专题2.3 绝对值与相反数（6大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦绝对值与相反数核心知识点，从定义（绝对值为距离、相反数仅符号不同）、几何意义（数轴距离、原点对称）到代数性质（绝对值非负性、分类化简），构建从概念到应用的递进学习支架，涵盖多重符号化简、大小比较及非负性拓展等关键内容。 资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固抽象能力（如绝对值求解），培优题型提升推理意识（如非负性求值），压轴题型通过生活情境（如行程问题）培养应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学思维与表达能力。

专题2.3 绝对值与相反数 知识点1：绝对值的定义与几何意义   1. 定义：数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫作这个数的绝对值，数a的绝对值记作|a|。   2. 几何意义：绝对值表示数轴上点到原点的距离，距离为非负数值；点离原点越远，绝对值越大，点离原点越近，绝对值越小。   3. 非负性：任意有理数的绝对值都大于或等于0，即|a|≥0，不存在绝对值为负数的数。 知识点2：绝对值的代数性质   根据有理数的正负属性，可将绝对值化简分为三类，是绝对值运算的核心依据：   1. 若a＞0（正数），则|a|=a，正数的绝对值是它本身；   2. 若a＜0（负数），则|a|=-a，负数的绝对值是它的相反数；   3. 若a=0（0），则|0|=0，0的绝对值是0。 知识点3：相反数的定义与性质   1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，相反数成对出现（0除外）。   2. 几何意义：数轴上位于原点两侧、且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。   3. 核心性质：互为相反数的两个数绝对值相等，即|-a|=|a|；任意数有且仅有一个相反数。   4. 正负规律：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数仍是0。 知识点4：多重符号的化简规则   1. 化简依据：基于相反数的定义，-a表示数a的相反数。   2. 符号规律：化简结果与式子中“+”号个数无关，仅由“-”号个数决定；负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。   3. 核心结论：一个数的相反数的相反数是它本身，即-(-a)=a。 知识点5：利用绝对值比较有理数大小   本规则适用于两个负数的大小比较，结合正数、负数基础大小规律，完整覆盖有理数大小比较场景： 比较对象 比较规则 核心原理 两个正数 绝对值越大，数值越大 正数在原点右侧，绝对值越大，点位越靠右 两个负数 绝对值越大，数值越小 负数在原点左侧，绝对值越大，点位越靠左 正数与负数 正数＞负数 数轴上正数点位恒在负数点位右侧 知识点6：绝对值非负性拓展结论   1. 若|a|+|b|+…+|m|=0，则a=b=…=m=0，多个非负数和为0，每个非负数必为0。   2. 绝对值等于本身的数是非负数（a≥0），绝对值等于相反数的数是非正数（a≤0）。 【基础必考题型】 【题型1】基础绝对值求解 1. 核心知识点   绝对值的定义、几何意义；正数、负数、0的绝对值化简规则；绝对值的非负性。 2. 解题方法技巧   ① 判断数的正负属性，套用对应绝对值化简公式直接求解；   ② 0的绝对值恒为0，正数绝对值为自身，负数去掉负号即为绝对值；   ③ 求解后可结合“距离原点的长度”验证结果是否为非负数。 【例题1】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：∵，和互为相反数， ∴与互为相反数. 【变式题1-2】.（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算：（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：． 【变式题1-3】.（25-26六年级上·上海·期中）___________． 【答案】 【详解】解：． 【题型2】相反数基础判定与求解 1. 核心知识点   相反数的定义、几何意义；0的相反数特殊性；互为相反数的核心特征。 2. 解题方法技巧   ① 判定相反数：仅符号不同、数值完全相同的两个数互为相反数；   ② 求相反数：在原数整体前添加负号，0的相反数直接判定为0；   ③ 区分相反数与倒数，避免概念混淆，明确相反数仅改变符号。 【例题2】.（2026·江苏徐州·模拟预测）2的相反数是（     ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：的相反数是2 【变式题2-2】.（25-26七年级下·陕西渭南·期末）的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的基本定义，直接根据定义计算即可得到结果； 【详解】解：根据相反数定义，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ； 【变式题2-3】.（2026·浙江绍兴·二模）下列四个数，是2026的相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 【题型3】多重符号化简运算 1. 核心知识点   多重符号化简规则；相反数的嵌套运算；符号正负的判定规律。 2. 解题方法技巧   ① 先省略所有正号，仅统计式子中负号的总个数；   ② 负号偶数个结果为正，负号奇数个结果为负，快速判定符号；   ③ 嵌套符号从内向外逐层化简，降低运算失误率。 【例题3】.（2026七年级上·全国·专题练习）___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 【详解】解：． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）有下列各数：，，，，．其中，正数的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】化简各数，根据正数的定义选出即可． 【详解】解： 为负数. ，为正数. ，为正数. ，为负数. ，为正数. 其中，正数的个数是． 【变式题3-2】.（25-26六年级上·四川成都·期末）下列各组数中，互为相反数的有（    ） ①与； ②与； ③与． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再依据“只有符号不同两个数互为相反数；特别的，0的相反数为0”的定义，逐一判断每组数是否互为相反数，最后统计符合条件的组数． 【详解】①∵，∴与是同一个数，不是相反数， ②∵，∴与只有符号不同，互为相反数，即：与互为相反数， ③∵，∴与只有符号不同，互为相反数，即：与互为相反数． 综上，②③两组数互为相反数，共有组． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由符号规律直接化简即可得到答案； （2）由符号规律直接化简即可得到答案； （3）由符号规律直接化简即可得到答案； （4）由符号规律直接化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型4】基础有理数大小比较 1. 核心知识点   绝对值大小比较规则；正负数、0的基础大小关系；两个负数的大小比较方法。 2. 解题方法技巧   ① 先区分正负，正数大于0，0大于负数；   ② 两个负数比较，先求绝对值，绝对值大的数反而小；   ③ 含多重符号的数先化简，再比较大小。 【例题4】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在给出的数、、中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题干给出的数为，，， ∴不在给出的数范围内，排除A； ∵， ∴最小的数是． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断出和的范围，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用两个负数比较大小的法则解答即可； （2）先化简绝对值，再根据有理数的大小比较法则进行解答； （3）利用两个负数比较大小的法则解答即可； （4）先分别化简两个数，再根据有理数的大小比较法则进行解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解：， ； （4）解：，，， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 【培优高频题型】 【题型5】已知绝对值反向求数 1. 核心知识点   绝对值的几何意义；绝对值为正数的数的双解性；绝对值为0的唯一性。 2. 解题方法技巧   ① 若|x|=a（a＞0），则x有两个解，为±a，两数互为相反数；   ② 若|x|=0，则x=0，仅有唯一解；   ③ 结合题干附加条件（正负、大小）筛选有效解，排除不符合条件的答案。 【例题5】.（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若，且，则_________． 【答案】3 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再结合即可得． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵， ∴． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）式子时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值为0的条件：若，则，求解关于x的方程即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）若，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的定义，互为相反数的两个数绝对值相等，据此求解的值． 【详解】解：∵， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·山西阳泉·期末）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的性质，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【题型6】绝对值非负性求值运算 1. 核心知识点   绝对值的非负性；多个非负数和为0的核心结论；代数式代入求值。 2. 解题方法技巧   ① 若多个绝对值相加和为0，可直接判定每个绝对值内的式子值均为0；   ② 列方程求解未知数，再代入代数式计算最终结果；   ③ 注意区分“绝对值和为0”与“绝对值相等”的不同结论。 【例题6】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 【变式题6-1】.（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）若关于的方程和的解相同，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握以上知识点是关键． 解第二个方程，求出的值，代入第一个方程，得到相关等式，再根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 把代入， 可得， ， 解得，． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）若  ，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，由此可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 且， ∴ ， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：1． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·吉林辽源·期中）已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负性求解． （1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解； （2）代入的值计算，再求其倒数． 【详解】（1）解：由题意可得：． 解得； （2）解：将代入，得： ， 5的倒数是， 的倒数是． 【题型7】数轴与相反数、绝对值综合判定 1. 核心知识点   数轴的点位分布规律；相反数的几何对称性；绝对值与数轴距离的关联。 2. 解题方法技巧   ① 根据数轴点位位置，判断数的正负、绝对值大小；   ② 利用相反数的对称性，快速确定原点位置及未知点位数值；   ③ 结合数轴“左小右大”规律，综合比较多个数及其相反数的大小。 【例题7】.（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）已知和互为相反数，和互为倒数，且的绝对值等于2． 求式子：的值． 解：与互为相反数，与互为倒数，且的绝对值等于2， _____，_____，_____（此行直接写结果） 则 =_______________（此行将上面的结果数据代入后写出来） =__________（此行写出最后结果） 【答案】0，1，，， 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，通过绝对值求一个数，代数式求值等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据相反数，倒数，通过绝对值求一个数，得出，，，然后代入求值即可． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，且， ，， 则 故答案为：0，1，，，． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是_______． (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是______．请写出此时点A，B，C，D，E表示的数，并指出哪一个点表示的数的绝对值最小． 【答案】(1) (2)5，点A表示，点B表示4，点C表示0，点D表示，点E表示，点C表示的数的绝对值最小 【分析】此题考查数轴，利用相反数的意义确定出原点的位置是解决问题的关键． （1）根据互为相反数的两数表示的点关于原点对称可知的中点即为原点，据此即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数表示的点关于原点对称可知的中点即为原点，据此即可得出各点所表示的数，再根据绝对的定义即可得到绝对值最小的点所表示的数． 【详解】（1）解：根据题意得， 点A，B表示的数互为相反数，即点A，B到原点的距离相等，有， 点A表示，点B表示3， 点C表示， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 点B，E表示的数互为相反数，即点B，E到原点的距离相等，有， 点E表示，点B表示4， 点A表示，点C表示0，点D表示，点E表示， 点D表示的数的绝对值为， ， 点C表示的数的绝对值最小． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）化简与求值： 已知、互为相反数，的绝对值为2，求 的值． 【答案】2 或 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的意义，代数式求值，根据相反数的定义和绝对值的意义得出，或，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴  ， ∴  ， 又， ∴或． ∴ 原式 或． 答：的值为2或 【变式题7-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图，结合数轴与绝对值的知识可知：一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示数3和数的两点之间的距离是______；若表示数和数的两点之间的距离是5，则______； (2)（i）若数轴上表示数的点位于与7之间，则的值为______； （ii）若将数轴折叠，使得数2表示的点与数表示的点重合，此时数轴上的点，（点在点的左侧）也互相重合．若数轴上，两点之间的距离为1018，求点，分别表示的数． 【答案】(1)4，或3 (2)（i）10；（ii）点表示的数为，点表示的数为 【分析】此题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解； （2）根据两点间的距离的表示列式计算即可得解； （3）根据数2表示的点与数表示的点重合可得对称中心，根据题意得出、两点到对称中心的距离，继而由对称中心分别向左和向右得出点、所表示的数． 【详解】（1）解：数轴上表示数3和数的两点之间的距离是， ∵表示数和数的两点之间的距离是5， ∴， 或， 解得：或； 故答案为：4，或3． （2）解：（i）∵表示数的点位于与7之间， ， ． （ii）∵数轴上、两点之间的距离为1018， ∴点、到对称中心的距离为， 若沿数2表示的点与表示的点重合，则对称中心为， 则点表示数，点表示数． 【压轴素养题型】 【题型8】绝对值生活情境应用 1. 核心知识点   绝对值的几何意义；非负数的实际应用；误差、偏差类问题的数学建模。 2. 解题方法技巧   ① 实际情境中，偏差、误差的绝对值越小，对应数据越接近标准值；   ② 先计算所有偏差数据的绝对值，再通过大小比较判断优劣、合格性；   ③ 结合题干给定标准阈值，区分合格、不合格数据。 【例题8】.（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下：  （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ． (1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？ 【答案】(1)东，千米； (2)度． 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）计算刘师傅行驶路程的代数和即可得解； （）计算出每段行驶路程的绝对值的和，再乘以即为刘师傅的汽车一共耗电量． 【详解】（1）解：所有里程的代数和为：（千米）， ∵结果为正， ∴最终位置在出发点的东面，距离千米， 答：东，千米； （2）解：由题意得，（千米）， ∵每千米耗电度， ∴总耗电量为（度）， 答：刘师傅的汽车一共耗电度． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）无人机的迅速发展，大幅提升了人们的生产效率．小米汽车引进具备新型分析功能的无人机，用于改进工作流程——以监控中心为原点，规定向东为正方向，对东西方向的汽车生产线进行往返巡查，实时监控生产线动态．以下是该无人机利用规划的10次巡查的飞行数据（单位：米）：，，，，，，，，，． 根据以上信息回答问题： (1)出发后无人机在这10次巡查中，无人机距监控中心最远____米，最近____米． (2)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (3)已知无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机能否回到监控中心？ 【答案】(1)550，20 (2)1700 (3)不能 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别算出每一次巡查与监控中心的距离，再进行比较大小，即可作答． （2）要求无人机一共飞行的距离，只需要将每次飞行的距离的绝对值相加即可； （3）将所有飞行数据相加，结果不为0，结合（2）的结论以及无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，得不能回到监控中心，即可作答． 【详解】（1）解：第一次：（米）， 第二次：（米）， 第三次；（米）， 第四次：（米）， 第五次：（米）， 第六次；（米）， 第七次：（米）， 第八次：（米）， 第九次；（米）， 第十次：（米）， ∵ ∴出发后无人机在每次巡查中，无人机距监控中心最远550米，最近20米． （2）解：由题意得（米）， 答：无人机在这10次巡查中一共飞行了1700米； （3）解：（米）， 由（2）得无人机10次巡查共飞行1700米，第10次飞行结束后距离监控中心200米，返回监控中心还需飞行200米， ∴总飞行距离为米， ∵， ∴电池电量不足以支持其回到监控中心 【变式题8-2】.（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【答案】(1)A、D (2)距出发地30米，在出发地的东面 (3)能 【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； （2）将行走记录数据相加，根据正负数的意义判断即可； （3）将行走记录数据的绝对值相加，求出总路程，再求出油的剩余量，比较从收工位置到B处耗油与余油量即可判断． 本题考查正负数的实际应用、正负数的加减法、绝对值的应用． 【详解】（1）解：若A为原点，，当时，， 同理D也可为原点， 若B为原点，则，即B不可能为原点， 同理C也不可能为原点， 故可能作为出发地（数轴的原点）的是A、D； 故答案为：A、D； （2）解：， 故收工时，距出发地30米，在出发地的东面； （3）解：检修走的总路程为， 总耗油（升）， 剩余油量（升）， 收工时，在A的东面30米D处，千米， 从D到B需耗油（升）， ∵， ∴检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·云南曲靖·期中）某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边？距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)在A地南边，距A地千米； (2)千米； (3)升． 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数运算的应用，绝对值的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把所给的路程记录相加，如果结果为正，则在地南边，如果结果为负则在地北边，如果为则在地，据此求解即可； （）把每次所走的路程相加即可得到答案； （）根据“油耗每千米油耗路程”进行求解即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时，检修队在地南边，距地千米． （2）解：（千米）， 答：从出发到收工时，汽车共行驶千米； （3）解：（升）， 答：汽车共耗油升． 【题型9】绝对值最值探究问题 1. 核心知识点   绝对值的非负性；数轴距离的几何意义；代数式最值的动态探究。 2. 解题方法技巧   ① 含单个绝对值的代数式，利用|a|≥0判断最值，绝对值为0时取极值；   ② 多个绝对值和的最值，结合数轴几何意义，找点的最优位置；   ③ 区分最大值与最小值的取值条件，精准确定参数取值。 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【变式题9-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； 【答案】(1)5，2 (2)①或；②，0；③；④ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得； ②根据绝对值的意义可得； ③的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短即可求得答案． 【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数-1的点和表示数的点之间的距离是． （2）数轴上点A用数a表示， ①若，则或， ∴或． ②∵表示数轴上到表示点a的数的点和表示的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0． ③∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和， 由两点之间线段最短可知：当时， 有最小值，最小值为． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·广东肇庆·阶段检测）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)_________________；当时，______________． (2)表示___________与_________之间的距离；表示________与_________之间的距离；找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有________________（直接写出答案）； (3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数，；是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)拓展：的最小值是：_______________．（直接写出答案） 【答案】(1)7， (2)x，；x，2；； (3)有最小值，最小值是9 (4)625 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值的几何意义，解绝对值方程，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据绝对值的意义求出，进而得到，据此求解即可； （2）根据绝对值的几何意义即可得到答案，再根据题意解绝对值方程即可解答； （3）分当时，当时当时，三种情况去绝对值即可得到答案． （4）利用绝对值的几何意义，将表达式转化为数轴上点到多个点的距离之和，分析中间点确定最小值即可． 【详解】（1）解：； ∵， ∴， ∴， 故答案为：7，； （2）解：由题意得，表示x与之间的距离，表示x与2之间的距离， 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时， ∵， ∴，即， ∴此时满足题意的整数为； 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，满足题意的整数为； 故答案为：x，；x，2；； （3）解：|有最小值，最小值是9． 理由：当时，； 当时，； 当时，， ∴有最小值，最小值是9． （4）相当于数轴上表示x的点到点1,2,3,4,,50的距离和， 当x在1和50之间时，有最小值49， 当x在2和49之间时，有最小值47， 当x在3和48之间时，有最小值45， ， 当x在25和26之间时，有最小值1， 综上，当x在25和26之间时，的最小值是 ， 故答案为：625 【变式题9-3】.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 【答案】(1)；；不是 (2)； (3)②， 对于：   ∵，在到之间（包括和）时，最大值为、最小值为 ∴式子最大值为，最小值为． ∵且，符合要求，故②是；   【分析】本题考查了数轴上绝对值的性质、一次函数的增减性及线段“完美”式子的定义应用，解题的关键是紧扣“完美”式子的定义（在到之间，包括和时，最大值且最小值），通过分析绝对值或一次函数在该范围内的最值，判断是否满足定义． （1）确定在到之间（包括和），根据绝对值性质找的最值（端点时最大，顶点时最小），再对比“完美”式子条件；   （2）先求在在到之间（包括和）的最值（时最小，时最大），根据的最值要求列不等式，求解的范围及最值；   （3）对每个式子分别分析：①利用一次函数增减性求最值；②化简后求最值；③分段讨论绝对值表达式求最值，筛选符合“完美”定义的式子． 【详解】（1）∵在数轴上、之间（包括、）， ∴在到之间（包括和）．   对于：   当时，；当时，；当时，， ∴的最大值是，最小值是， 又∵“完美”式子要求最大值，而， ∴式子不是线段的“完美”式子．   故答案为：；；不是； （2）∵在到之间（包括和）， 对于：   当时，取最小值；当时，取最大值， ∵是“完美”式子， ∴需满足：   最大值：；   最小值： ∴在到之间（包括和），则的最大值是，最小值是． 故答案为：；； （3）∵在到之间（包括和），逐一验证式子：   ①对于：   ∵，式子随增大而增大． 当时，（最小值<-2），不符合要求，故①不是；   ②略 ③对于：   当在到之间（包括和）时， 式子（最小值），不符合要求，故③不是；   综上，是线段“完美”式子的是②．   故答案为：②； 易错点 1、混淆负数的绝对值运算，误将负数的绝对值算成负数，忽略绝对值恒为非负数的核心属性。 2、已知绝对值求数时，遗漏正数对应的两个相反数解，仅保留正数解，造成漏解。 3、两个负数大小比较出错，误用“绝对值大的数更大”的正数比较规则，颠倒大小关系。 4、多重符号化简时，错数负号个数，混淆正负结果，或误将正号参与符号判定。 5、忽略0的特殊性，误认为相反数等于本身的数有多个，或0没有绝对值、没有相反数。 重点 1、掌握绝对值的定义、代数性质与非负性，能熟练对任意有理数化简绝对值。 2、掌握相反数的定义、求法与几何意义，精准完成多重符号化简运算。 3、熟练运用绝对值比较两个负数的大小，掌握完整的有理数大小比较体系。 4、掌握绝对值非负性的核心应用，能解决非负数和为0的求值问题。 5、能结合数轴综合运用相反数、绝对值知识，解决基础数形结合问题。 难点 1、含参数、含数轴条件的绝对值化简，需结合取值范围分类讨论，逻辑复杂度高。 2、绝对值最值探究问题，结合数轴几何意义分析动态取值，突破常规运算思维。 3、相反数、绝对值、数轴的综合压轴题型，融合多知识点，需灵活数形结合推理。 4、新型情境、跨学科应用题的建模，将实际场景转化为绝对值、相反数数学问题求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列温度中，最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最低温度对应数值最小的有理数，比较四个数的大小即可． 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，两个负数中绝对值大的数更小． ，， ， ∴， ∴， 即最低的是． 2．下列说法中，错误的是（      ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．绝对值最小的数是0 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、相反数，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质、相反数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、一个数的绝对值一定是非负数，则此项说法错误，符合题意； B、因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等，则此项说法正确，不符合题意； C、由绝对值的非负性可知，绝对值最小的数是0，则此项说法正确，不符合题意； D、绝对值等于它本身的数是正数和0，即非负数，则此项说法正确，不符合题意； 故选：A． 3．某天上午9时，河南省四个城市的气温如下，则气温最低的城市是（    ）． 郑州 濮阳 周口 信阳 A．郑州 B．濮阳 C．周口 D．信阳 【答案】B 【详解】解：四个城市的气温分别为郑州，濮阳，周口，信阳， ∵ 负数小于，小于正数，且， ∴ ， ∴ 气温最低的城市是濮阳. 二、填空题 4．计算：______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：． 5．当______时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程的应用，相反数的性质；根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为零，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：依题意，得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 故答案为：． 6．比较大小：________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先分别化简两个式子，再比较化简结果的大小， 【详解】解： ∵ ， ， ∴． 三、解答题 7．在数轴上表示下列各数，并分别写出它们的绝对值： ，，，，． 【答案】各数在数轴上的表示如图： 各数的绝对值分别为，，，， 【分析】将各数表示在数轴上，再结合绝对值的意义计算即可得出结果． 【详解】解：图略， 各数的绝对值分别为，，，，． 8．在数轴上表示正数a及其相反数的两个点之间的距离是多少？ 【答案】 【详解】解：正数a的相反数为，到原点的距离为a， ∴在数轴上表示正数a及其相反数的两个点之间的距离是． 9．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2) 在数轴上表示各数，如图： 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 用“”连接各数为：． 10．已知． (1)求与的值； (2)求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值的非负性计算解答即可； （2）先计算的值，后计算相反数即可． 本题考查了绝对值的非负性，相反数，有理数的混合运算，熟练掌握非负性，混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵14的相反数是， 故的相反数是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 绝对值与相反数 知识点1：绝对值的定义与几何意义   1. 定义：数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫作这个数的绝对值，数a的绝对值记作|a|。   2. 几何意义：绝对值表示数轴上点到原点的距离，距离为非负数值；点离原点越远，绝对值越大，点离原点越近，绝对值越小。   3. 非负性：任意有理数的绝对值都大于或等于0，即|a|≥0，不存在绝对值为负数的数。 知识点2：绝对值的代数性质   根据有理数的正负属性，可将绝对值化简分为三类，是绝对值运算的核心依据：   1. 若a＞0（正数），则|a|=a，正数的绝对值是它本身；   2. 若a＜0（负数），则|a|=-a，负数的绝对值是它的相反数；   3. 若a=0（0），则|0|=0，0的绝对值是0。 知识点3：相反数的定义与性质   1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，相反数成对出现（0除外）。   2. 几何意义：数轴上位于原点两侧、且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。   3. 核心性质：互为相反数的两个数绝对值相等，即|-a|=|a|；任意数有且仅有一个相反数。   4. 正负规律：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数仍是0。 知识点4：多重符号的化简规则   1. 化简依据：基于相反数的定义，-a表示数a的相反数。   2. 符号规律：化简结果与式子中“+”号个数无关，仅由“-”号个数决定；负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。   3. 核心结论：一个数的相反数的相反数是它本身，即-(-a)=a。 知识点5：利用绝对值比较有理数大小   本规则适用于两个负数的大小比较，结合正数、负数基础大小规律，完整覆盖有理数大小比较场景： 比较对象 比较规则 核心原理 两个正数 绝对值越大，数值越大 正数在原点右侧，绝对值越大，点位越靠右 两个负数 绝对值越大，数值越小 负数在原点左侧，绝对值越大，点位越靠左 正数与负数 正数＞负数 数轴上正数点位恒在负数点位右侧 知识点6：绝对值非负性拓展结论   1. 若|a|+|b|+…+|m|=0，则a=b=…=m=0，多个非负数和为0，每个非负数必为0。   2. 绝对值等于本身的数是非负数（a≥0），绝对值等于相反数的数是非正数（a≤0）。 【基础必考题型】 【题型1】基础绝对值求解 1. 核心知识点   绝对值的定义、几何意义；正数、负数、0的绝对值化简规则；绝对值的非负性。 2. 解题方法技巧   ① 判断数的正负属性，套用对应绝对值化简公式直接求解；   ② 0的绝对值恒为0，正数绝对值为自身，负数去掉负号即为绝对值；   ③ 求解后可结合“距离原点的长度”验证结果是否为非负数。 【例题1】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题1-2】.（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算：（     ） A． B． C． D．2 【变式题1-3】.（25-26六年级上·上海·期中）___________． 【题型2】相反数基础判定与求解 1. 核心知识点   相反数的定义、几何意义；0的相反数特殊性；互为相反数的核心特征。 2. 解题方法技巧   ① 判定相反数：仅符号不同、数值完全相同的两个数互为相反数；   ② 求相反数：在原数整体前添加负号，0的相反数直接判定为0；   ③ 区分相反数与倒数，避免概念混淆，明确相反数仅改变符号。 【例题2】.（2026·江苏徐州·模拟预测）2的相反数是（     ） A．2 B．0 C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D．2 【变式题2-2】.（25-26七年级下·陕西渭南·期末）的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·浙江绍兴·二模）下列四个数，是2026的相反数的是（     ） A． B． C． D． 【题型3】多重符号化简运算 1. 核心知识点   多重符号化简规则；相反数的嵌套运算；符号正负的判定规律。 2. 解题方法技巧   ① 先省略所有正号，仅统计式子中负号的总个数；   ② 负号偶数个结果为正，负号奇数个结果为负，快速判定符号；   ③ 嵌套符号从内向外逐层化简，降低运算失误率。 【例题3】.（2026七年级上·全国·专题练习）___________． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）有下列各数：，，，，．其中，正数的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题3-2】.（25-26六年级上·四川成都·期末）下列各组数中，互为相反数的有（    ） ①与； ②与； ③与． A．组 B．组 C．组 D．组 【变式题3-3】.（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】基础有理数大小比较 1. 核心知识点   绝对值大小比较规则；正负数、0的基础大小关系；两个负数的大小比较方法。 2. 解题方法技巧   ① 先区分正负，正数大于0，0大于负数；   ② 两个负数比较，先求绝对值，绝对值大的数反而小；   ③ 含多重符号的数先化简，再比较大小。 【例题4】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在给出的数、、中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【培优高频题型】 【题型5】已知绝对值反向求数 1. 核心知识点   绝对值的几何意义；绝对值为正数的数的双解性；绝对值为0的唯一性。 2. 解题方法技巧   ① 若|x|=a（a＞0），则x有两个解，为±a，两数互为相反数；   ② 若|x|=0，则x=0，仅有唯一解；   ③ 结合题干附加条件（正负、大小）筛选有效解，排除不符合条件的答案。 【例题5】.（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若，且，则_________． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）式子时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题5-2】.（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）若，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·山西阳泉·期末）若，则___________． 【题型6】绝对值非负性求值运算 1. 核心知识点   绝对值的非负性；多个非负数和为0的核心结论；代数式代入求值。 2. 解题方法技巧   ① 若多个绝对值相加和为0，可直接判定每个绝对值内的式子值均为0；   ② 列方程求解未知数，再代入代数式计算最终结果；   ③ 注意区分“绝对值和为0”与“绝对值相等”的不同结论。 【例题6】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【变式题6-1】.（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）若关于的方程和的解相同，求和的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）若  ，则的值为___________． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·吉林辽源·期中）已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【题型7】数轴与相反数、绝对值综合判定 1. 核心知识点   数轴的点位分布规律；相反数的几何对称性；绝对值与数轴距离的关联。 2. 解题方法技巧   ① 根据数轴点位位置，判断数的正负、绝对值大小；   ② 利用相反数的对称性，快速确定原点位置及未知点位数值；   ③ 结合数轴“左小右大”规律，综合比较多个数及其相反数的大小。 【例题7】.（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）已知和互为相反数，和互为倒数，且的绝对值等于2． 求式子：的值． 解：与互为相反数，与互为倒数，且的绝对值等于2， _____，_____，_____（此行直接写结果） 则 =_______________（此行将上面的结果数据代入后写出来） =__________（此行写出最后结果） 【变式题7-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是_______． (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是______．请写出此时点A，B，C，D，E表示的数，并指出哪一个点表示的数的绝对值最小． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）化简与求值： 已知、互为相反数，的绝对值为2，求 的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图，结合数轴与绝对值的知识可知：一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示数3和数的两点之间的距离是______；若表示数和数的两点之间的距离是5，则______； (2)（i）若数轴上表示数的点位于与7之间，则的值为______； （ii）若将数轴折叠，使得数2表示的点与数表示的点重合，此时数轴上的点，（点在点的左侧）也互相重合．若数轴上，两点之间的距离为1018，求点，分别表示的数． 【压轴素养题型】 【题型8】绝对值生活情境应用 1. 核心知识点   绝对值的几何意义；非负数的实际应用；误差、偏差类问题的数学建模。 2. 解题方法技巧   ① 实际情境中，偏差、误差的绝对值越小，对应数据越接近标准值；   ② 先计算所有偏差数据的绝对值，再通过大小比较判断优劣、合格性；   ③ 结合题干给定标准阈值，区分合格、不合格数据。 【例题8】.（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下：  （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ． (1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？ 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）无人机的迅速发展，大幅提升了人们的生产效率．小米汽车引进具备新型分析功能的无人机，用于改进工作流程——以监控中心为原点，规定向东为正方向，对东西方向的汽车生产线进行往返巡查，实时监控生产线动态．以下是该无人机利用规划的10次巡查的飞行数据（单位：米）：，，，，，，，，，． 根据以上信息回答问题： (1)出发后无人机在这10次巡查中，无人机距监控中心最远____米，最近____米． (2)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (3)已知无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机能否回到监控中心？ 【变式题8-2】.（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【变式题8-3】.（25-26七年级上·云南曲靖·期中）某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边？距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油多少升？ 【题型9】绝对值最值探究问题 1. 核心知识点   绝对值的非负性；数轴距离的几何意义；代数式最值的动态探究。 2. 解题方法技巧   ① 含单个绝对值的代数式，利用|a|≥0判断最值，绝对值为0时取极值；   ② 多个绝对值和的最值，结合数轴几何意义，找点的最优位置；   ③ 区分最大值与最小值的取值条件，精准确定参数取值。 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【变式题9-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； 【变式题9-2】.（25-26七年级上·广东肇庆·阶段检测）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)_________________；当时，______________． (2)表示___________与_________之间的距离；表示________与_________之间的距离；找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有________________（直接写出答案）； (3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数，；是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)拓展：的最小值是：_______________．（直接写出答案） 【变式题9-3】.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 易错点 1、混淆负数的绝对值运算，误将负数的绝对值算成负数，忽略绝对值恒为非负数的核心属性。 2、已知绝对值求数时，遗漏正数对应的两个相反数解，仅保留正数解，造成漏解。 3、两个负数大小比较出错，误用“绝对值大的数更大”的正数比较规则，颠倒大小关系。 4、多重符号化简时，错数负号个数，混淆正负结果，或误将正号参与符号判定。 5、忽略0的特殊性，误认为相反数等于本身的数有多个，或0没有绝对值、没有相反数。 重点 1、掌握绝对值的定义、代数性质与非负性，能熟练对任意有理数化简绝对值。 2、掌握相反数的定义、求法与几何意义，精准完成多重符号化简运算。 3、熟练运用绝对值比较两个负数的大小，掌握完整的有理数大小比较体系。 4、掌握绝对值非负性的核心应用，能解决非负数和为0的求值问题。 5、能结合数轴综合运用相反数、绝对值知识，解决基础数形结合问题。 难点 1、含参数、含数轴条件的绝对值化简，需结合取值范围分类讨论，逻辑复杂度高。 2、绝对值最值探究问题，结合数轴几何意义分析动态取值，突破常规运算思维。 3、相反数、绝对值、数轴的综合压轴题型，融合多知识点，需灵活数形结合推理。 4、新型情境、跨学科应用题的建模，将实际场景转化为绝对值、相反数数学问题求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列温度中，最低的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，错误的是（      ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．绝对值最小的数是0 D．绝对值等于它本身的数是非负数 3．某天上午9时，河南省四个城市的气温如下，则气温最低的城市是（    ）． 郑州 濮阳 周口 信阳 A．郑州 B．濮阳 C．周口 D．信阳 二、填空题 4．计算：______． 5．当______时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 6．比较大小：________．（填“”、“”或“”） 三、解答题 7．在数轴上表示下列各数，并分别写出它们的绝对值： ，，，，． 8．在数轴上表示正数a及其相反数的两个点之间的距离是多少？ 9．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 10．已知． (1)求与的值； (2)求的相反数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $