第1章 专题二 勾股定理中的方程思想与分类讨论思想（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

专题二 勾股定理中的方程思想与分类讨论思想 类型一 方程思想 1. 如图，是一张纸片，，，，现将其折叠．使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. （巴中中考） 2. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 3. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积． 类型二 分类讨论思想 （山东中考） 4. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知、、为直角三角形的三边长，且满足，那么以为边长的正方形的面积为_______________． 6. 在中，，高，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 勾股定理中的方程思想与分类讨论思想 类型一 方程思想 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠性质得到 ，设未知数，在直角中列勾股方程求解． 【详解】解：∵折叠使点与点重合， ∴ 设，则 在 中，由勾股定理得：， 即  解得 ∴． （巴中中考） 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 【3题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及勾股定理是解题的关键． 类型二 分类讨论思想 （山东中考） 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个． 故共有3个点， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 【5题答案】 【答案】7或25 【解析】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，的值，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理计算，即为所求正方形的面积. 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，. 分两种情况讨论： ①当为斜边时，由勾股定理得， 此时以为边长的正方形面积为； ② 当为直角边时，斜边长为，由勾股定理得， 此时以为边长的正方形面积为； 综上，以为边长的正方形的面积为或. 【6题答案】 【答案】66或126 【解析】 【分析】本题需要分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别利用勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后根据三角形面积公式求出面积． 【详解】解：情况一：高在内部 在中，，根据勾股定理 在中，，根据勾股定理 则的面积为． 情况二：高在外部 同样，在中，；在中， 此时 则的面积为． 综上所述：的面积为或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握分高在三角形内部和外部两种情况，利用勾股定理求出底边长度，进而计算三角形面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $