1.1 第2课时 勾股定理的验证及简单应用（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

第2课时 勾股定理的验证及简单应用 01 基础达标 知识点一 验证勾股定理 1. 我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ） A. B. C. D. 2. 用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答： （1）图2中间小正方形的周长_____，大正方形的边长为_____． （2）用两种方法表示图2大正方形的面积．（用含a，b，c） ①S＝_____； ②S＝______； （3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式_____． （4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题： 已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值． 知识点二 勾股定理的简单应用 3. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 4. 如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口90分钟后相距（ ） A. 30海里 B. 40海里 C. 25海里 D. 45海里 5. 七一快到了，为了庆祝建党一百周年，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m 的墙上，则梯角应距墙角_______m． 6. 如图所示，幸福小区位于快递站点的北偏东方向，沁苑小区位于的南偏东方向，无人机以的速度配送快递时，从到需飞行，从到需飞行．若无人机的配送路线是，请求出配送途中飞行所需时间． 02 能力提升 7. 如图，校园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段AC走，那么同学们少走了（　　） A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m 8. 如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了______米（的长）（假设绳子是直的）． 9. 如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要___________米长. 10. 为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪的处，过了后，小汽车到达离车速检测仪的处，已知该段城市街道的限速为，请问这辆小汽车是否超速？ 03 思维拓展 11. 根据已知条件解答问题： （1）【课本再现】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． （2）【类比迁移】现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为________． （3）【方法运用】小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 01 基础达标 知识点一 验证勾股定理 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，选项B符合题意． 【2题答案】 【答案】（1）4c，a+b （2）①（a+b）2；②2ab+c2 （3）a2+b2＝c2 （4）10 【解析】 【分析】（1）根据正方形周长公式即可解答； （2）根据正方形的面积公式以及三角形的面积公式即可解答； （3）根据完全平方公式可得a2+b2＝c2； （4）根据（3）的结论计算即可． 【小问1详解】 由图得，图2中间小正方形边长为c，所以其周长4c；大正方形的边长为（a+b）， 故答案为：4c；a+b； 【小问2详解】 图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝=2ab+c2， 故答案为：（a+b）2或2ab+c2； 【小问3详解】 ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+2ab+b2=2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2； 【小问4详解】 ∵c2＝a2+b2＝82+62＝100， ∴c＝10（负值不合题意，舍去）． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明和列代数式，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键． 知识点二 勾股定理的简单应用 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为米， 小树高为米， 过点作于，则是矩形， 连接， 米，米，米， 在中，米， 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先判断东北与东南方向夹角为直角，算出两艘轮船航行路程，再用勾股定理求两船距离． 【详解】解：∵东南方向与东北方向夹角为， ∴为直角三角形 ∵航行时间， ∴（海里），（海里） 在中，由勾股定理得：（海里）． 【5题答案】 【答案】0.7 【解析】 【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可． 【详解】梯脚与墙角距离，利用勾股定理得：=0.7（米）． 故填：0.7． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，通过实际场景，抽象出直角三角形，利用勾股定理求直角边长是解题关键． 【6题答案】 【答案】40分钟 【解析】 【分析】先根据方位角求出，再算出的长度，利用勾股定理求，求出总路程后结合速度算出飞行时间． 【详解】解：由题意，得，， ∴． ∵，， ∴在中， ∴总路程为， ∴所需时间为． 02 能力提升 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得答案． 【详解】解：由勾股定理，得 捷径AC==10（m）， 少走了8+6-10=4（m）． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【8题答案】 【答案】9 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【9题答案】 【答案】14 【解析】 【分析】根据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案． 【详解】根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要6+=6+8=14米． 故答案为14． 【点睛】本题考查了生活中平移知识的应用，利用勾股定理求出台阶的水平长度是关键． 【10题答案】 【答案】超速 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC的长，再求出汽车的速度即可求解. 【详解】解：超速． 理由如下： 在中，，， 由勾股定理可得， ∴汽车速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的运用. 03 思维拓展 【11题答案】 【答案】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ， （2）13 （3）20 【解析】 【分析】（1）用两种方式表示大正方形面积，建立等式化简证明勾股定理； （2）先求斜边平方，再用斜边正方形面积减去两个直角三角形面积得到空白面积； （3）先证三角形全等，设边长利用勾股定理列方程求出线段长，再相加求外围轮廓周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：空白部分的面积=边长为的正方形的面积个直角三角形的面积 ∵， ∴， ∴空白部分的面积． 【小问3详解】 解：由题意，可知， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 同理可得， ∴“帽子”外围轮廓（实线）的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $