精品解析：辽宁营口市大石桥市第二初级中学2026-2027年上学期九年级10月学情自测数学试卷

大石桥市第二初级中学质量测试（2026.10.9） 九年级数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．考试范围：第二十五章~第二十六章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，经过配方，得到( ) A. B. C. D. 3. 已知方程的两个根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 3 4. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，） A. B. C. D. 5. 菱形的一条对角线长为6，边的长为一元二次方程的一个根，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. 20 C. 8或20 D. 10 6. 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是x＝﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 最大值是2 7. 若二次函数的图象经过点，则a的值为( ) A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表， x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 9. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 10. 如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 是关于的二次函数，则的值为__________． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 13. 王老师购买了张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有名学生，则可列方程______． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 15. 如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 三、综合题（75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的方程 （1）若该方程的一个根为－2，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求抛物线顶点的坐标； （2）连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 19. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件． （1）求该快递点这三天揽件日平均增长率． （2）按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)， （3）按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)． 20. 如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？ 21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点． （1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点 ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； （3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大石桥市第二初级中学质量测试（2026.10.9） 九年级数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．考试范围：第二十五章~第二十六章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可． 【详解】A．当时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B．原方程整理得：，不是一元二次方程，故不符合题意； C．是一元三次方程，故不符合题意； D．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键． 2. 用配方法解方程，经过配方，得到( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到等号右边，等号两边都加上1，配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加1，得， 即， 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法的计算方法是解题的关键． 3. 已知方程的两个根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系整体代入即可得到答案． 【详解】解：方程的两个解分别为、， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，两根积等于常数项比二次项系数，两根和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数． 4. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得，求解即可； 【详解】设雕像的下部高为xm，则上部长为， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为， ∴， ∴， 解得：（舍）或， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键． 5. 菱形的一条对角线长为6，边的长为一元二次方程的一个根，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. 20 C. 8或20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用菱形的性质确定的长为5，从而得到菱形的周长． 【详解】解：， 或， ，， 菱形的一条对角线长为6，， ∴2、2、6不能构成三角形， 的长为5， 菱形的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质． 6. 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是x＝﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 最大值是2 【答案】C 【解析】 【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值． 【详解】解：由y＝（x﹣1）2+2得，开口向上，选项A不符合题意； 对称轴为直线x＝1，故选项B错误； 顶点坐标为（1，2），选项C符合题意； 最小值为2，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 7. 若二次函数的图象经过点，则a的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值． 【详解】解∶ 二次函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选∶A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表， x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：将代入，得． 将，代入解析式，得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，A错误． 图象的对称轴是直线，D正确． ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，B错误． ∵抛物线顶点坐标为，开口向下，与轴交于和， ∴当时，，图象经过第一、三、四象限，C错误． 9. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 10. 如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：分类讨论： 当0≤t≤2时，如图，此时，B在GE之间，BG=t，BE=2﹣t， ∵PB∥GF，∴△EBP∽△EGF． ∴，即，∴． ∴． 当2＜t≤4时，G、E在AB之间，． 当4＜t≤6时，如图，此时，A在GE之间，GA=t﹣4，AE=6﹣t， ∵PA∥GF，∴△EAP∽△EGF， ∴，即，∴． ∴． 综上所述，当0≤t≤2时，s关于t的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2＜t≤4时，s关于t的函数图象为平行于x轴的一条线段；当4＜t≤6时，s关于t的函数图象为开口向上的抛物线的一部分． 故选B． 二、填空题（共15分） 11. 是关于的二次函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确分析列式计算是解题关键．根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，最高次项系数不为零，列式求解即可． 【详解】解：是关于的二次函数， ，， ， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，把代入方程，然后解一元二次方程即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：或， 故答案为：或． 13. 王老师购买了张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有名学生，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 15. 如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴， ∴，， 即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知，， ∴ 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 当时，，此时，故④错误． 三、综合题（75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 已知关于的方程 （1）若该方程的一个根为－2，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一根为0； （2）证明：△， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把代入方程求出的值，故可得出方程，求出方程的解即可； （2）求出△的值，再比较出其大小即可． 【详解】（1）解：将代入方程得， ，解得； 方程为，解得或， 即另一根为0； （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式△：解题的关键是掌握：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 18. 如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求抛物线顶点的坐标； （2）连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 19. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件． （1）求该快递点这三天揽件日平均增长率． （2）按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)， （3）按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)． 【答案】（1） （2） （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为利用第三天的揽件数第一天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四天揽件数第三天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可求出第四天揽件数，取其整数值，即可得出结论； （3）由小区居民数变化不大，可得出这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长． 【小问1详解】 解：设该快递点这三天揽件日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该快递点这三天揽件日平均增长率为； 【小问2详解】 解：根据题意得：（件）． 按这个增长率计算，第四天揽件数约为件． 故答案为：； 【小问3详解】 根据实际情况可得：这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长． 故答案为：不能． 20. 如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？ 【答案】（1）y＝+6；（2）这辆货运卡车能顺利通过隧道． 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象，可以设出抛物线的解析式，然后根据抛物线过点E和点A即可求得该抛物线的解析式； （2）将x＝±3代入（1）中的函数解析式求出相应的函数值，然后和4.5比较大小即可解答本题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c． ∵点E（0，6），点A（﹣5，3）在此抛物线上，∴，得：，∴此抛物线的解析式为y6； （2）当x＝±3时，y6＝4.92＞4.5，即这辆货运卡车能顺利通过隧道． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多． 【答案】（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多． 【解析】 【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解； （2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得： （50﹣x）（40+2x）=2400， 解得：x1=10，x2=20， 因为尽量减少库存，x1=10舍去． 答：每件衬衫应降价20元． （2）设每天盈利为W元，则 W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）2+2450， 当x=15时，W最大为2450． 答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点． （1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点 ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】（1）存在和谐点，和谐点的坐标为， （2）①；②当时，函数的最小值为1，最大值为3 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键． （1）设函数的和谐点为，代入求解即可； （2）①将点代入，再由有且只有一个根，，两个方程联立即可求、的值； ②由①可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意． 【小问1详解】 解：存在和谐点，和谐点的坐标为，； 设函数的和谐点为，可得， 解得或， 和谐点为，； 【小问2详解】 ①点是二次函数的和谐点， ， ， 二次函数的图象上有且只有一个和谐点， 有且只有一个根， ， ，， 该二次函数的表达式为：； ②由①可知，， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， 当时，解得， ∵若时，函数的最小值为1，最大值为3， ∴当时，函数的最小值为1，最大值为3． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； （3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 【答案】（1）； （2）①，；②点P的坐标为；③点P的坐标为 （3）点的坐标为：或或． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的图象和性质，正确确定线段的长度是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①根据点的坐标，即可求解； ②若，则，即可求解； ③若，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 则； ①则，； 故答案为：，； ②若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； 【小问3详解】 解：设点，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：（舍去）或或， 故点的坐标为：或或． 综上，点的坐标为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $