第5章 二元一次方程组 学情监测（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

八年级数学北师版（上册）学情监测（五） 一、选择题 1. 若方程ax+3y=2+4x是关于的二元一次方程，则a满足（ ） A. a≠1 B. a≠2 C. a≠3 D. a≠4 2. 以下解方程组的步骤正确的是（ ） A. 代入法消去b，由①得 B. 代入法消去a，由②得 C. 加减法消去b，①+②得 D. 加减法消去a，①-②得 3. 方程与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为，那么这个方程可以是（    ） A. B. C. D. 4. 经过两点的一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 若以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 9. 对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如果单项式与是同类项，那么的值为______． 12. 方程组经“消元”后可得到一个关于x、y的二元一次方程组为_______． 13. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解为__________． 14. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______． 15. 如表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则的值是__________． 4 2 7 三、解答题 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得，． 乙同学：由①，得③， 将③代入②，得，． （1）甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方． （2）请你写出正确的解答过程． 18. 已知关于x，y的方程组． （1）方程中，用含y的式子表示x； （2）若方程组的解满足③，求m的值． 19. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱？ 20. 与经典同行，与好书相伴，近期，我校开展了“图书漂流活动”初一年级小主人委员会的同学自愿整理图书，若两个男生和一个女生共整理160本，一个男生和两个女生共整理170本 （1）男生和女生每人各整理多少本图书？ （2）如果小主人委员会有12男生和8个女生，它们恰好整理完图书，请问这些图书一共有多少本？ 21. 规定：若是以，为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于，的二元一次方程的相关问题． （1）已知，，，请问哪些点是方程的“理想点”？并说明理由； （2）已知，为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根． 22. 某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y(米)与甲出发的时间x(分)之间的函数图象如图所示： (1)甲步行的速度为_____米/分，乙步行时的速度为_____米/分； (2)求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式； (3)问甲出发多长时间与乙在途中相遇，请直接写出结果． 23. 学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； （2）甲、乙两队各有多少位学生？ （3）现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学北师版（上册）学情监测（五） 一、选择题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】移项整理给出的方程，根据二元一次方程的定义确定a的范围． 【详解】解：移项，得ax−4x＋3y−2＝0， 整理，得（a−4）x＋3y−2＝0． ∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴a−4≠0． ∴a≠4． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解决本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案． 【详解】解：代入法消去b，由①得，故A不符合题意； 代入法消去a，由②得，故B符合题意； 加减法消去b，①+②得，故C不符合题意； 加减法消去a，①②得，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组的解的定义及二元一次方程组的定义求解． 【详解】解：把方程组的解代入A，左边=6−16=−10≠16，故不是A的解； B是分式方程，不是二元一次方程，故排除B； 把方程组的解代入C，左边=+4≠0，故不是C的解； 把方程组的解代入D，左边=2（2+4）=12，右边=12，故是D的解； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代入验证是解题的关键． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求解即可 【详解】设一次函数的解析式为, 在直线上， ， 解得：， 一次函数的解析式为 故选择：C 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马， 由共有100匹马，可得 共有100片瓦，则， 所以可得得二元一次方程组． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】联立两个方程组成二元一次方程组，求出的值，根据坐标符号判断所在象限，再逐个判断选项． 【详解】解：联立得方程组， 由得， 将代入， 得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 将代入， 得， ∴原方程组的解为， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点在第一象限． 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．设小长方形的宽为，长为，再根据题意列方程组求得、，最后求面积即可． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 根据题意得， ， 解得， 一个小长方形的面积为． 故选：A． 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】把方程组的解代入原方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再代入式子计算结果． 【详解】解：把代入， 得， 将第二个方程乘，与第一个方程相加，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为 ∴． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．把②代入①，得：，整理后即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①，得：， 即， 故选：C． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项定义和解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键． 根据同类项的定义得出方程组，再求出方程组的解，最后求出代数式的值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ①×2+②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为： 所以， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得， 由②④组成方程组得． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先代入直线解析式求出交点的纵坐标即可得到结果． 【详解】解： ∵点在直线上， ∴将代入，得， ∴交点的坐标为， ∵二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标， ∴方程组的解为． 【14题答案】 【答案】42岁，23岁 【解析】 【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 答：甲现在42岁，乙现在23岁． 故答案为：42岁，23岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【15题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】根据每行每列对角线和相等列出方程，先求出和的值，再计算． 【详解】解：根据题意，每行每列及对角线的和相等， 第一行的和为 ， 左上到右下对角线的和为 ，二者相等， ∵ ， ∴ ， 即 ①； 第三列的和为 ，和第一行的和相等， ∵ ， 把①代入上式得： ， 解得 ， 因此 ， ∴ ． 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先去分母，再用代入消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：原方程组可化简为 由②可得，， 将③代入①中，得 解得， 将代入③中，得 ∴原方程组的解为． 【小问2详解】 解： ，得， ，得， 得，， ∴， 将⑤代入③中得，， 解得， 将代入⑤中，得， ∴原方程组的解为． 【17题答案】 【答案】（1）甲同学的解题过程有错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错，其使用的是加减消元法；乙同学的解题过程也有错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错 （2）解：，得，解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 【解析】 【分析】（1）分别检查甲乙同学的消元步骤，找出去括号时的符号错误； （2）用加减消元法正确消元，求出方程组的解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【18题答案】 【答案】（1）， （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质将变形，即可得出用含的式子表示； （2）根据条件可求出，，代入方程即可得出的值． 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 根据题意得， ，， 代入得， ， 解得：， 答：的值为． 【点睛】考查二元一次方程（组的解法和应用，代入法是常用的方法． 【19题答案】 【答案】甲原来有36文钱，乙原来有24文钱. 【解析】 【分析】根据甲得到乙所有钱的一半，甲共有钱48文；乙得到甲所有钱的，乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而解答本题． 【详解】设甲原来有x文钱，乙原来有y文钱， 根据题意，得解得 答：甲原来有36文钱，乙原来有24文钱. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 【20题答案】 【答案】（1）男生每人整理50本图书，女生每人整理60本图书；（2）1080本． 【解析】 【分析】（1）设男生每人整理x本图书，女生每人整理y本图书，根据“两个男生和一个女生共整理160本．一个男生和两个女生共整理170本”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据图书总数=每人整理的本数×人数，即可求出结论． 【详解】（1）设男生每人整理x本图书，女生每人整理y本图书， 依题意，得： ， 解得： ． 答：男生每人整理50本图书，女生每人整理60本图书． （2）12×50+8×60=1080（本）． 答：这些图书一共有1080本． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【21题答案】 【答案】（1）点是方程的“理想点”，理由如下： ，时，， ，时，， ，时， ∴点是方程的“理想点”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“理想点”定义进行判断即可； （2）根据题意求出和的值，进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程 ，得， 又， 解得 ，为非负整数， ，， ， ． 【22题答案】 【答案】(1)60，80；(2)y＝300x﹣6000(20≤x≤30)；(3)甲出发25分钟和50分钟与乙两次在途中相遇． 【解析】 【分析】(1)由图象得相应的路程和时间，利用路程除以时间得速度； (2)设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，将(20，0)，(30，3000)代入，求出k和b的值再代回即可； (3)先求出甲的函数解析式，再将其与乙乘观光车时的解析式联立得第一次相遇时间；在甲的解析式中，令y＝3000，求得第二次相遇时间． 【详解】(1)甲步行的速度为：5400÷90＝60(米/分)； 乙步行的速度为：(5400﹣3000)÷(90﹣60)＝80(米/分)． 故答案为60，80； (2)解：根据题意，设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，将(20，0)，(30，3000)代入得： 解得：． ∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣6000(20≤x≤30) (3)设甲的函数解析式为：y＝kx，将(90，5400)代入得k＝60， ∴y＝60x． 由得x＝25，即甲出发25分钟与乙第一次相遇； 在y＝60x中，令y＝3000得：x＝50，此时甲与乙第二次相遇． 甲出发25分钟和50分钟与乙两次在途中相遇． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及行程问题的基本关系．本题难度中等． 【23题答案】 【答案】（1） （2）甲队有40人，乙队有35人 （3）一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； 【小问2详解】 解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； 【小问3详解】 解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $