第1章 勾股定理 学情监测（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

八年级数学北师版（上册）学情监测（一） 一、选择题 1. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A. 30，40，50 B. 7，12，13 C. 5，9，12 D. 3，4，6 2. 某个直角三角形中，两直角边长分别为6和8，则这个直角三角形的周长是（ ） A. 14 B. 48 C. 28 D. 24 3. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍 4. 中，，若，则两直角边和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 在⊿中，若，则⊿是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 6. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，以一直角边和斜边为边长的正方形面积分别为25，324，则以第三边为边长的正方形的面积是（ ） A. 225 B. 369 C. 289 D. 299 8. 如图所示，在港口处有甲船和乙船，若甲船沿北偏东方向以8海里／时的速度前进，乙船沿南偏东方向以15海里／时的速度前进，两小时后甲船到达岛，乙船到达岛，则等于（ ） A. 34海里 B. 36海里 C. 221海里 D. 30海里 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 10. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在中，，周长是18，底边长是8，那么底边上的高的长是________． 12. 如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m． 13. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为_______． 14. 如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程为______．（取3） 15. 矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则______． 三、解答题 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，试判断的形状，并说明理由． 17. 已知，如图，在中，，垂足为点，，，． （1）求的长； （2）求的长． 18. 暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？ 19. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 20. 如图所示，四边形是矩形，把沿折叠到，与交于点，若，，求的长． 21. 如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC=6千米，BC=8千米，AB=10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长． 22. 如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，求这根棉线的长度最短． 23. 如图，，，，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，是一个以为斜边的直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学北师版（上册）学情监测（一） 一、选择题 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题意； B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； 故选A． 视频 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先用勾股定理算出斜边长度，再把三条边相加求出周长，选出对应选项． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形，两直角边长分别为6和8 ∴斜边长为 ∴周长为． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设原直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，将两条直角边同时扩大到原来的倍后，直角边长变为，，根据勾股定理求出扩大后的斜边长，由此即可求解． 【详解】解：设原直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为. ∵ 该三角形为直角三角形， ∴ . 将两条直角边同时扩大到原来的倍后，直角边长变为，， 此时斜边长为. 即斜边扩大到原来的倍. 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以得出斜边为，再利用勾股定理和解答即可． 【详解】解：∵ 中， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ . ∵ ，， ∴ . 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=20-x，BC=9， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】将正方形面积转化为对应边长的平方，结合勾股定理计算. 【详解】解：∵ 在中，，且以一直角边、斜边为边长的正方形面积分别为25、324， ∴ 以第三边为边长的正方形面积为. 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意知，，（海里），（海里）， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：（海里）． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 或（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分的值，根据面积的变化即可找出变化规律，依此规律即可解决问题． 【详解】解：∵， ，且，， ∴， 同理，， ， ... 找规律得：， ∴． 二、填空题 【11题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】先根据等腰三角形周长和底边长求出腰长，再利用等腰三角形三线合一得到直角三角形的直角边，最后用勾股定理计算底边上的高． 【详解】解：∵ 中，，周长为，底边长， ∴， ∵， ∴ 过作于， ∵ ，， ∴ 在中，由勾股定理得，代入数据得 ， ∵ 高的长度为正数， ∴ ，即底边上的高长为． 【12题答案】 【答案】12 【解析】 【分析】以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m， ∴另一直角边长=， 故梯子可到达建筑物的高度是12m． 故答案是：12． 【点睛】本题考查了勾股定理，明确梯长的长度是直角三角形的斜边是解题的关键． 【13题答案】 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 【14题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和圆柱的侧面展开图形． 利用圆柱的侧面展开图确定最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵底面半径， ∴， ∴， 故答案为：10． 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 三、解答题 【16题答案】 【答案】 是直角三角形．理由如下： 根据勾股定理得，，，； ， ， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，充分利用网格是解题的关键． 根据勾股定理分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状． 【详解】略 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，用勾股定理求的长度； （2）在直角三角形中，用勾股定理求出， 得到总长． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在中，． 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 【18题答案】 【答案】登陆点到宝藏处的距离为10千米 【解析】 【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作于点， 根据题意可知，千米，千米， 在中，由勾股定理得千米， 答：登陆点到宝藏处的距离为10千米． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 【19题答案】 【答案】 ∵两个全等的直角三角形如图摆放， ∴∠EBA=∠CED， ∵∠EBA+∠BEA=90°， ∴∠BEA+∠CED=90°， ∴∠BEC=90°， ∴△BCE是直角三角形， 用两种方法求梯形的面积： S梯形ABCD=2×ab+c2， S梯形ABCD=（a+b）2， ∴2×ab+c2=（a+b）2， 化简得a2+b2=c2． 【解析】 【分析】证明△BCE是直角三角形，然后用两种方法表示梯形的面积即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握梯形面积的计算． 【20题答案】 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形为矩形，得，，，，再结合折叠性质，得，由平行线的性质，得，再进行角的等量代换以及等角对等边，最后根据勾股定理列式，计算即可作答． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，， 沿折叠到，与交于点， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得． 即的长为． 【21题答案】 【答案】新建路的长为4.8km. 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB．修建公路CD，则工厂C到公路的距离最短，首先证明△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求得CD的长． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路. ∵AC=6km，BC=8km,AB=10km ∴, ∴ ∴△ABC是直角三角形. ∵ ∴ ∴CD=4.8km ∴新建路的长为4.8km. 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形． 【22题答案】 【答案】15cm 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为 cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：cm； 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm； 根据勾股定理求得AC=CD=DB==5cm； ∴AC+CD+DB=15cm； 故棉线的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的计算、平面展开－路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【23题答案】 【答案】当C离点B时，是以为斜边的直角三角形 【解析】 【分析】设时，是以为斜边的直角三角形，在中，，在中，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设时，是以为斜边的直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得． ∴当C离点B时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $