， 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，，无解 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“差余角”；当时，为和的“差余角”． 6．[25-26七年级上·上海·阶段检测]已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 轴对称与中心对称 常考题型·精准突破 考点一 轴对称 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解　重点 题型3 台球桌面上的轴对称问题 题型4 折叠问题　重难点 题型5 画对称轴 题型6 求对称轴条数 题型7 镜面对称　难点 题型8 画轴对称图形 考点二 中心对称 题型1 中心对称图形的识别 题型2 成中心对称　重点 题型3 画已知图形关于某点对称的图形 题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度　难点 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 轴对称 ◆题型1 轴对称图形的识别 1．[25-26七年级上·上海虹口·期末]近年来，国产人工智能模型发展迅速，以下四款人工智能模型的图标中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．[25-26七年级上·上海闵行·期末]下列说法正确的是（    ） A．平移和旋转都不改变图形的形状，但平移改变了图形的位置，旋转没有改变图形的位置． B．圆是轴对称图形，对称轴是其直径，也是中心对称图形，对称中心是圆心． C．成轴对称的两个图形形状相同，大小相等，经平移后必能重合． D．成中心对称的两个图形中，连接每组对称点的线段都能被对称中心平分． 3．[25-26七年级上·上海·寒假作业]下列图形中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解 1．[24-25七年级上·上海黄浦·期末]如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．[25-26七年级上·上海·阶段检测]如果点与点关于直线对称，而且点到的距离是，那么线段的长是______． 3．[25-26七年级上·上海·期中]平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 4．[24-25七年级上·上海宝山·期末]已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． ◆题型3 台球桌面上的轴对称问题 1．[2026·河南·二模]如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 2．[24-25七年级下·全国·随堂练习]如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．[23-24八年级上·山东德州·期中]如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 4．[23-24八年级上·山东聊城·期中]数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    ◆题型4 折叠问题 1．[25-26七年级上·上海金山·期末]如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在位置，点D落在的位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．[25-26七年级上·上海·期末]如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（   ） A．16cm B．15cm C．13cm D．10cm 3．[25-26七年级上·上海·期末]如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么______度． 4．[25-26七年级上·上海·阶段检测]如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则的值为_______． 5．[25-26八年级上·新疆伊犁·期中]如图，把长方形沿折叠后，点D、C分别落在，的位置，若，则的度数为_____． ◆题型5 画对称轴 1．[24-25七年级上·上海·阶段检测]已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 2．[25-26七年级上·上海·课后作业]试找出下列两图形的对称轴． 3．[22-23七年级下·陕西咸阳·期末]如图，图1是一个轴对称图形，图2是一个轴对称图形的一半．    (1)画出图1的对称轴，并标出点A的对应点． (2)请以虚线为对称轴，画出图2的另一半． ◆题型6 求对称轴条数 1．[24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中]下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 2．[23-24七年级下·河南平顶山·期末]下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 3．[24-25七年级上·上海静安·期末]在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 4．[22-23八年级上·湖北咸宁·期中]如图，五角星是非常美丽的图案，它有_______条对称轴．    ◆题型7 镜面对称 1．[24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测]一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 2．[24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测]某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 3．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 4．[24-25七年级下·福建三明·期末]在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 5．[25-26七年级上·上海·课后作业]小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 6．[25-26八年级上·四川广元·期中]李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 7．[25-26八年级上·重庆江津·期中]小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 8．[24-25七年级上·上海徐汇·期末]小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 __________． ◆题型8 画轴对称图形 1．[24-25七年级上·上海杨浦·期末]在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1)画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的； (2)如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的； (3)画出关于直线l成轴对称的图形． 2．[24-25七年级上·上海静安·期末]如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 3．[25-26七年级上·上海·阶段检测]已知点E是正方形的边的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图； (1)在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G． (2)连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． (3)点是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形绕着点O旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形旋转后得到的三角形． 4．[24-25七年级上·上海·期末]已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图、图、图的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 考点二 中心对称 ◆题型1 中心对称图形的识别 1．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]下列图形中是中心对称图形，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．[25-26七年级上·上海宝山·期末]生活中有许多安全标志，这些标志不仅能让我们快速地获取信息，还能提醒我们注意安全．下列标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．[25-26七年级上·上海杨浦·期末]以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 4．[25-26七年级上·上海金山·期末]在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） ◆题型2 成中心对称 1．[24-25七年级上·上海·期末]已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 2．[23-24九年级上·广东汕头·期中]如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．[25-26七年级下·江苏南京·期中]如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 4．[24-25七年级上·上海静安·期末]如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． ◆题型3 画已知图形关于某点对称的图形 1．[25-26七年级上·上海·阶段检测]按要求作图：画出以点为对称中心的中心对称图形． 2．[25-26七年级上·上海普陀·阶段检测]（1）画出关于直线成轴对称的图形； （2）画出四边形关于点O成中心对称的图形． 3．[25-26七年级上·上海虹口·期末]已知的顶点在格点上，按要求在方格纸中画图． (1)画出向右平移格后的图形． (2)画出关于直线成轴对称的图形． (3)画出关于点成中心对称的图形． 4．[25-26七年级上·上海普陀·期末]小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． ◆题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．[25-26七年级上·上海·期末]如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 2．[25-26七年级上·上海·期中]如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和___． 3．[23-24八年级下·山东枣庄·期中]【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 综合攻坚·知能拔高 一、解答题 1．[25-26七年级上·上海浦东新·期末]画图题（保留必要画图痕迹，不需要写画法）：如图，已知直线和． (1)画出关于直线成轴对称的 (2)在直线上找一点，并画出关于点成中心对称图形，让所得三角形至少有一顶点与的三个顶点之一重合．（只需画出一种情况即可） 2．[24-25七年级上·上海闵行·阶段检测]已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 3．[25-26七年级上·上海虹口·期末]【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 4．[25-26七年级上·上海松江·期末]图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 5．[25-26七年级上·上海·期末]定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 6．[25-26七年级上·上海·阶段检测]已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $