专题04 中心对称图形重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题04 中心对称图形重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 中心对称 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 题型三 画两个图形的对称中心 题型四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型五 中心对称图形 题型六 判断中心对称图形的对称中心 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型八 中心对称图形的规律问题 题型九 求关于原点对称的点的坐标 题型十 已知两点关于原点对称求参数 题型十一 中心对称图形的画法 题型十二 中心对称综合应用 知识点1 ：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 1. 作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点2 ：点坐标对称 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【经典例题一 中心对称】 【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24七年级上·青海海东·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等的两个图形成中心对称 B．旋转后能够重合的两个图形成中心对称 C．成中心对称的两个图形旋转后必重合 D．旋转后的图形对应线段平行 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）举出两个在现实生活中体现中心对称图形的例子． 【经典例题二 画已知图形关于某点对称的图形】 【例2】（2024·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ． 3．（24-25七年级上·天津北辰·期中）如图，正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是），的顶点均在格点上，请在所给的直 角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于原点成中心对称的 (2)写出各顶点的坐标． 【经典例题三 画两个图形的对称中心】 【例3】（2024·北京大兴·一模）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点O的中心对称图形，并直接写出点的坐标． (2)将绕点D顺时针旋转得到，画出． (3)与关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标：______． 【经典例题四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例4】（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【经典例题五 中心对称图形】 【例5】（2024·辽宁抚顺·一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广西钦州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有 （填序号）； （2）中心对称图形有 （填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【经典例题六 判断中心对称图形的对称中心】 【例6】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知与成中心对称，则对称中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点T 2．（2024·江西萍乡·模拟预测）在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是 ． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移个单位后得到对应的，请画出； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出； (3)观察图形：判断与是否成中心对称? 如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由． 【经典例题七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例7】（2024·河北邢台·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（2024·河北保定·模拟预测）围棋起源于我国，古时称“弈”，传为帝尧所作，春秋战国时期即有记载．当白棋落在图中哪个位置时，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）为中心对称图形（        ）      A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    3．（23-24七年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【经典例题八 中心对称图形的规律问题】 【例8】（23-24七年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【经典例题九 求关于原点对称的点的坐标】 【例9】（23-24七年级上·山东聊城·期末）已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（    ） A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为 ． 3．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出关于原点对称的图形，并写出的坐标． (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． (3)求的面积． 【经典例题十 已知两点关于原点对称求参数】 【例10】（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·重庆·期中）下列说法中错误的是（    ） A．位于第三象限 B．若，则点在第二、四象限角平分线上 C．点和点关于原点对称，则的值为1 D．点到x轴的距离为3，则 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是 ． 3．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 【经典例题十一 中心对称图形的画法】 【例11】（2024秋·全国·九年级专题练习）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作与关于原点中心对称的，再把向上平移个单位长度得到．      (1)作出和； (2)与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．    1．（2024春·河北保定·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 2．（2024秋·辽宁铁岭·九年级期中）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： (1)将△ABC绕原点O旋转得到，在表格中画出； (2)直接写出的坐标为___； (3)若顶点为C的抛物线经过点，求该抛物线的解析式． 3．（2024秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）． (1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标； (2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标； (3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标． 【经典例题十二 中心对称综合应用】 【例12】（2024秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q．    (1)求点B的坐标及线段的长； (2)当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标； (3)当时，求m的取值范围．    1．（2024秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024秋·全国·九年级专题练习）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是 ． 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（    ）    A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处 5．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点关于点对称的点的坐标是 ． 7．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 8．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 10．（23-24七年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 11．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知点P（2x，y2＋4）与Q（x2＋1，﹣4y）关于原点对称，求x＋y的值． 12．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 13．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知的顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)画出关于原点O对称的，并写出点，，的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 15．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中，画出向右平移7个单位得到的； (2)在图中，画出以点为对称中心，与成中心对称图形，并写出点，，的坐标； (3)在轴上存在点，使得最短，直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 中心对称图形重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 中心对称 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 题型三 画两个图形的对称中心 题型四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型五 中心对称图形 题型六 判断中心对称图形的对称中心 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型八 中心对称图形的规律问题 题型九 求关于原点对称的点的坐标 题型十 已知两点关于原点对称求参数 题型十一 中心对称图形的画法 题型十二 中心对称综合应用 知识点1 ：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 1. 作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点2 ：点坐标对称 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【经典例题一 中心对称】 【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用轴对称图形的概念即可即可解答． 【详解】解：A、团不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、结不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、互是中心对称图形，故此选项不合题意； D、助不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称． 1．（23-24七年级上·青海海东·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等的两个图形成中心对称 B．旋转后能够重合的两个图形成中心对称 C．成中心对称的两个图形旋转后必重合 D．旋转后的图形对应线段平行 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质以及旋转的性质逐项分析即可 【详解】A. 全等的两个图形不一定成中心对称，故该选项不正确，不符合题意； B. 旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，故该选项不正确，不符合题意； C. 成中心对称的两个图形旋转后必重合，故该选项正确，符合题意； D. 旋转180°后的图形对应线段平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了旋转与中心对称的概念和性质，掌握中心对称的定义是解题的关键．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 【答案】 【分析】本题考查成中心对称，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．由于菱形与菱形关于直线上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 【详解】解：由题意和图可知：点为对称中心，点B的对称点是H． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）举出两个在现实生活中体现中心对称图形的例子． 【答案】见解析 【分析】根据中心对称图形的定义和学过的常见图形的对称性解答． 【详解】解：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形，所以，两个在现实生活中体现中心对称图形的例子为平行四边形、矩形（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【经典例题二 画已知图形关于某点对称的图形】 【例2】（2024·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ． 【答案】（0，0） 【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， 发现3次一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律． 3．（24-25七年级上·天津北辰·期中）如图，正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是），的顶点均在格点上，请在所给的直 角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于原点成中心对称的 (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题考查作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据中心对称的性质作出、、的对应点、、，再依次连接即可； （2）根据（1）中的图形求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由（1）中的图形可知，各顶点的坐标为：、、． 【经典例题三 画两个图形的对称中心】 【例3】（2024·北京大兴·一模）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选C 【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标． 【详解】解：连接， ∵和关于点E成中心对称 ， ∴交于点E， ∴点． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，解决本题的关键是熟练掌握图形旋转对称的性质． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点O的中心对称图形，并直接写出点的坐标． (2)将绕点D顺时针旋转得到，画出． (3)与关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标：______． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 (3)画图见解析， 【分析】本题主要考查了作图旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据中心对称的性质连接，交于点P，即为对称中心． 【详解】（1）如图，即为所求； ∴； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求， ∴． 【经典例题四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例4】（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 【经典例题五 中心对称图形】 【例5】（2024·辽宁抚顺·一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级上·广西钦州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【分析】.解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有 （填序号）； （2）中心对称图形有 （填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形； ②是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形． 所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧； （2）中心对称图形有①③⑥⑦； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦． 故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 【经典例题六 判断中心对称图形的对称中心】 【例6】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知与成中心对称，则对称中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点T 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 由图可知与的交点与点Q重合， ∴对称中心为点Q． 故选：C． 2．（2024·江西萍乡·模拟预测）在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况，①当四边形是中心对称图形，②当四边形是中心对称图形时，③当四边形是中心对称图形时，利用中心对称的性质分别求解即可． 【详解】解：设点，分三种情况，如图， ①当四边形是中心对称图形，则点B、点C对称，点A、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点A、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴； ②当四边形是中心对称图形时， 则点A、点C对称，点B、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点B、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴； ③当四边形是中心对称图形时， 则点A、点B对称，点C、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点C、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴， 综上，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是或或． 【点睛】本题考查中心对称图形，关于某点是心对称点的坐标，掌握中心对称点的坐标规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移个单位后得到对应的，请画出； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出； (3)观察图形：判断与是否成中心对称? 如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)与是是成中心对称，对称中心为． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转，中心对称的性质是解题的关键． （）根据图形的平移规律作图即可； （）根据图形旋转的性质作图即可； （）根据中心对称图形的定义和性质即可求解． 【详解】（1）如图，把向左平移个单位得到，然后描点， ∴即为所求； （2）如图，根据图形旋转的性质作图， ∴即为所求； （3）如图， 由图可知：与是成中心对称，对称中心为． 【经典例题七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例7】（2024·河北邢台·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 1．（2024·河北保定·模拟预测）围棋起源于我国，古时称“弈”，传为帝尧所作，春秋战国时期即有记载．当白棋落在图中哪个位置时，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）为中心对称图形（        ）      A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】由图可知，当白棋落在①或④位置时，由棋子摆成的图案是轴对称图形；当白棋落在②位置时，由棋子摆成的图案是中心对称图形；当白棋落在③位置时，由棋子摆成的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图所示（画出两种即可）： （2）如图所示（画出一种即可）： 【经典例题八 中心对称图形的规律问题】 【例8】（23-24七年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 【答案】 7 【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：    点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 【经典例题九 求关于原点对称的点的坐标】 【例9】（23-24七年级上·山东聊城·期末）已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（    ） A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 【答案】D 【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得． 【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意； C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2024次属于循环中的第1次，最后即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可 第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示： 由的坐标为可知：，， 在中，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如下图所示： 此时A点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为． 当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为． 当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与A点重合． 故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于，故第2024次旋转时，A点的对应点为． 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键． 2（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形．熟练掌握 旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于，则，，，进而可求、的横坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为1，的横坐标为， 故答案为：1或． 3．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出关于原点对称的图形，并写出的坐标． (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查网格中作图及求三角形面积，涉及图形与坐标、关于原点对称、绕点旋转等知识，熟练掌握对称及旋转性质是解决问题的关键． （1）根据关于原点对称，作出三个顶点关于原点对称的点，连线即可得到答案，然后数形结合即可得到的坐标； （2）根据旋转性质，作出三个顶点关于原点逆时针旋转，连线即可得到答案； （3）在网格中，利用正方形面积即直角三角形面积间接表示出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，且由图可知； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：如图所示： ． 【经典例题十 已知两点关于原点对称求参数】 【例10】（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案． 【详解】解：由于点与点关于坐标原点对称， 根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数， 得到， 故选B． 【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 1．（23-24七年级上·重庆·期中）下列说法中错误的是（    ） A．位于第三象限 B．若，则点在第二、四象限角平分线上 C．点和点关于原点对称，则的值为1 D．点到x轴的距离为3，则 【答案】A 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，各象限角平分线上点的坐标特征，关于原点对称点的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：、当时，位于轴上，原说法错误，故此选项符合题意； 、若，则点在第二、四象限角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； 、当点和点关于原点对称时，，，，说法正确，故此选项不符合题意； 、点到x轴的距离为3，则，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特征等知识点，解题关键是理解并掌握相应概念并能灵活运用． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点（关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数），掌握各象限内点的坐标特征即可解题． 【详解】解：与点关于原点对称的点在第三象限内， 点在第一象限， ， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】（1）根据各个点在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据（1）得出的结论可知点P和点Q的横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可． 本题主要考查了在平面直角坐标系中点的变化规律、二元一次方程组的应用等知识，熟练的掌握平面直角坐标中点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1），；，． （2）由（1）可知对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数． 根据题意得：， 解得 【经典例题十一 中心对称图形的画法】 【例11】（2024秋·全国·九年级专题练习）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作与关于原点中心对称的，再把向上平移个单位长度得到．      (1)作出和； (2)与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中心对称与平移的性质，画出和； （2）连接则的中点即为所求． 【详解】（1）如图所示．如图所示．    （2）连接则的中点即为所求， ∵， ∴， ∴对称中心为；    【点睛】本题考查了平移的性质，中心对称的性质，坐标与图形，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解题的关键． 1．（2024春·河北保定·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（－3，1） 【分析】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可； （3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：（－3，1）． 【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 2．（2024秋·辽宁铁岭·九年级期中）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： (1)将△ABC绕原点O旋转得到，在表格中画出； (2)直接写出的坐标为___； (3)若顶点为C的抛物线经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2)（4，1） (3) 【分析】（1）先分别画出A、B、C三点关于原点O的对称点A1、B1、C1，再将三点依次连接即可； （2）由（1）中可知，点A1的坐标为（4，1）； （3）根据抛物线顶点为C，可知其对称轴为y轴，所以b=0，得到，再将点C、点A1的坐标代入解析式中求出a和c即可． 【详解】（1）点A的坐标为（-4，-1），则点A关于原点的对称点A1的坐标为（4，1），点B的坐标为（-2，-4），则点B关于原点的对称点B1的坐标为（2，4）， 点C的坐标为（0，-2），则点C关于原点的对称点C1的坐标为（0，2），连接A1、B1、C1，即得下图： （2）由（1）中可知，点A1的坐标为（4，1）； （3）若顶点为C的抛物线经过点， 则抛物线的对称轴为y轴， ∴， ∴b=0， ∴ 将点C（0，-2）、点A1（4，1）的坐标代入解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了中心对称和二次函数，熟练掌握中心对称图形的画法和二次函数代定系数法求解析式是解题的关键． 3．（2024秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）． (1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标； (2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标； (3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，A1点的坐标为（4，﹣5） (2)图见解析，A2点的坐标为（﹣2，1） (3)P(-2，-5) 【分析】(1)关于原点对称，横坐标与纵坐标均互为相反数，分别求出A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后再连接成三角形即可； (2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； (3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心即可求解． 【详解】（1）解：A(-4，5)关于原点O对称的点A1坐标为(4，5)， B(-5，2)关于原点O对称的点B1坐标为(5，-2)， C(-3，4)关于原点O对称的点C1坐标为(3，-4)， △A1B1C1图形如下所示： （2）解：如下图，△A2B2C2即为所求，A2点的坐标为(-2，1)； （3）解：如下图所示：连接C1C2，过其中点E作PE⊥C1C2，则PE为C1C2垂直平分线， 连接A1A2，过其中点F作PF⊥A1A2，则PF为A1A2垂直平分线， 由旋转的性质可知：旋转前后对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心， ∴PE与PF的交点P即为旋转中心，P(-2,-5)． 【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称的性质，理解对应点连线段的垂直平分线的交点为旋转中心． 【经典例题十二 中心对称综合应用】 【例12】（2024秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q．    (1)求点B的坐标及线段的长； (2)当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标； (3)当时，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得，解析式联立，解方程组即可求得B点的坐标； （2）根据题意得出，即可得到，解得m的值，即可求得P的坐标； （3）根据，借助图象即可得到当时，则，解得；当时，则，解得． 【详解】（1）在直线中，令，则， ∴， 在直线中，令，则， ∴， ∴， 解得，， ∴； （2）设，则， ∵线段与关于点B成中心对称　 ∴， ∴， 解得， ∴； （3）设，则， 由题意可知，， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， 综上，m的取值范围是或．    【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，中心对称的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的关键． 1．（2024秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题． 【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点， 四边形ABCD是矩形， 同理可得 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键． 2．（2024秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B， ∴ ∵a＞0 解得 ∴点A（-3，0），点B（1，0）， ∵点B为中心对称， ∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5， ∴点C（5，0）， ∴抛物线， ∴D（－1，－4a）， 点D与点D′关于点B对称， 点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a， ∴D′（3，4a）， DD′=，CD=， CD′=， ∵△CDD′是直角三角形， 当∠CD′D=90°， 根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即 ， 解得， ∵a＞0， ∴； 当∠DCD′=90°， 根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即 ， 解得， ∴， ∴综合得a的值为或． 故答案选：A． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键． 3．（2024秋·全国·九年级专题练习）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是 ． 【答案】12 【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果． 【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称， ∴BO＝DO＝6，AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°， ∴∠DAO＝30°， ∴AO＝2DO＝12， ∵AP＝OQ， ∴PQ＝AO＝12， 如图，作，使得DK＝PQ＝12，连接BK， ∴四边形DPQK为平行四边形， ∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°， 此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小， ∵DK=PQ=BD=12， ∴△BDK是等边三角形， ∴BK=DB=12， ∴DP+BQ的最小值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案． 【详解】解：由于点与点关于坐标原点对称， 根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数， 得到， 故选B． 【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，，， ①②③正确，④错误， 故选：A 4．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（    ）    A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、B、C均无法找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合， D能找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合，此时红点即对称点：    故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对应点． 5．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点关于点对称的点的坐标是 ． 【答案】（-4，-1） 【分析】设点P关于点Q的对称点的坐标为（a，b）根据中点坐标公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设点P（2，3）关于点Q（-1，1）的对称点的坐标为（a，b）， 则，， 解得：a=-4，b=-1， ∴点P（2，3）关于点Q（-1，1）的对称点的坐标为（-4，-1）， 故答案为：（-4，-1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 7．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 8．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据中心对称的性质即可写出点坐标；熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：由图形知与中心对称， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 10．（23-24七年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知点P（2x，y2＋4）与Q（x2＋1，﹣4y）关于原点对称，求x＋y的值． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，列出方程即可求得x、y值，据此即可解答． 【详解】解：∵点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称， ∴x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0， ∴（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0， 解得：x＝﹣1，y＝2， ∴x+y＝-1+2＝1． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，代数式求值问题，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 12．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 13．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知的顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)画出关于原点O对称的，并写出点，，的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点的坐标特征： （1）根据关于原点O对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵与关于原点O对称，，，， ∴，，； （2）解：关于y轴对称的如图所示． 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 【答案】(1)作图见解析，这两个图形成中心对称，对称中心是点D (2)A、B、C、D关于中心的对称点为和D 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，判定一个图形是否为中心对称图形，找出其对称中心是关键，先延长，使得；同理作：；连接，则四边形为所求的四边形． （1）根据对称中心对称的定义解答即可； （2）根据对称中心对称的定义解答即可． 【详解】（1）解：作法：①延长，并且使得；②同理可得：；③连接，则四边形为所求的四边形，如图所示． 根据作图，可得：这两个图形成中心对称，对称中心是点D； （2）解：A、B、C、D关于中心的对称点为和D． 15．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中，画出向右平移7个单位得到的； (2)在图中，画出以点为对称中心，与成中心对称图形，并写出点，，的坐标； (3)在轴上存在点，使得最短，直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了平移作图、中心对称作图、最短路径问题等知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先将三点向右平移7个单位得到，然后顺次连接即可； （2）先根据中心对称作出的对应点，然后顺次连接即可完成作图，再读出，，即可； （3）如图：作关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为P点，然后根据图像确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求； ． （3）解：如图：作关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为P点，由图像可得．    学科网（北京）股份有限公司 $$