5.3 二元一次方程组的应用 课堂同步分层训练卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

5.3 二元一次方程组的应用_课堂同步分层训练卷_解析卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.3 二元一次方程组的应用，覆盖古算术问题、增收节支与利润问题、行程问题三大类型。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。”设每头牛值 x 两，每只羊值 y 两，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 牛 5 头、羊 2 只共值 10 两，得 5x＋2y＝10；牛 2 头、羊 5 只共值 8 两，得 2x＋5y＝8。 故选 A。 2．某商店将某商品按进价提高 40% 后标价，再以八折优惠卖出，结果每件仍获利 12 元。则这件商品的进价为（　） A．80 元 B．100 元 C．120 元 D．140 元 【答案】B 设进价为 x 元，则标价为 1.4x 元，八折售价为 1.4x×0.8＝1.12x 元。 由“获利 12 元”得 1.12x－x＝12，即 0.12x＝12，解得 x＝100。故选 B。 3．甲、乙两地相距 240 千米，一辆快车从甲地、一辆慢车从乙地同时出发相向而行，2 小时后相遇。已知快车每小时比慢车多行 20 千米。设快车速度为 x 千米/时、慢车速度为 y 千米/时，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 两车相向而行 2 小时共走完全程：2x＋2y＝240；快车每小时比慢车多行 20 千米：x－y＝20。 故选 A。 4．《九章算术》记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。”设共买物的人数为 x 人，物价为 y 钱，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 每人出 8 钱，多出 3 钱：8x－y＝3；每人出 7 钱，还差 4 钱：y－7x＝4。 解得 x＝7，y＝53，即 7 人、物价 53 钱。故选 A。 5．某工厂去年总产值比总支出多 200 万元。今年总产值比去年增加 10%，总支出比去年减少 5%，今年总产值比总支出多 340 万元。则去年总支出为（　） A．600 万元 B．700 万元 C．800 万元 D．900 万元 【答案】C 设去年总产值 x 万元、总支出 y 万元，则 x－y＝200，1.1x－0.95y＝340。 把 x＝y＋200 代入得 1.1(y＋200)－0.95y＝340，即 0.15y＝120，y＝800。故选 C。 6．甲、乙两人在 400 米环形跑道上练习，两人同时同地同向出发，200 秒后甲第一次追上乙；若两人同时同地反向出发，则 40 秒后两人第一次相遇。则甲的速度为（　） A．4 米/秒 B．5 米/秒 C．6 米/秒 D．8 米/秒 【答案】C 同向追及时，甲比乙多跑 1 圈：200(x－y)＝400，即 x－y＝2； 反向相遇时，两人合跑 1 圈：40(x＋y)＝400，即 x＋y＝10。 两式相加得 2x＝12，x＝6。故选 C。 7．《算法统宗》记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱。”设买甜果 x 个、苦果 y 个，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 甜果、苦果共 1000 个：x＋y＝1000； 甜果每 9 个 11 文，即每个 文；苦果每 7 个 4 文，即每个 文；共 999 文：。故选 A。 8．某服装店同时卖出两件衣服，每件都以 168 元的价格售出，其中一件盈利 20%，另一件亏本 20%。则这次买卖中该服装店（　） A．盈利 14 元 B．亏本 14 元 C．不盈不亏 D．亏本 28 元 【答案】B 盈利那件：1.2x＝168，x＝140 元；亏本那件：0.8y＝168，y＝210 元。 总进价 140＋210＝350 元，总售价 168×2＝336 元，336－350＝－14，即亏本 14 元。故选 B。 9．一艘轮船在甲、乙两港之间航行，顺流航行需 4 小时，逆流航行需 5 小时，已知水流速度为 2 千米/时。则船在静水中的速度为（　） A．16 千米/时 B．18 千米/时 C．20 千米/时 D．22 千米/时 【答案】B 设船在静水中速度为 x 千米/时，两港距离为 y 千米，则 4(x＋2)＝y，5(x－2)＝y。 所以 4(x＋2)＝5(x－2)，4x＋8＝5x－10，x＝18。故选 B。 10．《张丘建算经》记载：“今有客不知其数。两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。”设客有 x 人，盘有 y 个，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 两人共用一个盘，所需的盘数比现有盘数多 2：－y＝2； 三人共用一个盘，所需盘数比现有盘数少 3：y－＝3。 解得 x＝30，y＝13，即客 30 人、盘 13 个。故选 A。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．甲、乙两人各有一群羊。若甲给乙 9 只羊，则两人的羊数相等；若乙给甲 9 只羊，则甲的羊数是乙的 2 倍。设甲有 x 只羊、乙有 y 只羊，则 x＝            ，y＝            。 【答案】x＝63，y＝45 甲给乙 9 只后相等：x－9＝y＋9，即 x－y＝18； 乙给甲 9 只后甲是乙的 2 倍：x＋9＝2(y－9)，即 x－2y＝－27。 两式相减得 y＝45，代回得 x＝63。 12．某商品按标价的九折出售，仍可获利 20%。若该商品的进价为 240 元，则标价为            元。 【答案】320 设标价为 x 元，则九折售价为 0.9x 元。 由“获利 20%”得 0.9x＝240×(1＋20%)＝288，解得 x＝320。 13．甲、乙两地相距 42 千米。甲从 A 地出发，每小时走 6 千米；2 小时后乙从 B 地出发，每小时走 4 千米，两人相向而行。则乙出发后            小时两人相遇。 【答案】3 甲先行 2 小时走了 6×2＝12 千米，此时两人相距 42－12＝30 千米。 两人合速度为 6＋4＝10 千米/时，30÷10＝3（小时）。 14．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为 11。若把这个两位数的两个数字对调，所得的新两位数比原两位数大 27，则原两位数为            。 【答案】47 设十位数字为 a、个位数字为 b，则 a＋b＝11，且 10b＋a＝10a＋b＋27，即 b－a＝3。 两式联立解得 a＝4，b＝7，所以原两位数为 47。 15．某商品原价为 x 元，先提价 10%，再在提价后的价格基础上降价 10%，现价为 198 元，则原价为            元。 【答案】200 提价后为 1.1x 元，再降价 10% 后为 1.1x×(1－10%)＝0.99x 元。 由 0.99x＝198 得 x＝200。 16．小明从家到公园有一段上坡路和一段平路。他上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4 千米，下坡每小时走 5 千米。他从家到公园用了 1 小时，从公园原路回家用了 48 分钟，则小明家到公园的上坡路长            千米，平路长            千米。 【答案】上坡 1.5 千米，平路 2 千米 设上坡路长 x 千米、平路长 y 千米。去时上坡、平路：； 回时上坡变下坡、平路不变：。 两式相减得 ，即 ，x＝1.5。 代入得 0.5＋＝1，y＝2。 三、解答题（共 46 分） 17．《孙子算经》记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”请列方程组求出雉、兔各有多少只。 【答案】雉 23 只，兔 12 只 设雉有 x 只、兔有 y 只。由题意得 。 由①得 y＝35－x，代入②：2x＋4(35－x)＝94，即 2x＋140－4x＝94，－2x＝－46，x＝23。 所以 y＝35－23＝12。答：雉有 23 只，兔有 12 只。 18．某商店两次购进 A、B 两种台灯，购进的数量与所需费用如下： 第一次：购进 A 型 10 台、B 型 20 台，共花 4800 元； 第二次：购进 A 型 15 台、B 型 10 台，共花 3600 元。 （1）求 A 型、B 型台灯每台的进价分别是多少元； （2）若 A 型台灯每台售价 150 元、B 型台灯每台售价 220 元，两次购进的台灯全部售出，共可获利多少元？ 【答案】（1）A 型 120 元/台，B 型 180 元/台；（2）1950 元 （1）设 A 型每台进价 a 元、B 型每台进价 b 元，由表格信息得 。 把第二个方程乘 2 得 30a＋20b＝7200，与第一个方程相减得 20a＝2400，a＝120。 代回得 1200＋20b＝4800，b＝180。答：A 型 120 元/台，B 型 180 元/台。 （2）两次共购进 A 型 10＋15＝25 台，B 型 20＋10＝30 台。 每台 A 型获利 150－120＝30 元，每台 B 型获利 220－180＝40 元， 共获利 30×25＋40×30＝750＋1200＝1950（元）。 19．甲、乙两地相距 35 千米。小明从甲地到乙地，先步行 1 小时后改骑自行车，又骑了 2 小时到达乙地。已知骑车的速度是步行速度的 3 倍。 小明设步行速度为 x 千米/时、骑车速度为 y 千米/时，列出方程组 并解得 x＝3.5、y＝10.5。 （1）小明的解答是否正确？请说明理由； （2）请求出步行速度和骑车速度。 【答案】（1）不正确，理由见解析；（2）步行 5 千米/时，骑车 15 千米/时 （1）不正确。骑车的时间是 2 小时，不是 3 小时，所以骑车所走的路程应为 2y 而不是 3y。 小明把“全程共用 3 小时”误当成“骑车用了 3 小时”，所列方程与题意不符。 （2）正确的方程组为 。 把 y＝3x 代入第二个方程：x＋6x＝35，7x＝35，x＝5，所以 y＝15。 检验：步行 1 小时走 5 千米，骑车 2 小时走 30 千米，共 35 千米，符合题意。 答：步行速度为 5 千米/时，骑车速度为 15 千米/时。 20．某校组织学生到博物馆参观，成人票每张 30 元，学生票每张 15 元。学校购买了成人票和学生票共 60 张，共花去 1200 元。 （1）求购买的成人票和学生票各多少张； （2）博物馆推出两种优惠方案。方案一：所有票一律打八折；方案二：学生票打五折，成人票不打折。若购买的仍是（1）中的成人票和学生票，采用哪种方案更省钱？能省多少元？ 【答案】（1）成人票 20 张，学生票 40 张；（2）方案二更省钱，省 60 元 （1）设成人票 x 张、学生票 y 张，则 。 由第一个方程得 y＝60－x，代入第二个方程：30x＋15(60－x)＝1200，即 15x＋900＝1200，x＝20。 所以 y＝40。答：成人票 20 张，学生票 40 张。 （2）方案一：1200×0.8＝960（元）。 方案二：成人票 20×30＝600 元，学生票 40×15×0.5＝300 元，共 900 元。 因为 900＜960，所以方案二更省钱，可省 960－900＝60（元）。 21．某文具店销售一种笔记本，实行分段计价：一次购买不超过 20 本，每本 40 元；超过 20 本的部分，每本 30 元。 （1）若一次购买 x 本（x＞20），请用含 x 的式子表示应付的钱数； （2）小明分两次共购买 30 本，共付 1150 元，已知第一次购买不超过 20 本。求两次各购买多少本。 【答案】（1）(30x＋200) 元；（2）第一次 5 本，第二次 25 本 （1）前 20 本付 20×40＝800 元，超过的 (x－20) 本每本 30 元，付 30(x－20) 元。 所以应付 800＋30(x－20)＝30x＋200（元）。 （2）设第一次购买 a 本（a≤20），第二次购买 b 本（b＞20），则 a＋b＝30。 第一次付 40a 元，第二次付 (30b＋200) 元，由共付 1150 元得 40a＋30b＋200＝1150，即 40a＋30b＝950。 把 a＝30－b 代入：40(30－b)＋30b＝950，1200－10b＝950，b＝25，所以 a＝5。 检验：第一次 5 本付 200 元，第二次 25 本付 800＋5×30＝950 元，共 1150 元，符合题意。 答：第一次购买 5 本，第二次购买 25 本。 22．一列快车长 200 米，一列慢车长 280 米，两车在平行的轨道上行驶。若两车相向而行，从车头相遇到车尾相离共需 12 秒；若两车同向而行，快车从追上慢车车尾到完全超过慢车共需 80 秒。求快车、慢车各自的速度。 【答案】快车 23 米/秒，慢车 17 米/秒 设快车速度为 x 米/秒、慢车速度为 y 米/秒。 相向而行时，两车走过的路程之和等于两车长度之和：12(x＋y)＝200＋280＝480，即 x＋y＝40。 同向而行时，快车比慢车多走的路程等于两车长度之和：80(x－y)＝480，即 x－y＝6。 两式联立解得 x＝23，y＝17。 答：快车速度为 23 米/秒，慢车速度为 17 米/秒。 23．某商场购进甲、乙两种商品共 60 件。甲商品每件进价 80 元、标价 120 元；乙商品每件进价 100 元、标价 150 元。实际销售时，甲商品按标价的八折出售，乙商品按标价的九折出售，全部售完后共获利 1340 元。求购进甲、乙两种商品各多少件。 【答案】甲商品 40 件，乙商品 20 件 设购进甲商品 x 件、乙商品 y 件，则 x＋y＝60。 甲商品实际售价 120×0.8＝96 元，每件获利 96－80＝16 元； 乙商品实际售价 150×0.9＝135 元，每件获利 135－100＝35 元。 由共获利 1340 元得 16x＋35y＝1340。 把 x＝60－y 代入：16(60－y)＋35y＝1340，960＋19y＝1340，19y＝380，y＝20。 所以 x＝40。检验：16×40＋35×20＝640＋700＝1340，符合题意。 答：购进甲商品 40 件，乙商品 20 件。 24．《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？”意思是：同样时间内，善行者走 100 步，不善行者走 60 步。现在不善行者先走 100 步，善行者开始追，问善行者走多少步才能追上？ （1）设善行者走 x 步时追上，此时不善行者又走了 y 步，请列出关于 x、y 的方程组； （2）求善行者走多少步才能追上。 【答案】（1）；（2）250 步 （1）追上时，善行者走的路程比不善行者多 100 步：x＝y＋100； 两人所用时间相同，而同样时间内两人所走步数之比为 100∶60，所以 。 （2）由第二个方程得 60x＝100y，即 y＝0.6x。 代入第一个方程：x＝0.6x＋100，0.4x＝100，x＝250。 此时 y＝150。检验：善行者走 250 步的时间与不善行者走 150 步的时间相同（250∶150＝100∶60）， 且不善行者共走了 150＋100＝250 步，与善行者所走步数相等，说明正好追上。 答：善行者走 250 步才能追上。 5.3 二元一次方程组的应用_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 二元一次方程组的应用_课堂同步分层训练卷_空白卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.3 二元一次方程组的应用，覆盖古算术问题、增收节支与利润问题、行程问题三大类型。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。”设每头牛值 x 两，每只羊值 y 两，可列方程组为（　） A． B． C． D． 2．某商店将某商品按进价提高 40% 后标价，再以八折优惠卖出，结果每件仍获利 12 元。则这件商品的进价为（　） A．80 元 B．100 元 C．120 元 D．140 元 3．甲、乙两地相距 240 千米，一辆快车从甲地、一辆慢车从乙地同时出发相向而行，2 小时后相遇。已知快车每小时比慢车多行 20 千米。设快车速度为 x 千米/时、慢车速度为 y 千米/时，可列方程组为（　） A． B． C． D． 4．《九章算术》记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。”设共买物的人数为 x 人，物价为 y 钱，可列方程组为（　） A． B． C． D． 5．某工厂去年总产值比总支出多 200 万元。今年总产值比去年增加 10%，总支出比去年减少 5%，今年总产值比总支出多 340 万元。则去年总支出为（　） A．600 万元 B．700 万元 C．800 万元 D．900 万元 6．甲、乙两人在 400 米环形跑道上练习，两人同时同地同向出发，200 秒后甲第一次追上乙；若两人同时同地反向出发，则 40 秒后两人第一次相遇。则甲的速度为（　） A．4 米/秒 B．5 米/秒 C．6 米/秒 D．8 米/秒 7．《算法统宗》记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱。”设买甜果 x 个、苦果 y 个，可列方程组为（　） A． B． C． D． 8．某服装店同时卖出两件衣服，每件都以 168 元的价格售出，其中一件盈利 20%，另一件亏本 20%。则这次买卖中该服装店（　） A．盈利 14 元 B．亏本 14 元 C．不盈不亏 D．亏本 28 元 9．一艘轮船在甲、乙两港之间航行，顺流航行需 4 小时，逆流航行需 5 小时，已知水流速度为 2 千米/时。则船在静水中的速度为（　） A．16 千米/时 B．18 千米/时 C．20 千米/时 D．22 千米/时 10．《张丘建算经》记载：“今有客不知其数。两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。”设客有 x 人，盘有 y 个，可列方程组为（　） A． B． C． D． 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．甲、乙两人各有一群羊。若甲给乙 9 只羊，则两人的羊数相等；若乙给甲 9 只羊，则甲的羊数是乙的 2 倍。设甲有 x 只羊、乙有 y 只羊，则 x＝            ，y＝            。 12．某商品按标价的九折出售，仍可获利 20%。若该商品的进价为 240 元，则标价为            元。 13．甲、乙两地相距 42 千米。甲从 A 地出发，每小时走 6 千米；2 小时后乙从 B 地出发，每小时走 4 千米，两人相向而行。则乙出发后            小时两人相遇。 14．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为 11。若把这个两位数的两个数字对调，所得的新两位数比原两位数大 27，则原两位数为            。 15．某商品原价为 x 元，先提价 10%，再在提价后的价格基础上降价 10%，现价为 198 元，则原价为            元。 16．小明从家到公园有一段上坡路和一段平路。他上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4 千米，下坡每小时走 5 千米。他从家到公园用了 1 小时，从公园原路回家用了 48 分钟，则小明家到公园的上坡路长            千米，平路长            千米。 三、解答题（共 46 分） 17．《孙子算经》记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”请列方程组求出雉、兔各有多少只。 18．某商店两次购进 A、B 两种台灯，购进的数量与所需费用如下： 第一次：购进 A 型 10 台、B 型 20 台，共花 4800 元； 第二次：购进 A 型 15 台、B 型 10 台，共花 3600 元。 （1）求 A 型、B 型台灯每台的进价分别是多少元； （2）若 A 型台灯每台售价 150 元、B 型台灯每台售价 220 元，两次购进的台灯全部售出，共可获利多少元？ 19．甲、乙两地相距 35 千米。小明从甲地到乙地，先步行 1 小时后改骑自行车，又骑了 2 小时到达乙地。已知骑车的速度是步行速度的 3 倍。 小明设步行速度为 x 千米/时、骑车速度为 y 千米/时，列出方程组 并解得 x＝3.5、y＝10.5。 （1）小明的解答是否正确？请说明理由； （2）请求出步行速度和骑车速度。 20．某校组织学生到博物馆参观，成人票每张 30 元，学生票每张 15 元。学校购买了成人票和学生票共 60 张，共花去 1200 元。 （1）求购买的成人票和学生票各多少张； （2）博物馆推出两种优惠方案。方案一：所有票一律打八折；方案二：学生票打五折，成人票不打折。若购买的仍是（1）中的成人票和学生票，采用哪种方案更省钱？能省多少元？ 21．某文具店销售一种笔记本，实行分段计价：一次购买不超过 20 本，每本 40 元；超过 20 本的部分，每本 30 元。 （1）若一次购买 x 本（x＞20），请用含 x 的式子表示应付的钱数； （2）小明分两次共购买 30 本，共付 1150 元，已知第一次购买不超过 20 本。求两次各购买多少本。 22．一列快车长 200 米，一列慢车长 280 米，两车在平行的轨道上行驶。若两车相向而行，从车头相遇到车尾相离共需 12 秒；若两车同向而行，快车从追上慢车车尾到完全超过慢车共需 80 秒。求快车、慢车各自的速度。 23．某商场购进甲、乙两种商品共 60 件。甲商品每件进价 80 元、标价 120 元；乙商品每件进价 100 元、标价 150 元。实际销售时，甲商品按标价的八折出售，乙商品按标价的九折出售，全部售完后共获利 1340 元。求购进甲、乙两种商品各多少件。 24．《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？”意思是：同样时间内，善行者走 100 步，不善行者走 60 步。现在不善行者先走 100 步，善行者开始追，问善行者走多少步才能追上？ （1）设善行者走 x 步时追上，此时不善行者又走了 y 步，请列出关于 x、y 的方程组； （2）求善行者走多少步才能追上。 5.3 二元一次方程组的应用_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $