第二十七章 反比例函数单元复习+小测（核心知识+6易错辨析+8典例精讲）2026-2027学年人教版九年级数学上册秋期复习讲义+重难点专题训练

第二十七章 反比例函数单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+8典例精讲） 【知识点01】反比例函数的概念 一般地，形如 y = （k 为常数，且 k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 反比例函数解析式有三种常见形式，三者等价： 1.y = （k ≠ 0）——分式形式； 2.y = k·x⁻¹（k ≠ 0）——幂形式； 3.xy = k（k ≠ 0）——乘积形式（两个变量的乘积为常数）。 反比例函数解析式中只有一个待定常数 k，通常用待定系数法求解析式：将图象上一点的坐标代入 xy = k，求出 k 值即可。 【知识点02】反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成。双曲线与坐标轴永不相交，且无限接近坐标轴；|k| 越大，双曲线离坐标轴越远。 性质 k > 0 k < 0 图象位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 关于原点中心对称；关于直线 y=x、y=-x 轴对称 同左 特别提醒：增减性必须以“在每一个象限内”为前提，不能脱离象限笼统地说 y 随 x 的增大而增大或减小，也不能跨象限比较函数值的大小。 【知识点03】比例系数 k 的几何意义 过反比例函数 y = （k ≠ 0）图象上任意一点 P，分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则： 4.矩形 PAOB 的面积 = |k|（即过 P 的垂线与两坐标轴围成的矩形面积恒为 |k|，与 P 的位置无关）； 5.连接 PO，三角形 POA（或 POB）的面积 =　。 利用这一性质，可将双曲线上的点与矩形、三角形的面积相互转化，是中考几何综合题的重要载体。 【知识点04】实际问题与反比例函数 用反比例函数解决实际问题的基本步骤： 6.审题，找出两个变量之间的反比例关系（乘积为常数）； 7.设出函数解析式 y = （k ≠ 0）； 8.根据已知数据求出 k，确定解析式； 9.利用解析式或图象求解问题，并检验结果是否符合实际意义（注意自变量的实际取值范围）。 常见模型：物理中的压强 p = 、杠杆 F₁·L₁ = F₂·L₂、电流 I = ，工程中的工作效率与工作时间成反比等。 以下列举本章常见的典型错误，请对照正解辨析，避免重蹈覆辙。 易错 1｜判断反比例函数时忽略 k ≠ 0。形如 y = 且 k = 0 时，y = 0 是常值函数（图象为 x 轴上的点除外），不是反比例函数。辨析时除看形式外，还要确认 k ≠ 0 且自变量 x 的指数为 -1。 易错 2｜增减性丢“在每个象限内”的前提。错误说法：“y 随 x 的增大而减小”。正解：必须强调“在每一个象限内”。反比例函数由两支独立的曲线组成，增减性只在同一个象限内成立，跨象限不能比较。 易错 3｜跨象限比较函数值大小。如 k < 0 时，点（-1，y₁）与点（1，y₂）：y₁ > 0 > y₂，不能由“y 随 x 增大而增大”推出 y₂ > y₁。比较函数值应先判断两点所在象限，再结合符号判断。 易错 4｜混淆正比例函数与反比例函数。y = kx（k ≠ 0）是正比例函数（图象过原点的一条直线）；y = （k ≠ 0）是反比例函数（双曲线）。当 x 与 y 的乘积为常数时是反比例，当比值（）为常数时是正比例。 易错 5｜忽视实际问题中自变量的取值范围。实际问题中自变量往往只能取正数或有限范围（如电阻、时间、长度均大于 0），求出的解须落在实际取值范围内，否则要舍去。 易错 6｜面积问题忘记取绝对值。矩形（三角形）面积恒为正，应为 |k|（）。当 k < 0 时，不能直接把面积写成 k，应写 |k|，或由图象所在象限判断 k 的符号后再确定正负。 【题型一】反比例函数的识别 1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【详解】解：反比例函数图象上的点满足． A． ，点在函数图象上． B． ，点在函数图象上． C． ，点不在函数图象上． D． ，点在函数图象上． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∵由，得或， 由，得， ∴． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】将点的横纵坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入函数解析式， 得 ， 即 ． 4．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】0 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列各点，哪些在反比例函数的图象上？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】在反比例函数图象上的点是和． 【知识点】求反比例函数值 【详解】解：（1） 当时，， 点不在反比例函数的图象上； （2） 当时，， 点在反比例函数的图象上； （3） 当时，， 点在反比例函数的图象上； （4） 当时，无意义， 点不在反比例函数的图象上． 综上所述，在反比例函数图象上的点是和． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数解析式（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么? ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①不是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是，不是，不符合反比例函数的定义， 不是反比例函数． ②是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是，且解析式符合反比例函数的定义， 是反比例函数． ③不是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是1，不是，不符合反比例函数的定义， 不是反比例函数． ④是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是，且解析式符合反比例函数的定义， 是反比例函数． ⑤不是反比例函数．理由如下： 表示的是y与成反比例关系，而不是y与x成反比例关系，故不是反比例函数． ⑥不是反比例函数．理由如下： 可变为，表示的是与x成反比例关系，而不是y与x成反比例关系，故不是反比例函数． 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数定义，逐项进行判断即可． 【详解】略 【题型二】反比例函数的图象与性质 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴根据反比例函数的图象性质可得． 8．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 9．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若反比例函数图象的一支在第四象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、求一元一次不等式的解集 【分析】反比例函数比例系数小于0时，图象位于第二、四象限，根据图象一支在第四象限的条件列不等式求解即可. 【详解】解：∵ 反比例函数图象的一支在第四象限， ∴ ，解得 . 10．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】先判断反比例函数比例系数的正负，再利用反比例函数的性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，得． ∵点的横坐标，点的横坐标， ∴，都在第一象限，得，． 又∵，且第一象限内随增大而减小， ∴． 综上，． 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值、的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）由反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，列不等式求解； （2）结合反比例函数的增减性与点的位置比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：由（1）知， ∴该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小． ∵点，均在第一象限，且， ∴． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小 (2)的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大 (3)的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大 (4)的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数的性质逐个解答即可． 【详解】（1）解：∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小； （2）解：∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （3）解：∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （4）解：∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小． 13．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 【答案】(1) (2)列表格如下： 描点，连线，绘制函数图象如图所示， (3)或． 【知识点】判断（画）反比例函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小、从函数的图象获取信息、求反比例函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先列表格，再描点、连线即可； （3）结合函数图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略； （3）解：根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大， ∴在时，函数的最小值为：当时，， ∴在时，函数的取值范围为， 根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大，但始终小于零， ∴在时，函数的取值范围为， 综上所述，函数的取值范围为或． 【题型三】求反比例函数解析式 14．（26-27九年级上·安徽·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定反比例函数的解析式，再根据的符号判断增减性，结合自变量的取值范围，求出的取值范围． 【详解】解：把代入中得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 15．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】利用网格图确定点A与点B的相对位置关系，设出点的坐标，利用反比例函数系数k的几何意义（即图象上任意一点的横纵坐标之积为定值k）建立方程求解． 【详解】解：根据图象可知，点A的横坐标为，点B的横坐标为， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A，B在函数的图象上， ∴，，即， 解得， ∴点A的坐标为， ∴． 16．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】先利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，再代入点的横坐标计算的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴将，代入，得． 17．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【详解】解：由点的坐标为可得， 由点，在格点上可得， 解得， ． 18．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知与成反比例关系，当时，，求时，的值． 【答案】当时，的值为 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】先利用待定系数法求出，再求出当时，的值即可． 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，． 19．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义、待定系数法求反比例函数解析式． （1）设出与成反比例的解析式，代入数值计算出比例系数即可； （2）把的值代入即可得的值． 【详解】（1）解：设 将，代入， 得， 解得， ； （2）解：当时，． 【题型四】k 的几何意义（面积问题） 20．（26-27九年级上·安徽·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【详解】解：设， 由题意得， 同理 故． 21．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 22．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 23．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 24．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 25．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴． 26．（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 【题型五】反比例函数与二次函数 27．（25-26九年级上·河北保定·期末）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据的正负，判断两个函数图象的开口方向、所在象限及与轴交点的位置． 分和两种情况讨论；当时，二次函数开口向上，与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限；当时，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限；据此逐一判断选项． 【详解】解：A、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数开口向下，故，两者矛盾，此选项不符合题意． B、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数与轴交于正半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． C、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数与轴交于负半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． D、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数开口向下，故，与轴交于正半轴，故，即，三者一致，此选项符合题意． 故选：D． 28．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 29．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，， ， ． 当时，，即， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限． 30．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 31．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【答案】16 【知识点】其他问题(二次函数综合)、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，涉及交点问题，因式分解法解一元二次方程，根的判别式等知识点． 两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据交点个数确定方程有两个不相等的实数根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)，整理得：，即：，一一代入求解即可． 【详解】解：联立，并整理得： ， ， 故其中一个根：， ∴a为正整数，方程有两个不同的实数根， ∴， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)， 即(k为正整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； 故答案为：． 【题型六】反比例函数与一次函数综合 32．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】联立得：，再由直线与双曲线有交点，可得该方程有非零实数解，即可求解． 【详解】解：联立与，得：， ∵， ∴，即， ∵直线与双曲线有交点， ∴该方程有非零实数解， 又∵， ∴，即与同号． 33．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 34．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 35．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， ∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方， ∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 36．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴ ∴ ∴反比例函数表达式为， 然后将点，代入， 可得 解得 ∴一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可得，的解集为或． 37．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点代入反比例函数关系即可求出反比例函数解析式；再求出点的坐标，再根据点A、点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，进而可得出，根据可得，据此计算即可作答． 【详解】（1）解：将代入，可得：，即， ∴反比例函数的关系式为， 将代入，可得：，即， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）如图， 令，，即， ∴， ∵，，， ∴． 【题型七】反比例函数与几何综合 38．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 39．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 40．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用矩形的性质证明、反比例函数与几何综合 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 41．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、中点坐标、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点作，连接，根据等腰直角三角形的性质及得出为中点，从而得到，设点，利用中点性质表示出点和点的坐标，进而表示出和，最后根据面积和差关系列方程求解 ． 【详解】解：过点作，交轴于点，连接， 等腰直角，， ， 则点是的中点 ， ， 设点， ， ， 点是的中点，， 点 ， 轴，点在轴负半轴上 ， 点 ， ， ， ， 点在上，且在反比例函数图象上， 点的横坐标为，纵坐标为 ， ， ， ， ， 解得． 42．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数解析式． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求反比例函数解析式 【分析】过点作轴于，轴于，先证明，得到，判定四边形为正方形；设边长为，利用列方程求出，得到点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式． 【详解】过点作轴于，轴于，则． 四边形是正方形， ，， ， ． 在和中， ， ． ，， 四边形是正方形． 设正方形的边长为． ，， ， ． 由，得 ， 解得 ． ． 设反比例函数解析式为， 把代入，得 ， 反比例函数解析式为． 43．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知点的横坐标为． (1)直接写出反比例函数解析式为 ； (2)直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为 ； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据矩形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再观察图象，即可求解； （3）先求出，再表示出，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点在上，点的横坐标为， ∴， ∴． 由图象知，一次函数值大于反比例函数值时，或． （3）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴存在点，使得，点的坐标为或． 【题型八】实际应用建模 44．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 45．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例．已知200度近视眼镜镜片的焦距是0.5米．小江佩戴的镜片焦距为0.4米，则小江所戴近视眼镜的度数为______度． 【答案】250 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先求出反比例函数解析式，再把代入求函数值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，代入得， 解得， ∴， 当时，， ∴小江所戴近视眼镜的度数为250度． 46．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）合肥马拉松赛事组委会安排后勤保障车，从骆岗公园后勤基地出发，匀速前往物资补给点，往返总行驶里程为千米．设后勤车行驶全程的时间为（单位：小时），汽车行驶速度为（单位：千米/小时），出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式； (2)后勤车辆上午8点从骆岗公园后勤基地出发，要求车辆行驶的时间不超过5小时，求后勤车行驶速度的取值范围． 【答案】(1) (2)后勤车行驶速度的取值范围是（千米/小时）． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系列出函数解析式，再求出自变量的取值范围即可； （2）求出当时，（千米/小时），出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时．即可求出后勤车行驶速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵往返总行驶里程为千米．设后勤车行驶全程的时间为（单位：小时），汽车行驶速度为（单位：千米/小时）， ∴， 当行驶速度为千米/小时， ， 解得， ∵出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时 ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：当时，（千米/小时） ∵中，， ∴随着的增大而减小， ∴， 又∵出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时． ∴后勤车行驶速度的取值范围是（千米/小时）． 47．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 【答案】(1)反比例，． (2)不安全（此时电流为安培，超过安培）；接入的电阻最小应为欧姆． 将代入， 得（安培）． ， 接入欧姆电阻时电流超过电路允许的最大值，不安全． 若电流不超过安培，则， 解得． 接入的电阻最小应为欧姆． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）由与的乘积为定值判断二者成反比例函数关系，并用表中数据求出，得解析式； （2）将代入解析式算出电流，与安培比较判断安全性，再由反求最小电阻． 【详解】（1）解：电压保持不变， 电流与电阻的乘积为定值，即与成反比例函数关系． 取表中时，得（伏特）． 函数解析式为． （2）略 本章学习“定义—图象—性质—应用”的完整研究路径，可用“一个定义、两种图象、三个易错点”来概括记忆： 1.一个定义：y = （k ≠ 0），x 的取值范围是 x ≠ 0； 2.两种图象：k > 0 双曲线在一、三象限，k < 0 双曲线在二、四象限；增减性均在“每一个象限内”成立； 3.三个易错点：增减性丢前提、跨象限比较函数值、面积忘记取绝对值。 核心思想：数形结合。由 k 的符号看图象与性质，由图象反过来求 k 与面积，做到“以形助数、以数解形”。 一、单选题 1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断反比例函数需满足：分母为单个自变量，分子为非零常数． 【详解】解：A选项，符合要求． B选项是正比例函数，不符合． C选项分母为，不是单个自变量，不符合． D选项未说明为非零常数，不符合． 2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 【答案】A 【详解】解：对于反比例函数，． A、反比例函数增减性的前提是“在每一象限内”，该选项表述错误． B、， 函数图象经过点，表述正确． C、， 函数图象在第一、三象限，表述正确． D、当时，． 第三象限内随的增大而减小， 当时，，表述正确． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 【答案】D 【详解】解：A选项中，，可得，不是的反比例函数，不符合题意； B选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； C选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； D选项中，，是的反比例函数，符合题意． 4．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）关于反比例函数的描述错误的是（     ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， 当时，， ∴图象必经过点， 当时，；当时，， 故只有选项D描述错误. 5．（2026九年级上·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 6．（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 7．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 8．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 【答案】C 【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 观察四个选项，只有选项C符合题意． 9．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 10．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】设，故，，根据反比例函数k的几何意义，图形的面积性质，解答即可． 【详解】解：设，故，， 的图象经过点C，D， ， 解得， ，， ， 根据反比例函数k的几何意义，得，，， ， 都是定值， 故的值也是定值， 故甲同学的说法错误； ，是定值， 故乙同学的说法正确； 二、填空题 11．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号．根据题意得出和异号，再分别判断各项即可． 【详解】解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，若，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限， 则， 若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限， 则， 综上：和异号， ∵和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误； ∵和异号，则，故②正确； ，故③正确； 或，故④正确； 故正确的有②③④， 故答案为：②③④． 12．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 13．（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 14．如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①正确；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确． 【详解】解：①由图象知，，， ，故①正确； ②把、代入中得， ，故②正确； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了反比例函图象与一次函数图象与系数的关系，反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点是解题的关键． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 16．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义得，，根据矩形面积为列方程即可解出的值. 【详解】解：如图， 记与轴相交于， ∵矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，，， ∵矩形面积为，， ∴，解得：（舍），， ∴的值为. 17．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 【答案】或 【分析】根据可知的取值，进而可知的坐标，进而根据新定义构造方程即可求解． 【详解】解：∵，，且在第一象限， ∴点且， 将点代入反比例函数得：， 解得：或（舍去）， 则点 设点， 又∵点是点的“相伴点”， ∴满足， 解得：或， 经检验，或是方程的解， ∴点的坐标是或． 三、解答题 18．（2026九年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得， 解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或． 19．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出函数的表达式． (2)求出当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，直接写出气体的体积V（）的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设反比例函数关系式为：，将坐标代入计算即可； （2）令，计算出即可； （3）根据题意列出不等式即可作答． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为：，将坐标代入有：， ∴， ∴反比例函数关系式为：， （2）解：当时，， 即气压是； （3）解：∵要保证气球不破， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴要保证气球不破，气体的体积不得小于， 即气体的体积V（）的取值范围是 20．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求的函数解析式； (2)求的函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入，即可； （2）把点代入，求出点的坐标，再根据待定系数法求出的解析式，即可； （3）连接，，根据，即可． 【详解】（1）解：∵点在的图像上， ∴, 解得：， ∴； ∴的函数解析式；． （2）解：∵点在双曲线上， ∴, 解得：， ∴点， ∵点，点在一次函数上， ∴ 解得：， ∴， 的函数解析式为：． （3）解：连接，， 设直线与轴的交点为点， ∴当时，，即； ∴ ． 21．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． 22．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）不等式可变形为，即，再结合函数图象即可解答； （3）令直线与反比例函数的函数值为，求出的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：不等式可变形为，即， 两个函数在第一象限的交点为， 结合图象：当时，，即； （3）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ， ， ∵直线与反比例函数的交点为， ，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)________；________； (2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； (3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 【答案】(1)2，2 (2) (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求出值，从而确定点坐标，代入一次函数即可求出值． （2）根据平行可判定横坐标相等，设，则，结合四边形的面积，利用割补法列关于的方程，解出即可求出的值． （3）设平移距离为，利用平移后点坐标依然在直线上，即可判断平移后的横纵坐标的变化，利用平移后所在的反比例函数即可求出的值，结合点坐标即可求出平移后坐标． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ． 点在一次函数上， ， ． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为 ， 设， 轴， 点的横坐标为， 在反比例函数上， ． 连接，过点作于点，设与轴交于点，如图所示， ，，． ， ， ， 或（舍去）， ， ． （3）解：由第（2）问可知，，， 设沿射线方向平移，得到，的解析式为，在直线上， ， ， 平移时横坐标增加，纵坐标则增加， ， ， 或（舍去）， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+8典例精讲） 【知识点01】反比例函数的概念 一般地，形如 y = （k 为常数，且 k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 反比例函数解析式有三种常见形式，三者等价： 1.y = （k ≠ 0）——分式形式； 2.y = k·x⁻¹（k ≠ 0）——幂形式； 3.xy = k（k ≠ 0）——乘积形式（两个变量的乘积为常数）。 反比例函数解析式中只有一个待定常数 k，通常用待定系数法求解析式：将图象上一点的坐标代入 xy = k，求出 k 值即可。 【知识点02】反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成。双曲线与坐标轴永不相交，且无限接近坐标轴；|k| 越大，双曲线离坐标轴越远。 性质 k > 0 k < 0 图象位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 关于原点中心对称；关于直线 y=x、y=-x 轴对称 同左 特别提醒：增减性必须以“在每一个象限内”为前提，不能脱离象限笼统地说 y 随 x 的增大而增大或减小，也不能跨象限比较函数值的大小。 【知识点03】比例系数 k 的几何意义 过反比例函数 y = （k ≠ 0）图象上任意一点 P，分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则： 4.矩形 PAOB 的面积 = |k|（即过 P 的垂线与两坐标轴围成的矩形面积恒为 |k|，与 P 的位置无关）； 5.连接 PO，三角形 POA（或 POB）的面积 =　。 利用这一性质，可将双曲线上的点与矩形、三角形的面积相互转化，是中考几何综合题的重要载体。 【知识点04】实际问题与反比例函数 用反比例函数解决实际问题的基本步骤： 6.审题，找出两个变量之间的反比例关系（乘积为常数）； 7.设出函数解析式 y = （k ≠ 0）； 8.根据已知数据求出 k，确定解析式； 9.利用解析式或图象求解问题，并检验结果是否符合实际意义（注意自变量的实际取值范围）。 常见模型：物理中的压强 p = 、杠杆 F₁·L₁ = F₂·L₂、电流 I = ，工程中的工作效率与工作时间成反比等。 以下列举本章常见的典型错误，请对照正解辨析，避免重蹈覆辙。 易错 1｜判断反比例函数时忽略 k ≠ 0。形如 y = 且 k = 0 时，y = 0 是常值函数（图象为 x 轴上的点除外），不是反比例函数。辨析时除看形式外，还要确认 k ≠ 0 且自变量 x 的指数为 -1。 易错 2｜增减性丢“在每个象限内”的前提。错误说法：“y 随 x 的增大而减小”。正解：必须强调“在每一个象限内”。反比例函数由两支独立的曲线组成，增减性只在同一个象限内成立，跨象限不能比较。 易错 3｜跨象限比较函数值大小。如 k < 0 时，点（-1，y₁）与点（1，y₂）：y₁ > 0 > y₂，不能由“y 随 x 增大而增大”推出 y₂ > y₁。比较函数值应先判断两点所在象限，再结合符号判断。 易错 4｜混淆正比例函数与反比例函数。y = kx（k ≠ 0）是正比例函数（图象过原点的一条直线）；y = （k ≠ 0）是反比例函数（双曲线）。当 x 与 y 的乘积为常数时是反比例，当比值（）为常数时是正比例。 易错 5｜忽视实际问题中自变量的取值范围。实际问题中自变量往往只能取正数或有限范围（如电阻、时间、长度均大于 0），求出的解须落在实际取值范围内，否则要舍去。 易错 6｜面积问题忘记取绝对值。矩形（三角形）面积恒为正，应为 |k|（）。当 k < 0 时，不能直接把面积写成 k，应写 |k|，或由图象所在象限判断 k 的符号后再确定正负。 【题型一】反比例函数的识别 1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 4．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列各点，哪些在反比例函数的图象上？ （1）；（2）；（3）；（4）． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数解析式（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么? ①；②；③；④；⑤；⑥． 【题型二】反比例函数的图象与性质 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若反比例函数图象的一支在第四象限，则k的取值范围是______． 10．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值、的大小． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 【题型三】求反比例函数解析式 14．（26-27九年级上·安徽·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 16．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 17．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 18．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知与成反比例关系，当时，，求时，的值． 19．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【题型四】k 的几何意义（面积问题） 20．（26-27九年级上·安徽·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 22．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 23．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 24．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 25．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 26．（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【题型五】反比例函数与二次函数 27．（25-26九年级上·河北保定·期末）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A．B． C． D． 30．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【题型六】反比例函数与一次函数综合 32．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 33．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 34．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 35．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 36．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 37．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【题型七】反比例函数与几何综合 38．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 39．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 40．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 41．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 42．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数解析式． 43．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知点的横坐标为． (1)直接写出反比例函数解析式为 ； (2)直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为 ； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型八】实际应用建模 44．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 45．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例．已知200度近视眼镜镜片的焦距是0.5米．小江佩戴的镜片焦距为0.4米，则小江所戴近视眼镜的度数为______度． 46．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）合肥马拉松赛事组委会安排后勤保障车，从骆岗公园后勤基地出发，匀速前往物资补给点，往返总行驶里程为千米．设后勤车行驶全程的时间为（单位：小时），汽车行驶速度为（单位：千米/小时），出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式； (2)后勤车辆上午8点从骆岗公园后勤基地出发，要求车辆行驶的时间不超过5小时，求后勤车行驶速度的取值范围． 47．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 本章学习“定义—图象—性质—应用”的完整研究路径，可用“一个定义、两种图象、三个易错点”来概括记忆： 1.一个定义：y = （k ≠ 0），x 的取值范围是 x ≠ 0； 2.两种图象：k > 0 双曲线在一、三象限，k < 0 双曲线在二、四象限；增减性均在“每一个象限内”成立； 3.三个易错点：增减性丢前提、跨象限比较函数值、面积忘记取绝对值。 核心思想：数形结合。由 k 的符号看图象与性质，由图象反过来求 k 与面积，做到“以形助数、以数解形”。 一、单选题 1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 4．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）关于反比例函数的描述错误的是（     ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 5．（2026九年级上·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 7．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 9．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题 11．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有________． 12．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 13．（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 14．如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 16．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 17．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 三、解答题 18．（2026九年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 19．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出函数的表达式． (2)求出当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，直接写出气体的体积V（）的取值范围是______． 20．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求的函数解析式； (2)求的函数解析式； (3)求的面积． 21．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 22．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)________；________； (2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； (3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $