第五章 二元一次方程组 单元综合 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

【第五章 二元一次方程组】单元综合【培优卷】 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二元一次方程组单元综合检测（培优卷），全章综合，融入含参、同解、错解、整数解、函数与方程综合、方案型应用题等重难点。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．已知直线 y＝kx＋b 与 x 轴交于点 (－3，0)，则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解是（　） A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝0 D．x＝－b 2．三元一次方程 x＋y＋z＝5 的正整数解共有（　）组 A．3 B．4 C．6 D．10 3．甲、乙两组学生参加劳动。若从甲组调 4 人到乙组，则两组人数相等；若从乙组调 3 人到甲组，则甲组人数是乙组的 2 倍。设甲组有 x 人、乙组有 y 人，可列方程组为（　） A． B． C． D． 4．某校 48 名学生外出参观，计划租用大、小两种客车共 7 辆，大车每辆坐 9 人，小车每辆坐 4 人，恰好坐满。则租用大车（　）辆 A．2 B．3 C．4 D．5 5．直线 y＝2x－1 与直线 y＝－x＋5 的交点坐标是（　） A．(2，3) B．(3，2) C．(1，4) D．(－2，－5) 6．已知三元一次方程组 的解为 ，则 a×b×c 的值为（　） A．24 B．30 C．36 D．40 7．二元一次方程 2x＋3y＝18 的所有正整数解中，y 的最大值是（　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．解方程组 时，若设 x＋y＝m、x－y＝n，则原方程组可化为（　） A． B． C． D． 9．若直线 y＝2x＋m 与直线 y＝－x＋3 的交点在第二象限，则 m 的值可以是（　） A．4 B．0 C．－7 D．－10 10．若关于 x、y 的方程组 的解中 x 与 y 互为相反数，则 k 的值为（　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．用加减消元法解方程组 时，①＋② 得            ，①－② 得            。 12．已知二元一次方程 x＋3y＝9，用含 y 的式子表示 x，得 x＝            ；当 y＝2 时，x＝            。 13．某人把 20000 元分成两笔存入银行，甲笔年利率为 3%，乙笔年利率为 4%，一年后共得利息 700 元，则甲笔存款为            元。 14．直线 y＝－2x＋6 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积是            。 15．把直线 y＝2x－1 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后，与直线 y＝－x＋5 的交点坐标是            。 16．二元一次方程 5x＋3y＝40 的所有非负整数解中，x＋y 的最小值是            。 三、解答题（共 46 分） 17．解下列方程组（第（1）题用代入法，第（2）题用加减法）： （1）； （2）。 18．某商场购进甲、乙两种商品共 50 件，甲种每件进价 60 元，乙种每件进价 40 元，共花费 2400 元。 （1）求甲、乙两种商品各购进多少件； （2）若甲种每件售价 90 元、乙种每件售价 60 元，全部售完可获利多少元； （3）若实际销售时甲种按售价的九折、乙种按售价的八折出售，全部售完可获利多少元。 19．如图，直线 l1：y＝2x＋3 与 y 轴交于点 A，直线 l2：y＝－x＋6 与 y 轴交于点 B，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PAB 的面积； （3）直接写出方程组 的解。 20．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）用含 m 的式子表示方程组的解； （2）若方程组的解满足 x＋y＝8，求 m 的值； （3）若方程组的解中 x、y 都是正数，求 m 的取值范围。 21．解方程组 时，甲把 ① 中的 a 抄错了，得到 ；乙把 ② 中的 b 抄错了，得到 。 （1）求 a、b 的值； （2）求出原方程组的正确解。 22．已知关于 x、y 的方程组 的解都是正整数。 （1）用含 m 的式子表示 x； （2）求整数 m 的所有可能值，并写出对应的解。 23．某公司用 4400 元购进甲、乙两种商品共 100 件，甲种每件 40 元，乙种每件 50 元。 （1）求甲、乙两种商品各购进多少件； （2）若甲种每件售价 60 元、乙种每件售价 70 元，全部售完可获利多少元； （3）第二次购进时甲种每件涨价 10 元、乙种每件降价 10 元。若仍购进两种商品共 100 件、总费用仍为 4400 元，求第二次购进甲种多少件。 24．如图，已知直线 l1：y＝kx－1 与直线 l2：y＝－x＋5 交于点 P(2，3)。 （1）求 k 的值； （2）求两条直线与 x 轴围成的三角形的面积； （3）若直线 l3：y＝mx＋1 也经过点 P，求 m 的值及 l3 与 x 轴交点的坐标。 第五章 二元一次方程组 单元综合【培优卷】　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第五章 二元一次方程组】单元综合【培优卷】 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二元一次方程组单元综合检测（培优卷），全章综合，融入含参、同解、错解、整数解、函数与方程综合、方案型应用题等重难点。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．已知直线 y＝kx＋b 与 x 轴交于点 (－3，0)，则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解是（　） A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝0 D．x＝－b 【答案】B 直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的纵坐标为 0，而横坐标正是方程 kx＋b＝0 的解。 所以交点为 (－3，0) 时，方程的解是 x＝－3。故选 B。 2．三元一次方程 x＋y＋z＝5 的正整数解共有（　）组 A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C x、y、z 都是正整数，且和为 5，可按 x 的取值逐个列举： x＝1 时，y＋z＝4，有 (1，3)、(2，2)、(3，1) 共 3 组； x＝2 时，y＋z＝3，有 (1，2)、(2，1) 共 2 组；x＝3 时，y＋z＝2，只有 (1，1) 这 1 组。 3＋2＋1＝6（组）。故选 C。 3．甲、乙两组学生参加劳动。若从甲组调 4 人到乙组，则两组人数相等；若从乙组调 3 人到甲组，则甲组人数是乙组的 2 倍。设甲组有 x 人、乙组有 y 人，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A “从甲组调 4 人到乙组后相等”：甲组少 4 人、乙组多 4 人，得 x－4＝y＋4； “从乙组调 3 人到甲组后甲是乙的 2 倍”：甲组多 3 人、乙组少 3 人，得 x＋3＝2(y－3)。 故选 A。（解得 x＝25，y＝17，检验：25－4＝21＝17＋4；25＋3＝28＝2×(17－3)。） 4．某校 48 名学生外出参观，计划租用大、小两种客车共 7 辆，大车每辆坐 9 人，小车每辆坐 4 人，恰好坐满。则租用大车（　）辆 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 设租大车 x 辆、小车 y 辆，则 x＋y＝7，9x＋4y＝48。 把 y＝7－x 代入：9x＋4(7－x)＝48，即 5x＋28＝48，5x＝20，x＝4。 所以租大车 4 辆、小车 3 辆（4×9＋3×4＝36＋12＝48，符合）。故选 C。 5．直线 y＝2x－1 与直线 y＝－x＋5 的交点坐标是（　） A．(2，3) B．(3，2) C．(1，4) D．(－2，－5) 【答案】A 令 2x－1＝－x＋5，得 3x＝6，x＝2，所以 y＝2×2－1＝3。 交点坐标为 (2，3)。故选 A。 （可代回 y＝－x＋5 检验：－2＋5＝3，一致。） 6．已知三元一次方程组 的解为 ，则 a×b×c 的值为（　） A．24 B．30 C．36 D．40 【答案】B 由 ② 得 x＝y－1，由 ③ 得 z＝y＋2。 都代入 ①：(y－1)＋y＋(y＋2)＝10，即 3y＋1＝10，y＝3。 所以 x＝2，z＝5，a×b×c＝2×3×5＝30。故选 B。 （验证：2＋3＋5＝10，2－3＝－1，3－5＝－2，都成立。） 7．二元一次方程 2x＋3y＝18 的所有正整数解中，y 的最大值是（　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 由 2x＝18－3y 知，18－3y 必须是正偶数，所以 y 只能取正偶数。 y＝2 时 x＝6；y＝4 时 x＝3；y＝6 时 x＝0，不是正整数。 所以 y 的最大值是 4（此时 x＝3）。故选 C。 8．解方程组 时，若设 x＋y＝m、x－y＝n，则原方程组可化为（　） A． B． C． D． 【答案】A 把 x＋y 整体换成 m、x－y 整体换成 n，原方程组直接变成关于 m、n 的二元一次方程组： m 与 n 的位置一一对应，不能互换，也不能把加减号写反，故选 A。 （接着解：去分母得 3m＋2n＝28、2m－3n＝10，解得 m＝8、n＝2， 即 x＋y＝8、x－y＝2，所以 x＝5、y＝3。） 9．若直线 y＝2x＋m 与直线 y＝－x＋3 的交点在第二象限，则 m 的值可以是（　） A．4 B．0 C．－7 D．－10 【答案】A 令 2x＋m＝－x＋3，得 3x＝3－m，x＝， 所以 y＝－x＋3＝－＋3＝。 交点在第二象限，要求 x＜0 且 y＞0，即 3－m＜0 且 m＋6＞0，所以 m＞3。 四个选项中只有 4 大于 3。故选 A。 10．若关于 x、y 的方程组 的解中 x 与 y 互为相反数，则 k 的值为（　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C x 与 y 互为相反数，即 y＝－x。 代入 ①：2x－x＝k＋1，得 x＝k＋1； 代入 ②：3x－2x＝6，得 x＝6。 所以 k＋1＝6，k＝5。故选 C。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．用加减消元法解方程组 时，①＋② 得            ，①－② 得            。 【答案】6x＝12；4y＝2 ①＋②：(3x＋2y)＋(3x－2y)＝6x，右边 7＋5＝12，所以 6x＝12，即 x＝2； ①－②：(3x＋2y)－(3x－2y)＝4y，右边 7－5＝2，所以 4y＝2，即 y＝。 两式分别消去了一个未知数，这就是加减消元。 12．已知二元一次方程 x＋3y＝9，用含 y 的式子表示 x，得 x＝            ；当 y＝2 时，x＝            。 【答案】9－3y；3 把 3y 移到等号右边：x＝9－3y； 当 y＝2 时，x＝9－3×2＝3。 这说明 (3，2) 是方程 x＋3y＝9 的一组解。 13．某人把 20000 元分成两笔存入银行，甲笔年利率为 3%，乙笔年利率为 4%，一年后共得利息 700 元，则甲笔存款为            元。 【答案】10000 设甲笔 x 元，则乙笔 (20000－x) 元。 由利息共 700 元得 3%·x＋4%·(20000－x)＝700，即 0.03x＋800－0.04x＝700， 所以 －0.01x＝－100，x＝10000。 即甲笔 10000 元、乙笔 10000 元。检验：300＋400＝700，符合。 14．直线 y＝－2x＋6 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积是            。 【答案】9 令 y＝0，得 x＝3，所以直线与 x 轴交于 (3，0)；令 x＝0，得 y＝6，与 y 轴交于 (0，6)。 这个三角形是直角三角形，两条直角边长分别为 3 和 6， 面积 S＝×3×6＝9。 15．把直线 y＝2x－1 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后，与直线 y＝－x＋5 的交点坐标是            。 【答案】(1，4) 直线沿 y 轴向上平移 3 个单位，解析式中常数项加 3：y＝2x－1＋3，即 y＝2x＋2。 令 2x＋2＝－x＋5，得 3x＝3，x＝1，所以 y＝2×1＋2＝4。 交点坐标为 (1，4)。 16．二元一次方程 5x＋3y＝40 的所有非负整数解中，x＋y 的最小值是            。 【答案】8 由 5x＝40－3y 知，40－3y 必须是 5 的倍数，所以 y 是 5 的倍数。 又 3y≤40，y 只能取 0、5、10： y＝0 时 x＝8，x＋y＝8；y＝5 时 x＝5，x＋y＝10；y＝10 时 x＝2，x＋y＝12。 所以 x＋y 的最小值是 8。 （易错：非负整数包含 0，若只在正整数范围内找，最小值会误答成 10。） 三、解答题（共 46 分） 17．解下列方程组（第（1）题用代入法，第（2）题用加减法）： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2） （1）由 ① 得 y＝2x－5，代入 ②：x＋3(2x－5)＝6，即 7x－15＝6，7x＝21，x＝3。 所以 y＝2×3－5＝1，解为 。 （2）两式相加得 8x＝24，x＝3； 把 x＝3 代入 ①：12＋5y＝22，5y＝10，y＝2。所以解为 。 18．某商场购进甲、乙两种商品共 50 件，甲种每件进价 60 元，乙种每件进价 40 元，共花费 2400 元。 （1）求甲、乙两种商品各购进多少件； （2）若甲种每件售价 90 元、乙种每件售价 60 元，全部售完可获利多少元； （3）若实际销售时甲种按售价的九折、乙种按售价的八折出售，全部售完可获利多少元。 【答案】（1）甲 20 件，乙 30 件；（2）1200 元；（3）660 元 （1）设购进甲 x 件、乙 y 件，则 。 由 ① 得 y＝50－x，代入 ②：60x＋40(50－x)＝2400，即 20x＋2000＝2400，x＝20。 所以 y＝30。答：甲 20 件，乙 30 件。 （2）甲每件获利 90－60＝30 元，乙每件获利 60－40＝20 元， 共获利 30×20＋20×30＝600＋600＝1200（元）。 （3）甲实际售价 90×0.9＝81 元，每件获利 81－60＝21 元； 乙实际售价 60×0.8＝48 元，每件获利 48－40＝8 元。 共获利 21×20＋8×30＝420＋240＝660（元）。 19．如图，直线 l1：y＝2x＋3 与 y 轴交于点 A，直线 l2：y＝－x＋6 与 y 轴交于点 B，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PAB 的面积； （3）直接写出方程组 的解。 【答案】（1）P(1，5)；（2）S△PAB＝1.5；（3） （1）令 2x＋3＝－x＋6，得 3x＝3，x＝1，所以 y＝2×1＋3＝5，即 P(1，5)。 （2）令 x＝0，由 l1 得 A(0，3)，由 l2 得 B(0，6)，所以 AB＝6－3＝3。 △PAB 以 AB 为底，点 P 到 y 轴的距离 1 就是这条底上的高， 所以 S△PAB＝×3×1＝1.5。 （3）方程组的解就是两直线交点 P 的坐标，所以解为 。 20．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）用含 m 的式子表示方程组的解； （2）若方程组的解满足 x＋y＝8，求 m 的值； （3）若方程组的解中 x、y 都是正数，求 m 的取值范围。 【答案】（1）；（2）m＝2；（3）m＞0 （1）由 ② 得 x＝y＋2m，代入 ①：y＋2m＋3y＝6m，即 4y＝4m，y＝m。 所以 x＝m＋2m＝3m，即 。 （2）把解代入 x＋y＝8：3m＋m＝8，4m＝8，m＝2。 （3）x＝3m＞0 且 y＝m＞0，所以 m＞0。 （点拨：把参数当已知量先解出 x、y，再让它们满足题目附加的条件。） 21．解方程组 时，甲把 ① 中的 a 抄错了，得到 ；乙把 ② 中的 b 抄错了，得到 。 （1）求 a、b 的值； （2）求出原方程组的正确解。 【答案】（1）a＝2，b＝－4；（2） （1）甲只看错了 a，说明他的解满足没有看错的 ②：2×3－b×1＝10，即 6－b＝10，b＝－4。 乙只看错了 b，说明她的解满足没有看错的 ①：2a＋3×1＝7，即 2a＝4，a＝2。 所以 a＝2，b＝－4。 （2）原方程组为 。两式相减得 y＝3， 把 y＝3 代入 2x＋3y＝7：2x＋9＝7，x＝－1。 所以原方程组的解是 。（检验：2×(－1)＋3×3＝7，2×(－1)＋4×3＝10，都成立。） 22．已知关于 x、y 的方程组 的解都是正整数。 （1）用含 m 的式子表示 x； （2）求整数 m 的所有可能值，并写出对应的解。 【答案】（1）x＝；（2）m＝－11、－6、－1，对应解为 (1，6)、(2，4)、(3，2) （1）由 ① 得 y＝8－2x，代入 ②：x－2(8－2x)＝m，即 x－16＋4x＝m， 所以 5x＝m＋16，x＝。 （2）由 y＝8－2x 是正整数得 8－2x＞0，x＜4；又 x 是正整数，所以 x 只能取 1、2、3。 x＝1 时，m＝5×1－16＝－11，y＝8－2＝6； x＝2 时，m＝5×2－16＝－6，y＝8－4＝4； x＝3 时，m＝5×3－16＝－1，y＝8－6＝2。 所以整数 m 的值为 －11、－6、－1，对应的解分别是 (1，6)、(2，4)、(3，2)。 （检验：m＝－11 时 x－2y＝1－12＝－11；m＝－6 时 2－8＝－6；m＝－1 时 3－4＝－1，都成立。） 23．某公司用 4400 元购进甲、乙两种商品共 100 件，甲种每件 40 元，乙种每件 50 元。 （1）求甲、乙两种商品各购进多少件； （2）若甲种每件售价 60 元、乙种每件售价 70 元，全部售完可获利多少元； （3）第二次购进时甲种每件涨价 10 元、乙种每件降价 10 元。若仍购进两种商品共 100 件、总费用仍为 4400 元，求第二次购进甲种多少件。 【答案】（1）甲 60 件，乙 40 件；（2）2000 元；（3）甲 40 件 （1）设购进甲 x 件、乙 y 件，则 。 由 ① 得 y＝100－x，代入 ②：40x＋50(100－x)＝4400，即 5000－10x＝4400，x＝60。 所以 y＝40。答：甲 60 件，乙 40 件。 （2）甲每件获利 60－40＝20 元，乙每件获利 70－50＝20 元， 共获利 20×60＋20×40＝1200＋800＝2000（元）。 （3）设第二次购进甲 a 件，则乙 (100－a) 件，此时甲每件 50 元、乙每件 40 元， 由总费用 4400 元得 50a＋40(100－a)＝4400，即 10a＋4000＝4400，a＝40。 答：第二次购进甲种 40 件（乙种 60 件）。 （检验：50×40＋40×60＝2000＋2400＝4400，符合。） 24．如图，已知直线 l1：y＝kx－1 与直线 l2：y＝－x＋5 交于点 P(2，3)。 （1）求 k 的值； （2）求两条直线与 x 轴围成的三角形的面积； （3）若直线 l3：y＝mx＋1 也经过点 P，求 m 的值及 l3 与 x 轴交点的坐标。 【答案】（1）k＝2；（2）6.75；（3）m＝1，l3 与 x 轴交于 (－1，0) （1）点 P(2，3) 在 l1 上，把 x＝2、y＝3 代入 y＝kx－1：3＝2k－1，2k＝4，k＝2。 所以 l1：y＝2x－1。（检验：P 在 l2 上，－2＋5＝3，符合。） （2）令 y＝0：由 y＝2x－1 得 x＝0.5，由 y＝－x＋5 得 x＝5， 所以两直线与 x 轴的交点分别为 (0.5，0)、(5，0)，这条底边长 5－0.5＝4.5。 两条直线的交点 P 到 x 轴的距离就是高，为 3， 所以面积 S＝×4.5×3＝6.75。 （3）把 x＝2、y＝3 代入 y＝mx＋1：3＝2m＋1，2m＝2，m＝1，所以 l3：y＝x＋1。 令 y＝0，得 x＝－1，所以 l3 与 x 轴交于 (－1，0)。 （点拨：点在直线上，就把点的坐标代入表达式；要求与 x 轴的交点，就令 y＝0。） 第五章 二元一次方程组 单元综合【培优卷】　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $