精品解析：辽宁省营口市大石桥市第一初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考试数学试卷

2025－2026学年度上学期九年级数学月考试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的概念．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、 ，不是x的一元二次方程，故A选项不正确； B、 ，时，不是x的一元二次方程，故B选项不正确； C、 ，不是x的一元二次方程，故C选项不正确； D、 ，化简得，是x的一元二次方程，故D选项正确． 故选：D． 2. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元”，可以分别用x表示2020以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为： 万元， 2022的教育经费为：万元， 那么可得方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程． 3. 将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的变化规律“上加下减，左加右减”，写出平移后的解析式即可选择． 【详解】抛物线向右平移2个单位后的解析式为：， 即为．　 再将抛物线向下平移3个单位后的解析式为：．　 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 6. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，注意一元二次方程的二次项系数不能等于0是解题的关键．把代入方程，解之得的值，且，从而得到答案． 【详解】解：把代入方程，得 解得： 故选：C． 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 8. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 采取紧急制动措施的最小安全距离为16米， 故选：C． 9. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象． 【详解】解：当点N在AD上时，即0≤x＜2 ∵AM＝x，AN＝2x， ∴， 此时二次项系数大于0， ∴该部分函数图象开口向上， 当点N在DC上时，即2≤x＜4， 此时底边AM＝x，高AD＝4， ∴y＝＝2x， ∴该部分图象为直线段， 当点N在CB上时，即4≤x＜6时， 此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x， ∴y＝， ∵﹣1＜0， ∴该部分函数图象开口向下， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式特征是关键．根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了_____个人． 【答案】8． 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每人传染x个人，根据经过两轮传染后总共有162人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x个人， 根据题意得：2+2x+x（2+2x）=162， 整理得：x2+2x﹣80=0， 解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为8． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键找准等量关系，正确列出一元二次方程. 13. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 15. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答． 【详解】解：①当时，函数的解析式为， 此时函数的图象与x轴只有一个交点成立， 当时，可得，解得， 与x轴的交点坐标为， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为； ①当时， 函数的图象与x轴只有一个交点， ，即， 解得， 函数的解析式为， 当时，可得， 解得， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为， 综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 这里， ， ∴； 【小问2详解】 解： ， ， ， ，， ∴，． 17. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 18. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解； 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 19. 如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽 【答案】道路的宽为2米 【解析】 【分析】首先假设道路的宽为x米，根据道路的宽为正方形边长的，得出正方形的边长以及道路与正方形的面积进而得出答案． 【详解】解：设道路的宽为x米， 则可列方程： x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2＝×40×24， 即：x2+8x﹣20＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣10（舍去）． 答：道路的宽为2米． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解. 20. 一位助农主播利用（“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】（1） （2），每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答； （2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答． 【小问1详解】 解：， 由 ， 解得． 【小问2详解】 ， 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为（元）． 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元． 21. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 22. 在正方形中，点是边上的点，点在的延长线上，将线段绕点顺时针旋转90度，得到线段，连接． （1）如图1，连接，判断线段与线段的数量关系． （2）如图2，若正好经过点， ①证明：； ②直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； （3）如图3，当经过点时，若，，请直接写出此时正方形边的长度． 【答案】（1） 解：， 证明：四边形是正方形， ，， 线段绕点顺时针旋转，到线段， ，， ， ， ； （2） ①证明：，， ， ， ， ， ； ② （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质和旋转的性质可得，，，由“”可证，可得； （2）①由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得结论； ②由正方形的性质和勾股定理可求，在中，，可得结论； （3）连接，过点作于，由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解 ∶； 理由如下：如图2，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图4，连接，过点作于， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为 ； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】（1）8 （2）c的值是4 （3）h的值为或6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据题意，先求出，再将函数图象上所有点的“纵横值”表示为，即可列方程求解； （3）现将二次函数的解析式化为，然后将函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，令， 则，再根据对称轴的三种不同位置，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为． 故答案为：8． 【小问2详解】 解：由已知得，， 解得， 二次函数的解析式为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 最优纵横值为5， ， ； 【小问3详解】 解：二次函数的顶点在直线上， ， ， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 令， 则， 其对称轴为， 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，即， ， 此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去； 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上所述，h的值为或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期九年级数学月考试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 或2 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为____________ 12. 有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了_____个人． 13. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 15. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________． 三．解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） 17. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 18. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 19. 如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽 20. 一位助农主播利用（“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 21. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 22. 在正方形中，点是边上的点，点在的延长线上，将线段绕点顺时针旋转90度，得到线段，连接． （1）如图1，连接，判断线段与线段的数量关系． （2）如图2，若正好经过点， ①证明：； ②直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； （3）如图3，当经过点时，若，，请直接写出此时正方形边的长度． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为 ； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $