2026-2027学年人教版八年级上册数学期中数学试卷1

2026-2027学年八年级上册数学期中数学试卷1 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）． 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，8cm C．4cm，5cm，6cm D．4cm，4cm，9cm 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：A、2+3＝5，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、3+4＜8，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意； C、4+5＞6，满足三角形三边关系，能构成三角形，符合题意； D、4+4＜9，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段CE B．线段AB C．线段BF D．线段AD 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【解答】解：∵从△ABC的顶点B作对边AC的垂线段是线段BF， ∴AC边上的高是线段BF． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的高的定义． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝34°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，则∠DAE的度数是（　　） A．14° B．15° C．16° D．17° 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BAE的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADB＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠BAD的度数，再将其代入∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD中，即可求出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝34°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣34°＝84°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝×84°＝42°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣62°＝28°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝42°﹣28°＝14°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的角平分线、中线和高，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 6．将一副直角三角尺按如图所示放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【分析】在图形上标上字母，由一副直角三角形的各角度数，可得：∠B＝60°，∠F＝45°，根据三角形的外角性质，可得：∠1＝∠B+∠F，即可得出答案． 【解答】解：如图所示， 由题意，可得∠B＝60°，∠F＝45°， ∴∠1＝∠B+∠F ＝60°+45° ＝105°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，角的计算，掌握三角形的外角性质，角的和差计算是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：由作图知，EF垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC， ∵AB＝AC＝6，BC＝4， ∴△BCD的周长＝6+4＝10， 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝5，则△ABG的面积是（　　） A．28 B．30 C．33 D．35 【分析】过点G作GH⊥AB于点H，由作图可得，AF为∠BAC的平分线，由角平分线的性质可得GH＝CG＝3，再利用三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H， 由作图可得，AF为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴GH＝CG＝3， ∴△ABG的面积为＝＝18． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 9．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，一条船从A岛出发，由西向东航行30海里到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔C的最短距离为（　　） A．30海里 B．25海里 C．20海里 D．15海里 【分析】结合方向角可得∠CAB＝90°﹣75°＝15°，∠ABC＝90°+60°＝150°，由三角形内角和定理、等角对等边可得BC＝AB＝30海里，作CH⊥AB交AB延长线于点H，再根据含30°角的直角三角形特征即可得解． 【解答】解：作CH⊥AB交AB延长线于点D， 依题得：∠CAD＝75°，∠CBE＝60°，AB＝30海里， ∴∠CAB＝90°﹣75°＝15°∠ABC＝90°+60°＝150°， ∴∠BCA＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝15°， ∴BC＝AB＝30海里， 此时∠CBH＝180°﹣∠ABC＝30°， ∵∠CHB＝90°， ∴CH＝BC＝15（海里）， ∴该船与灯塔C的最短距离为15海里． 故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理、含30°角的直角三角形，方向角，解题关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质． 10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　） A．30° B．20° C．15° D．10° 【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠B＝∠1＝60°，而CD＝CG，那么∠CGD＝∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，等量代换有4∠E＝60°，即可求得∠E． 【解答】解：如图所示，标注∠1、∠2， 由条件可知∠B＝∠1＝60°， ∵CD＝CG， ∴∠CGD＝∠2， ∴∠1＝2∠2， ∵DF＝DE， ∴∠DFE＝∠E， ∴∠2＝2∠E， ∴4∠E＝60°， ∴∠E＝15°． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出∠1＝2∠2，∠2＝2∠E． 11．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′．此时恰好点C在A′C′上，A′B交AC于点E，则∠C′CB的度数为（　　） A．30° B．45° C．75° D．60° 【分析】先求出∠ACB＝60°，由旋转的性质得出BC＝BC′，∠ACB＝∠A′C′B＝60°，则△BCC′是等边三角形，即可求出答案． 【解答】解：由条件可知∠ACB＝60°，BC＝BC′，∠ACB＝∠A′C′B＝60°， ∴△BCC′是等边三角形， ∴∠C′CB＝60°， 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 13．一个等腰三角形的一边长为4，周长为18，这个等腰三角形的腰长是（　　） A．4 B．7 C．4或7 D．14 【分析】等腰三角形周长18，一边长为4，需分情况讨论该边是腰或底边，并验证三角形不等式． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 当等腰三角形的腰为4时，则等腰三角形的底边为18﹣4﹣4＝10， 则三角形三边长分别为4、4、10， ∵4+4＝8＜10， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形的底边为4时，则等腰三角形的腰长为， 则等腰三角形的三边长分别为4、7、7， ∵4+7＝11＞7， ∴能构成三角形， ∴等腰三角形的腰长为7． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，关键是相关性质的熟练掌握． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（4，0），若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，AB为半径画圆，以B为圆心，AB为半径画圆，作AB的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【解答】解：∵A（0，4），B（4，0）， ∴OA＝OB＝4， 如图： 以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于C3，得到以A为顶点的等腰△ABC3， 以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于C1，C2，得到以B为顶点的等腰△ABC1，△ABC2， 作AB的垂直平分线，交坐标原点于C4，得到以C4为顶点的等腰△ABC4， 综上所述，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，符合条件的一共有4个， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【分析】连接AD，AP．由AB＝AC，点D是BC边的中点，则AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论， 【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，点D为BC边的中点，连接AD，AP， ∴AD⊥BC， ∴， ∴AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值， ∴△CDP的周长最短＝， 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 16．若点A（2m，﹣3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n＝　﹣5　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求出m，n的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：由题意得，2m＝﹣4，n＝﹣3， ∴m＝﹣2， ∴m+n＝﹣2+（﹣3）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． 17．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，DG为AC的垂直平分线，交AC于G，交BC于D，若BC＝18cm，则DF长为　6cm ． 【分析】连接AF、AD，先由△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°求出∠B及∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质得出BF＝AF，AD＝CD，∠B＝∠BAF，∠C＝∠CAD，由三角形外角的性质求出∠AFD与∠ADF的度数，判断出△AFD是等边三角形，由等边三角形的性质可得到AF＝FD＝AD，故AF＝FD＝AD＝BF＝CD，即3DF＝BC，由BC＝18cm即可求出DF的长． 【解答】解：连接AF、AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵EF、DG分别为线段AB、AC的垂直平分线， ∴BF＝AF，AD＝CD，∠B＝∠BAF＝30°，∠C＝∠CAD＝30°， ∵∠AFD与∠ADF分别是△ABF与△ACD的外角， ∴∠AFD＝∠B+∠BAF＝30°+30°＝60°，∠ADF＝∠C+∠CAD＝30°+30°＝60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴AF＝FD＝AD， ∵BF＝AF，AD＝CD，BC＝18cm， ∴AF＝FD＝AD＝BF＝CD， ∴3DF＝BC＝18cm， ∴DF＝6cm， 故答案为：6cm． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角与外角的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键． 18．如图，等边三角形ABC中，BC＝6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且与AB，AC相交于点M，N，MN∥BC，则MN＝ 　4　 ． 【分析】连接AO，延长AO交BC于点D，由等边三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，由角平分线定义得到∠OBC＝∠OCB＝30°，推出OB＝OC，因此点O、A在BC的垂直平分线上，由等边三角形的性质得到∠MAO＝∠BAC＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到OM＝AM，判定OM＝BM，得到OM＝MB＝AB＝2，同理：ON＝AC＝2，即可求出MN的长． 【解答】解：连接AO，延长AO交BC于点D， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∴点O、A在BC的垂直平分线上， ∴AD⊥BC， ∴∠MAO＝∠BAC＝30°， ∵MN∥BC， ∴AO⊥MN， ∴∠AOM＝90°， ∴OM＝AM， ∵BO平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠OBD， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBD， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴OM＝BM， ∴BM＝AM， ∴OM＝MB＝AB＝2， 同理：ON＝AC＝2， ∴MN＝OM+ON＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出OM＝AB，ON＝AC． 19．如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为 　5　 cm2． 【分析】延长AP交BC于Q，如图，先证明∠BAP＝∠BQP得到BA＝BQ，则利用等腰三角形的性质得到AP＝QP，再根据三角形面积公式得到S△BPQ＝S△ABQ，S△CPQ＝S△CAQ，所以S△PBC＝S△ABC． 【解答】解：延长AP交BC于Q，如图， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠QBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠QPB＝90°， ∴∠BAP＝∠BQP， ∴BA＝BQ， ∵BP⊥AQ， ∴AP＝QP， ∴S△BPQ＝S△ABQ，S△CPQ＝S△CAQ， ∴S△PBC＝S△BPQ+S△CPQ＝（S△ABQ+S△CAQ）＝S△ABC＝×10＝5（cm2）． 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 三．解答题（共8小题） 20．已知：如图，点E，F在BC上，BF＝CE，AB＝CD，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：OE＝OF． 【分析】证明∠AFB＝∠DEC可得结论． 【解答】证明：在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝2，b＝5． （1）当c为偶数时，求c的值； （2）当△ABC为等腰三角形时，求△ABC的周长． 【分析】（1）先根据三角形的三边关系确定c的范围，再根据c为偶数得结论； （2）分类讨论求出△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴b﹣a＜c＜b+a． 即3＜c＜7． 当c为偶数时， c＝4或6． （2）当腰为2时，由于2+2＜5不能构成三角形； 当腰为5时，△ABC的周长为5+5+2＝12． 【点评】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形，掌握三角形的三边关系和分类讨论的思想方法是解决本题的关键． 22．如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝54°，∠B＝24°，求∠DAE的度数． （2）当AD为BC边上的中线时，若AB＝13，△ADC的周长比△ABD的周长少5，求AC的长度． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠DAC，然后根据两锐角互余求出∠EAC，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定BD＝CD，将△ADC的周长比△ABD的周长少5的数量转化成边的数量关系得到AB﹣AC＝5，可求解． 【解答】解：（1）∵∠C＝54°，∠B＝24°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣54°﹣24°＝102°． 又∵． ∴∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣54°＝36°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝51°﹣36°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线， ∴BD＝CD． 又∵AB＝13， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝5， ∴AB﹣AC＝5， ∴AC＝AB﹣5＝13﹣5＝8． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，正确计算是解题关键． 23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．试判断△AEF的形状，并说明理由． 【分析】由EP⊥BC于点P，交AB于点F，得∠BPF＝∠CPE＝90°，∠AFE＝∠BFP，所以∠AFE+∠B＝∠BFP+∠B＝90°，∠E+∠C＝90°，由AB＝AC，得∠B＝∠C，推导出∠AFE＝∠E，则AE＝AF，所以△AEF是等腰三角形． 【解答】解：△AEF是等腰三角形， 理由：∵在△ABC中，点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F， ∴∠BPF＝∠CPE＝90°，∠AFE＝∠BFP， ∴∠AFE+∠B＝∠BFP+∠B＝90°，∠E+∠C＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠AFE＝∠E， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质等知识，推导出∠AFE＝∠E是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD＝DE，且EF垂直平分AC，交AC于点F，连接AE． （1）若∠BAE＝50°，求∠C的度数； （2）若△ABC的周长为20，AC＝8，求DC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝12，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝50°， ∴∠AED＝×（180°﹣50°）＝65°， ∴∠C＝∠AED＝32.5°； （2）∵△ABC周长20，AC＝8， ∴AB+BC＝12， ∴AB+BE+EC＝12， 即2DE+2EC＝12， ∴DE+EC＝6， ∴DC＝DE+EC＝6． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 25．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE＝CF； （2）探究AB、AC和BE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）连接BD、CD，先证出BD＝CD，DE＝DF，再证出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质可得AE＝AF，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BD、CD， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF． （2）解：AB＝AC+2BE，理由如下： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵AD＝AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝AC+CF， ∵BE＝CF， ∴AE＝AC+BE， ∴AB＝AE+BE＝AC+2BE． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． 26．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 【分析】（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上，即可． （2）首先求出AB+AC＝12，再证明DF＝DE，∠AED＝∠AFD＝90°，然后根据面积法进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18， ∴AB+AC＝12， 由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴， ∴， ∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4． 【点评】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12cm，AB＝16cm，AC＝20cm，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿B→C→A运动，到达A点时，停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当点P在BC上时，求CP的长；（用t的代数式表示） （2）当运动时间为4秒时，求△APC的面积； （3）当点P在边CA上运动时，是否存在一个t值，使得△BCP是以BC或BP为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据CP＝BC﹣BP即可列代数式； （2）先求出CP，再由三角形面积公式求解； （3）当以BC为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以BP为底时，则CB＝CP＝12cm，则． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12cm，AB＝16cm，AC＝20cm， 由题意得，CP＝BC﹣BP＝（12﹣2t）cm； （2）当t＝4时，CP＝BC﹣BP＝12﹣2×4＝4（cm），此时点P在BC上， ∴△APC的面积＝； （3）存在，理由如下： 当以BC为底时，PC＝PB， ∴∠C＝∠PBC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠C+∠A＝90°，∠PBC+∠PBA＝90°， ∴∠PBA＝∠A， ∴PB＝PA， ∴， ∴； 当以BP为底时，则CB＝CP＝12cm， ∴， 综上：存在，t的值为11s或12s． 【点评】本题考查了列代数式，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，正确进行计算是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/29 8:17:28；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学期中数学试卷1 一．选择题（共15小题） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，8cm C．4cm，5cm，6cm D．4cm，4cm，9cm 4．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段CE B．线段AB C．线段BF D．线段AD 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝34°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，则∠DAE的度数是（　　） A．14° B．15° C．16° D．17° 6．将一副直角三角尺按如图所示放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝5，则△ABG的面积是（　　） A．28 B．30 C．33 D．35 9．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，一条船从A岛出发，由西向东航行30海里到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔C的最短距离为（　　） A．30海里 B．25海里 C．20海里 D．15海里 10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　） A．30° B．20° C．15° D．10° 11．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′．此时恰好点C在A′C′上，A′B交AC于点E，则∠C′CB的度数为（　　） A．30° B．45° C．75° D．60° 12．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 13．一个等腰三角形的一边长为4，周长为18，这个等腰三角形的腰长是（　　） A．4 B．7 C．4或7 D．14 14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（4，0），若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 二．填空题（共4小题） 16．若点A（2m，﹣3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n＝_______ ． 17．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，DG为AC的垂直平分线，交AC于G，交BC于D，若BC＝18cm，则DF长为________ ． 18．如图，等边三角形ABC中，BC＝6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且与AB，AC相交于点M，N，MN∥BC，则MN＝ _____ ． 19．如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为 _____ cm2． 三．解答题（共8小题） 20．已知：如图，点E，F在BC上，BF＝CE，AB＝CD，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：OE＝OF． 21．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝2，b＝5． （1）当c为偶数时，求c的值； （2）当△ABC为等腰三角形时，求△ABC的周长． 22．如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝54°，∠B＝24°，求∠DAE的度数． （2）当AD为BC边上的中线时，若AB＝13，△ADC的周长比△ABD的周长少5，求AC的长度． 23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．试判断△AEF的形状，并说明理由． 24．如图在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD＝DE，且EF垂直平分AC，交AC于点F，连接AE． （1）若∠BAE＝50°，求∠C的度数； （2）若△ABC的周长为20，AC＝8，求DC的长． 25．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE＝CF； （2）探究AB、AC和BE的数量关系，并说明理由． 26．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12cm，AB＝16cm，AC＝20cm，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿B→C→A运动，到达A点时，停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当点P在BC上时，求CP的长；（用t的代数式表示） （2）当运动时间为4秒时，求△APC的面积； （3）当点P在边CA上运动时，是否存在一个t值，使得△BCP是以BC或BP为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $