5.3 第3课时 几何图形问题（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

第3课时 几何图形问题 01 基础达标 知识点一 利用二元一次方程组解几何图形问题 （甘肃中考） 1. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 2. 老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 3. 在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的小长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，求每块大长方形的面积． 知识点二 利用二元一次方程组解行程问题 4. 甲、乙二人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙，如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑米和米，列出的方程组应是（ ）． A. B. C. D. 5. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的速度是70米/分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 6. 某船顺流航行48km用了4h，逆流航行32km也用了4h，船在静水中的速度、水流的速度各是多少？ 02 能力提升 7. 小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 12:00 13:00 14:30 碑上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了 比12:00时看到的两位数中间多了个0 则12:00时看到的两位数是（ ） A. 24 B. 42 C. 51 D. 15 8. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个．表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一座铁路桥长，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身完全通过共用，而整列火车在桥上的时间是，则火车的长度为__________m，火车的速度为__________． 10. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 03 思维拓展 11. 如图，长青化工厂与、两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路运价为元（吨千米），铁路运价为元（吨千米），且这两次运输共支出公路运输费元，铁路运输费元．求： （1）该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？ （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时 几何图形问题 01 基础达标 知识点一 利用二元一次方程组解几何图形问题 （甘肃中考） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 【3题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式，设大长方形纸片的长为a，宽为b（），由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得，即，由大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为b，可得，即，再求解即可． 【详解】解：设大长方形纸片的长为a，宽为b（）， ∵小正方形（阴影部分）的面积是9， ∴，即， ∵大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为b， ∴，即， ∴，解得， ∴小长方形的面积是． 知识点二 利用二元一次方程组解行程问题 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等量关系：乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，可以列出方程组． 【详解】解：甲、乙每秒分别跑x米，y米， 由题意知： 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】解：由他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，根据关键语句“到学校共用时20分钟”可得方程：x+y=20，根据关键语句“骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分．他家离学校的距离是3350米”可得方程：200x+70y=3350，两个方程组合可得方程组：． 故选D． 【6题答案】 【答案】船在静水中的速度为10km/h，水流的速度为2km/h 【解析】 【分析】设船在静水中的速度为，水流的速度为，再利用速度乘以时间等于路程建立方程组即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流的速度为，根据题意得 ，解得． 答：船在静水中的速度为10km/h，水流的速度为2km/h 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟记顺流与逆流航行的速度公式是解本题的关键． 02 能力提升 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】以匀速行驶速度不变为突破口，设两位数的十位、个位数字为未知数列方程组求解. 【详解】解：设看到的两位数的十位数字为，个位数字为，则该数为. ∵ 两位数字之和为， ∴ . 看到的数为，小时行驶的路程为. 看到的数为，从到共小时，行驶的路程为. ∵ 摩托车匀速行驶，速度不变， ∴ . 化简得， ， 即. 联立， 解得. ∴ 时看到的两位数为. 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，由题意得，，据此可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， 故选：． 【9题答案】 【答案】 ①. 200 ②. 20 【解析】 【分析】设火车长度和速度，根据两种行驶状态的路程与速度时间的关系列方程组求解，火车从开始上桥到完全通过的总路程为桥长加火车长，整列火车完全在桥上的路程为桥长减火车长. 【详解】解：设火车的速度为 m/s，火车长度为 m， 根据题意可得方程组： 解得 ∴火车的长度为，火车的速度为． 【10题答案】 【答案】平路为300m，下坡路为400m． 【解析】 【分析】设平路有，下坡路有，根据相等关系“从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟，从学校到家里走上坡路和平路一共用15分钟”，列出方程组解答即可． 【详解】解：设平路有，下坡路有， 根据题意得：，解得：． 答：小华家到学校的平路为300m，下坡路为400m． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解答，注意来回坡路的变化是解题的关键． 03 思维拓展 【11题答案】 【答案】（1）工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨 （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元 【解析】 【分析】（1）设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，利用题中两个等量关系，列出关于与的二元一次方程组，求出方程组的解集得到与的值，即可得到该工厂从地购买原料的吨数以及制成运往地的产品的吨数． （2）根据（1）的结论，列式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨， 依题意得： ∴方程组的解为：． 答：工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨． 【小问2详解】 解：依题意得：（元）， ∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $