第1章 勾股定理 章末核心考点与素养提升（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 勾股定理及其应用 1. 在一个直角三角形中，若斜边长为，一条直角边的长为，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 25 3. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为_________． 5. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 6. △ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）（　　　） A. B. C. D. 7. 若的三边、、满足，则形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． (1)求证：CD⊥AB； (2)求该三角形的腰的长度． 02 真题演练 （山东中考） 9. 在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2.4 （河北中考） 10. 已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 （南通中考） 11. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 （浙江中考） 12. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ） A. B. C. D. （陕西中考） 13. 如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，． （1）求证：平分； （2）求四边形的面积． 03 素养提升 14. 如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2025次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 勾股定理及其应用 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求得该直角三角形的另一直角边的长度；然后由直角三角形的面积公式作答． 【详解】解：由勾股定理知，另一直角边的长度为：． 则这个三角形的面积为：． 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理得，再根据尺规作图留下的痕迹得到，即可求出的周长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得，， ∵分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ∴， ∴的周长为． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D． 【4题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键．根据正方形的性质证明，得到，由勾股定理得到，再利用正方形的面积公式即可求出b的面积． 【详解】解：如图， ∵正方形a，b，c， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， ∴b的面积为10． 故答案为：10． 【5题答案】 【答案】E站应建在离A站处． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 视频 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】满足两个较小边的平方和等于较大边的平方的为直角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据此可判断出直角三角形． 【详解】解：A、62+82=102，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∠C=180°÷（1+1+3）×3=105°．不是直角三角形，故本选项符合题意； C、，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理． 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解、等腰三角形的判定、勾股定理逆定理的应用，解题的关键是通过代数变形得到边的关系． 通过因式分解将方程化为，结合三角形边长为正，得出或者，从而判断形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或者， ∴为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 【8题答案】 【答案】 （1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足， 根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB； （2） 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理的逆定理直接证明即可. 设腰长为x，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可. 试题解析： （1）略 （2）设腰长为x，则，由上问可知， 即：，解得：腰长. 点睛：勾股定理的逆定理：如果三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 02 真题演练 （山东中考） 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∵， ∴， 解得CD=2.4， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． （河北中考） 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【详解】如图所示， AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． （南通中考） 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． （浙江中考） 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可； 【详解】解：∵AB为底面直径， ∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间， ∵两点之间线段最短， 故选： C． 视频 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键． （陕西中考） 【13题答案】 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 平分； （2）60 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形等边对等角和平行线内错角相等，推导角相等证明平分； （2）证明两个三角形面积相等，转化四边形面积为面积，作高用勾股定理求高再算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，，过点作， ∵平分，，， ∴． ，，且， ， ∴四边形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形的面积为60． 03 素养提升 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，正确理解图形的变化规律、准确用代数式表示规律是解题的关键．根据题意，先求出前几次的这颗“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，然后找到变化的规律，猜测第n次的这颗“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，从而获解． 【详解】解：生长之前面积设为，第n次“生长”后的面积为， ， ， ， ， ， 当时，， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $