5.3 第1课时 和差倍分问题（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

5.3 二元一次方程组的应用 第1课时 和差倍分问题 01 基础达标 知识点一 列二元一次方程组解古代数学问题 1. 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干嘛?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多!”那么驴子原来所驮货物的袋数是（ ） A. 5袋 B. 6袋 C. 7袋 D. 8袋 2. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三，人出七不足四，问人数，物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ） A. 1，11 B. 7，53 C. 7，67 D. 6，50 3. 《一千零一夜》中有这样一段文学：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鹆子就是整个鸽群的，若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子数一样多．”你知道树上有_____只鸽子，树下有_____只鸽子． 4. 《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？” 知识点二 列二元一次方程组解和差倍分问题 5. 用白铁皮自制罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或盒底40个．一个盒身与两个盒底配成一套盒，现有120张白铁皮，求用多少张制盒身，多少张制盒底，才能恰好配套？设用张制盒身，张制盒底，则可得方程组（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 7. 学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共，了解到这些蔬菜的种植成本共84元，还了解到如下信息： 黄瓜的种植成本是2元，售价是4.0元；茄子的种植成本是2.4元，售价是4.8元． （1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？ 02 能力提升 8. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果1托为5尺，求索长和竿子长． 9. 请你阅读下面的诗句并解答：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？” 10. 某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： （1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 03 思维拓展 11. 某班将举行“庆祝建党103周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情景： 小明：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我付了300元，现在找回68元！” 班长：“你肯定搞错了！” 小明：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱了．” 班长：“这就对啦！” 请根据上面的信息，解决问题． （1）试计算两种笔记本各买了多少本． （2）请你解释：为什么不可能找回68元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 二元一次方程组的应用 第1课时 和差倍分问题 01 基础达标 知识点一 列二元一次方程组解古代数学问题 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】要求驴子原来所托货物的袋数,要先设出未知数,通过理解题意可知本题的等量关系，即驴子减去一袋时的两倍减1（即骡子原来驮的袋数）再减1（我给你一袋,才恰好驮的一样多）=驴子原来所托货物的袋数加上1,据这个等量关系列方程求解． 【详解】解：设驴子原来驮x袋，根据题意，得到方程： 2（x-1）-1-1=x+1， 解得：x=5, 答：驴子原来所托货物的袋数是5, 故选A． 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解. 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设有人，物价为，根据该物品价格不变，即可得出关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设有人，物价为， 由题意得 解得 故人数、物价分别是，． 【3题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解应用题的关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 本题的等量关系为：树下鸽子的数量鸽群数量；树上鸽子树下鸽子． 【详解】解：设树上有只鸽子，树下有只鸽子， 则， 解得． 故答案为：；． 【4题答案】 【答案】每只雀、燕的重量各为两和两 【解析】 【分析】设每只雀、燕的重量各为两，两，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可解决问题． 【详解】解：设每只雀、燕的重量各为两，两，由题意得： 解方程组得： 答：每只雀、燕的重量各为两和两． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 知识点二 列二元一次方程组解和差倍分问题 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等量关系：（1）盒身的个数盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数，从而列方程组． 【详解】解：设用张制盒身，张制盒底， ∵ 共有张白铁皮， ∴ . ∵ 每张铁皮可制盒身个或盒底个， ∴ 盒身总数为个，盒底总数为个. ∵ 一个盒身与两个盒底配成一套，恰好配套时盒底总数是盒身总数的倍， ∴ . 联立得方程组. 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可直接进行排除选项． 【详解】解：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得： ， 故选D． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【7题答案】 【答案】（1）采摘的黄瓜30千克，采摘茄子10千克 （2）84 【解析】 【分析】（1）设采摘黄瓜千克，采摘茄子千克，根据采摘的两种蔬菜共，且这些蔬菜的种植成本共元，即可得出关于的二元一次方程组； （2）根据总利润=每千克的利润×采摘数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设采摘黄瓜千克，采摘茄子千克， 由题意得，， 解得， 答：采摘的黄瓜千克，采摘茄子千克． 【小问2详解】 解：（元）． 答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚元． 02 能力提升 【8题答案】 【答案】索长20尺，竿子长15尺 【解析】 【分析】设索长为尺，竿子长尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于的二元一次方程组． 【详解】解：设索长为尺，竿子长尺， 由题意得，， 解得． 答：索长20尺，竿子长15尺． 【9题答案】 【答案】有5棵树，20只鸟 【解析】 【分析】等量关系为：树的棵数树的棵数，把相关数值代入可得树的棵数，代入等号左边可得鸦的数量． 【详解】设有x棵树，根据题意得                     ， 解得：                                  只                         答：有5棵树，20只鸟． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用；根据鸦的总数得到相应的等量关系是解决本题的关键． 【10题答案】 【答案】（1）240人，5辆 （2）租用4辆60座客车更合算 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键在于根据题意列出方程． （1）设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆，根据原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，据此可列方程组求解即可； （2）分别计算出租用两种客车需要的费用，然后进行比较，得出答案即可． 【小问1详解】 解：设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 答：这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆． 【小问2详解】 解：租45座客车：（辆）， 所以需租6辆，租金为（元） 租60座客车：（辆）， 所以需租4辆，租金为：（元）． 因为， 所以租用4辆60座客车更合算． 视频 03 思维拓展 【11题答案】 【答案】（1） 单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本 （2） 解：不可能找回68元，理由如下：假设能找回68元，设购买5元笔记本本，8元笔记本本， 由题意得， 解得， 则， ∵笔记本的数量必须是正整数，求得的两种笔记本的数量均不符合实际意义， ∴不可能找回68元． 【解析】 【分析】（1）先计算实际花费金额，结合两种笔记本的总数量与总花费列方程求解； （2）假设找回68元，列方程求解，根据解是否为正整数判断是否可能． 【小问1详解】 解：实际花费为（元）． 设单价为5元的笔记本买了本，单价为8元的笔记本买了本． 根据题意得： ，  解得，  答：单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $