第2章 实数 章末核心考点与素养提升（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 平方根、算术平方根、立方根的概念与性质 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再计算的算术平方根即可． 【详解】 ． 故选A． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，有理数的平方，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．依据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵x2＝4， ∴x＝±2， 即x的值为±2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，解题的关键在于能够熟练掌握一个正数的平方根有两个. 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键． 考点二 实数的分类与估算 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的概念进行判断即可得解. 【详解】根据无理数的概念可知，，属于无理数， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了无理数的区分，熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键. 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法即可得结果． 【详解】解：因为＜＜，即4＜＜5， 所以6＜+2＜7， 所以+2的值是在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法． 考点三 实数与数轴 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由作法得：，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵数轴上点A、B分别对应数1、2， ∴， 由作法得：， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是． 故选：B 【7题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据绝对值是大数减小数，可得绝对值． 【详解】解：的相反数是，绝对值是， 故答案为，． 【点睛】本题考查了相反数的定义及求一个数的绝对值，比较简单． 考点四 二次根式的概念及性质 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可. 【详解】A.=2，不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.=，不是最简二次根式； D.=，不是最简二次根式. 故选B. 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义. 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足二次根式的被开方数非负，分式的分母不为，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴需满足  解不等式，得 解不等式，得 ∴的取值范围为且． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先将等号左侧根号内的多项式因式分解，再利用二次根式的性质与绝对值的性质列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：对根号内的多项式因式分解，得 ， 因此原等式可化为 ， 根据二次根式的性质，得 ， 根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数小于等于，因此 ， 解不等式得 ． 考点五 二次根式的运算 【11题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）将二次根式分别相除后化简； （3）先化简括号内的根式，再用多项式乘法展开，合并同类项． 【小问1详解】 ​解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式  ． 【小问3详解】 解：​原式 ． 02 真题演练 （湖北中考） 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据运算法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、∵ 与 不是同类二次根式，不能合并，∴选项A错误，不符合题意； B、∵ ，∴选项B错误，不符合题意； C、∵ ，符合二次根式乘法法则，∴选项C正确，符合题意； D、∵ ，∴选项D错误，不符合题意． （资阳中考） 【13题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴所有积中小于2的有两个； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键． （北京中考） 【14题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． （攀枝花中考） 【15题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． （天津中考） 【16题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：， ∴属于型无理数， 故选B． （巴中中考） 【17题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． （南京中考） 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：， 设第二行中间数为x，则，解得， 设第三行第一个数为y，则，解得， ∴2个空格的实数之积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键． 03 素养提升 【19题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的规则，将变形为平方的形式即可得到对应的平方根. 【详解】解：∵题目规定， ∴对进行变形： ∴在引入虚数后的平方根为. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． （1）根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解 【小问1详解】 由题意得，， 故答案为：、； 【小问2详解】 如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 平方根、算术平方根、立方根的概念与性质 1. （﹣4）2的算术平方根是（　　） A. 4 B. 2 C. 16 D. ±4 2. 若x2＝4，则x的值（　　） A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 考点二 实数的分类与估算 4. 在下列实数3.1415926，，，，，中无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 估算的值是在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 考点三 实数与数轴 6. 如图，数轴上点A、B分别对应数1、2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ） A. B. C. D. 7. 1－的相反数是_________，绝对值是__________． 考点四 二次根式的概念及性质 8. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 9. 要使有意义，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 10. 如果，那么的取值范围是__________． 考点五 二次根式的运算 11. 计算： （1） （2） （3） 02 真题演练 （湖北中考） 12. 下列运算正确的是 A. B. C. D. （资阳中考） 13. 从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （北京中考） 14. 已知，，，．若为整数且，则的值为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 （攀枝花中考） 15. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. （天津中考） 16. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 （巴中中考） 17. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． （南京中考） 18. 在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________． 2 1 6 3 03 素养提升 19. 因为负数在实数范围内不能表示成一个数的平方，所以负数没有平方根．但如果引入虚数，情况就有所改变，规定，负数就可以表示成平方的形式．如，根据以上知识，请你写出-2在引入虚数后的平方根：__________． 20. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $