第25章 一元二次方程 单元复习（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过分层知识点梳理构建了一元二次方程的完整知识体系，以框架图呈现概念、解法、判别式等六大核心知识点，用表格归纳韦达定理常见代数式变形，清晰展示重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型聚焦概念辨析与根的判别式应用，培优题型融入几何面积最值与参数综合问题，压轴题型探究整数根与换元法，通过“审设列解验答”六步法培养模型意识与运算能力，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

第25章 一元二次方程 知识点 1：一元二次方程的概念与一般形式   1. 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程。三个必备条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2。   2. 一般形式：；是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；是常数项；是核心条件，可以为 0。   3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根；一元二次方程可以无实数根、有两个相等实数根、两个不相等实数根。 知识点 2：一元二次方程的四种解法   1. 直接开平方法：适用于或者形式；，两个不等实根；，两个相等实根；，无实数根。   2. 配方法：移项，二次项系数化为 1，两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成，再开平方求解。   3. 公式法：先计算判别式，当，求根公式；时，方程没有实数根。   4. 因式分解法：移项让方程右边等于 0，将左边因式分解为两个一次因式乘积；令每一个因式等于 0，转化为一元一次方程求解；常用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。 知识点 3：根的判别式   1. 判别式记作（前提）。   2. 方程有两个不相等的实数根。   3. 方程有两个相等的实数根。   4. 方程没有实数根。 知识点 4：根与系数的关系（韦达定理）   1. 若一元二次方程有两个实数根（前提），则，。   2. 常见代数式变形： 代数式变形 转化结果 知识点 5：一元二次方程的实际应用   1. 解题通用步骤：审、设、列、解、验、答；检验包含两层：检验方程的解，同时检验解是否符合实际生活意义，不符合要舍去。   2. 常见模型   ①增长率 / 降低率模型：基数，变化率，两次变化后结果：；降低：。   ②销售利润模型：总利润单件利润销售数量。   ③几何面积模型：矩形、正方形面积，勾股定理结合动点线段列等式。   ④传播、计数模型：病毒传播、单循环比赛总场数。 知识点 6：数学文化与几何解法   1. 配方法的几何溯源：赵爽、阿尔・花拉子米利用图形割补，用面积构造完全平方，求解一元二次方程正数根。   2. 核心思想：利用图形面积相等，实现代数方程的几何转化，只得到正数解，负数根无几何意义。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程概念辨析 1. 核心知识点:   一元二次方程三个成立条件；一般形式识别；二次项、一次项、常数项识别；已知根代入求参数。 2. 解题方法技巧:   ①看到 “一元二次方程”，优先锁定隐藏条件：二次项系数不等于 0；   ②代入根的题型，直接将根替换未知数，得到等式求解字母；   ③整理一般形式时，各项连同前面的符号一起识别。 【例题1】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 【答案】，该方程为 【分析】根据一元二次方程的定义可知，且，求出的值代入即可求得该方程． 【详解】解：是一元二次方程， 且． 解得． 此一元二次方程为． 【点睛】要注意二次项系数不能为0． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，分别对二次项系数和一次项系数提出取值要求，推导得到对应条件． 【详解】解：∵关于的方程为当方程是一元二次方程， ∴， 解得； ∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：且． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 【答案】，二次项为，二次项系数为，一次项为，一次项系数为，常数项为． 【分析】首先利用完全平方公式把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义得出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：， 二次项为，二次项系数为，一次项为，一次项系数为，常数项为． 【题型 2】根的判别式基础应用 1. 核心知识点:   判别式；判别式判断根的情况；由根的情况求简单参数取值。 2. 解题方法技巧:   ①含参题目，如果明确是一元二次方程，必须同时写；   ②题目没有说明是一元二次方程，要分类讨论：二次项系数等于 0 退化成一次方程的情形；   ③不解方程，直接计算判别式符号判断根。 【例题2】.（26-27九年级上·天津河西·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 【题型 3】韦达定理基础求值 1. 核心知识点:   根与系数关系；使用韦达定理前提条件；两根和、积基础变形。 2. 解题方法技巧:   ①做题第一步先确认方程存在实数根；   ②遇到、，记住常见恒等变形；   ③不要混淆，负号容易遗漏。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【答案】 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，两根乘积为常数项与二次项系数的比值，代入已知根即可计算另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 【题型 4】列一元二次方程（实际情境建模） 1. 核心知识点:   增长率模型；面积模型；销售利润模型；审题寻找等量关系。 2. 解题方法技巧:   ①增长率分清 “两次变化”，是，不是；   ②面积边框问题，注意长与宽同时增减 2 倍边框宽度；   ③只要求列方程，不需要求解，重点找准等量关系。 【例题4】.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为______．（只列方程） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·河南周口·期末）冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【答案】C 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：每轮传染中平均一人传染人， 第一轮后患病人数为人，故A正确，不符合题意； 第一轮后有人，每人传染人， 第二轮新增加人，故B正确，不符合题意； 两轮后总患病人数为，且给定为49， 列方程，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·河南驻马店·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键． 设每件童装降价x元，则每件盈利为元；由于每降价4元多售出8件，故降价元多售出件，总销售件数为件；根据每天盈利元列方程． 【详解】解：设每件童装降价x元，则每件盈利为元； 每降价4元多售出8件，因此降价x元多售出件，总销售件数为件； 根据盈利公式，得方程． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南郑州·期末）某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和列代数式，需根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润单件利润销量可列出对应的方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意． B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意． C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件， ∴涨元时，少售出件， ∵原销量为300件， ∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意． D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【培优高频题型】 【题型 5】配方法求代数式最值 1. 核心知识点:   配方法；完全平方式非负性；二次多项式最大值、最小值。 2. 解题方法技巧:   ①把二次三项式配成的形式；   ②，有最小值；，有最大值；   ③常用于解决几何周长、面积最值。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）略 【变式题5-2】.（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】(1) (2) (3)2026 (4)8 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解:，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 【题型 6】判别式与参数综合 1. 核心知识点:   判别式；含参数一元二次方程；分类讨论思想；参数取值范围。 2. 解题方法技巧:   ①题干没有限定 “一元二次方程”，分（一次方程）、（二次方程）两类；   ②得到不等式之后，结合取公共解集；   ③求出参数之后可以回代检验根的情况。 【例题6】.（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知：关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 【答案】(1)； (2)当时，另一根为；当时，另一根为 【分析】（1）根据题意，得，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，先求出m的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 其中，，， 方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）将代入原方程，得， 则，解得或， 当时，原方程为，解得或，则另一根为； 当时，原方程为，解得或，则另一根为． 【题型 7】一元二次方程几何实际应用 1. 核心知识点:   矩形、三角形面积公式；勾股定理；列方程，解之后检验实际意义，舍去不合理根。 2. 解题方法技巧:   ①几何题用未知数表示线段长度；   ②解方程得到两个解，结合图形边长大于 0 取舍；   ③遇到直角三角形，优先考虑勾股定理建立等式。 【例题7】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)能， 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． （3）解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 【变式题7-3】.（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 【题型 8】数学文化・几何构图解方程 1. 核心知识点:   配方法；面积法；赵爽、阿尔・花拉子米几何解法；数形结合思想。 2. 解题方法技巧:   ①读懂材料，利用大正方形面积两种表达形式建立等式；   ②几何构图只能得到正数解，负数根没有几何含义；   ③类比材料方法，迁移解决同类新方程。 【例题8】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下： 阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得． (1)请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根． (2)反思总结：这种方法用到的数学思想是______． 【答案】(1)图如下： (2)数形结合 【分析】（1）根据题意，构造出边长为的正方形，求出其面积，解出方程的一个正根即可． （2）根据题意，采用数形结合的方法解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，配方法及数形结合的方法． 【详解】（1）解：将边长为x的正方形和边长为2的正方形，加两个长方形，长为x，宽为2，拼合在一起，面积就是，即， 由原方程，变形得， 即图中边长为的正方形面积为9． 所以， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∴正根为：1． （2）解：这种方法用到的数学思想是数形结合； 故答案为：数形结合． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中，到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法，赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，对于方程可构造四个全等的小矩形的面积_________． (2)请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是__________（从序号①②③中选择）． (3) (4)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． (5) 【答案】(1)12 (2)② (3) 【分析】本题考查了构造图形解一元二次方程，解决本题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． （1）根据材料可知，需将方程构造成四个全等的小矩形的面积，由此可解． （2）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法． （3）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题． 【详解】（1）解：将方程构造四个全等的小矩形的面积； 故答案为：12． （2）解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为8，所以， ∴， 故正确构图②． 故答案为：②． （3）解：首先构造了如图所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， 进一步可知大正方形的边长为8， ∴，得． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 【答案】[类比迁移] 第一步： ； 第二步：，， 利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵表示边长， ∴，即， 第三步：； [拓展应用] ，5，1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数，与各图形面积的关系是解题的关键． [类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可； [拓展应用] 根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案． 【详解】解：[类比迁移] 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：略 第三步：方程的一个正根为； 故答案为：；，，图形及解答过程见解析；； ∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ∴，， 解得：，， 当时，，，，方程的一个正根为； 当时，，，，方程的一个正根为． 综上所述，方程的一个正根为1或5． 故答案为：，5，1或5． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【答案】(1)， (2)无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【详解】（1）解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 【压轴素养题型】 【题型 9】判别式与韦达定理综合压轴 1. 核心知识点:   判别式；韦达定理；参数取值范围；根的符号限制。 2. 解题方法技巧:   ①做综合题第一步写判别式，很多同学容易遗漏；   ②结合两根之和、两根之积符号，联立不等式组；   ③参数全部求出，要同时满足全部不等式条件。 【例题9】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 【变式题9-1】.（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) 解：由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【详解】（1）略 （2）一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； （3）和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 【题型 10】整数根、有理根探究 1. 核心知识点:   一元二次方程；判别式为完全平方数；整数根条件；含参方程整数解。 2. 解题方法技巧:   ①有理根条件：二次项系数为整数，判别式必须是完全平方数；   ②优先因式分解，把根用参数表达，利用整除性质求整数参数；   ③注意限制条件。 【例题10】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 【答案】(1) 解：不是方程的根，理由如下： 将代入方程的左边，得， 方程的右边为， ∵，等式不成立， 因此不是方程的根； (2) 证明：设方程和相同的根为， 由题意得， 两式相减得，整理得， ∵方程，仅有一个相同的根， ∴， 若，两个方程完全相同，所有根都相同，不符合题意， 因此，得， 由（1）知不是方程的根，故公共根为， 将代入方程，得， 整理得，即，得证； (3) 满足条件的实数对为，对应整数根为和；，对应整数根为和． 【分析】（1）将代入方程，比较左右两边的值即可判断； （2）联立两个方程，作差整理后，根据仅有一个相同根的条件推出是公共根，代入方程即可证明结论； （3）由得，代入方程后结合根与系数关系整理得到，列举所有整数因数对，排除不符合条件的情况，即可得到所有解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 将代入方程，整理得， 设方程的两个整数根为，， 由根与系数的关系得，， 设，则， 消去得， 整理得， 配方得， ∵，是整数， ∴，都是整数， 列举所有可能的整数对： 当，解得， 代入得，，，，不符合，舍去； 当，解得， 代入得，，无解，舍去； 当，与上述情况结果相同，舍去； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，与，结果相同，舍去； 综上，满足条件的实数对和对应整数根为： ，对应整数根为和； ，对应整数根为和． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 (3)2028 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“全整根方程”和“全整根方程的最值码”的定义，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“全整根方程的最值码”的定义进行计算求解即可； （2）先根据“全整根方程的最值码”的定义进行化简计算两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等，将带有的代数式进行化简，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 【变式题10-3】.（2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 【题型 11】换元法解特殊高次 / 复合型方程 1. 核心知识点:   换元降次思想；整体思想；转化为一元二次方程求解。 2. 解题方法技巧:   ①观察重复出现的整体，设为新元；   ②解出新元之后，回代求原未知数；   ③分式、无理类换元，必须检验增根。 【例题11】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 【变式题11-1】.（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 【答案】(1)，，， (2)， (3)， 【分析】本题考查换元法解方程，根据题目换元法思路解题即可； （1）设，则原方程可变为，解方程即可； （2）设，则原方程可变为，解方程即可； （3）设，则原方程可变为，解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，所以； 当时，，所以； 所以原方程有四个根：，，，； （2）解：设，则原方程可变为， 去分母得， 解得，， 经检验，是的根， 当时，，解得，经检验是的根； 当时，，解得，经检验是的根； 所以原方程有两个根：，； （3）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以原方程有两个根：，． 【变式题11-2】.（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，整体换元法，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． （1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得； （3）由题意可得，分别解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有， 那么方程有一个根为0，不合题意， ， 故所求方程为； （3）解：根据题意可得， 或， 解得或， 所以关于的一元二次方程的两根为或． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·四川成都·期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． (1)将函数拆分成整式与真分式的和的形式； (2)若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； (3)若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)的值为、、 (3)的最小值为5 【分析】本题考查了分式的混合运算、一元二次方程和完全平方公式的运用，理解题意是解决本题的关键． （1）按照题意进行拆分即可； （2）联立两个函数解析式并进行分类讨论求解即可； （3）将点代入可得，，将两者进行相加进行化简并结合完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：根据题意得， ， 当时， 解得， 则仅有一个交点，符合条件； 当时， 方程为一元二次方程，在中，， ， 令，此时仅有一个交点， ∴， 解得， 综上所述，的值为、、； （3）解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【题型 12】存在性与方案探究问题 1. 核心知识点:   一元二次方程实际应用；方案存在性；解的检验；分类讨论。 2. 解题方法技巧:   ①设未知数建立方程，解出之后检验解是否满足现实条件；   ②无解即代表该方案不存在；   ③多个解对应多套可行方案，全部列举。 【例题12】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 【变式题12-1】.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2) (3)方程是“邻根方程”，， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解： 方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； （3）解：方程是“邻根方程” 由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 【变式题12-2】.（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①衍生点的坐标为；②；（3）有， 【分析】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）①因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ②当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 易错点 1. 看到含参数的一元二次方程，忽略二次项系数a≠0的隐藏条件；没有区分“方程”和“一元二次方程”，漏掉一次方程分类讨论。 2. 使用韦达定理的时候，忘记前提条件Δ≥0，直接计算求值，导致参数取值、代数式计算结果错误。 3. 因式分解法解方程时，直接在等式两边除以含有未知数的代数式，丢失方程的一个根，造成解题漏解。 4. 解一元二次方程实际应用题，求出方程的根后，不检验实际意义，保留负数、超出取值范围的无效解。 5. 配方法解题时，未先将二次项系数化为1，直接给等式两边加上一次项系数一半的平方，出现配方计算错误。 6. 混淆韦达定理两根和公式x₁+x₂=-b/a，习惯性遗漏公式前的负号，导致求值错误。 7. 当Δ＜0时，仍套用求根公式计算，忽略此时方程无实数根的结论。 重点 1. 一元二次方程核心概念，熟练识别一般形式，准确区分二次项、一次项、常数项，掌握方程根的定义与简单应用。 2. 四种解方程核心方法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程结构灵活选择最优解法。 3. 根的判别式，掌握利用判别式不解方程判断根的情况，以及根据根的情况求解参数取值范围。 4. 韦达定理基础应用，熟练掌握两根和、两根积的公式及常见代数式恒等变形求值。 5. 一元二次方程实际应用，熟练掌握增长率、销售利润、几何面积、传播计数等常见模型，掌握完整解题步骤。 难点 1. 含参数综合题型，判别式与韦达定理结合，联立多组不等式求解参数取值范围，容易遗漏限制条件。 2. 几何动点问题，用含参数的代数式表示动态线段，结合面积、勾股定理列方程，需根据实际情境取舍方程的解。 3. 创新探究题型，数学文化、新定义阅读理解题，需要将陌生题型转化为一元二次方程基础知识点，完成知识迁移。 4. 整数根、有理根探究，结合判别式为完全平方数、整数整除性质，分析含参方程的整数解、有理解。 5. 换元法综合应用，识别复合型、高次型方程的整体结构，利用换元降次求解，同时检验分式、无理方程的增根。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 3．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 二、填空题 4．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵已知三月份总产量为吨， ∴可列方程为． 5．若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 6．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 三、解答题 7．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 8．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 9．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 10．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【答案】(1)的长为或 (2)该菜地的面积不能为，理由如下： 设的长为，则， 由题意，得， 整理，得，解得， 当时，， 即当时，， ∴这棵古树没有被围在菜地里， ∴要将这棵古树围在矩形菜地内，该菜地的面积不能为． 【分析】（1）设的长为，则，由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意可得方程，求出y的值，然后再根据P处这棵树是否被围在菜地内进行分析即可． 【详解】（1）解：设的长为，则， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 答：的长为或． （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程 知识点 1：一元二次方程的概念与一般形式   1. 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程。三个必备条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2。   2. 一般形式：；是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；是常数项；是核心条件，可以为 0。   3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根；一元二次方程可以无实数根、有两个相等实数根、两个不相等实数根。 知识点 2：一元二次方程的四种解法   1. 直接开平方法：适用于或者形式；，两个不等实根；，两个相等实根；，无实数根。   2. 配方法：移项，二次项系数化为 1，两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成，再开平方求解。   3. 公式法：先计算判别式，当，求根公式；时，方程没有实数根。   4. 因式分解法：移项让方程右边等于 0，将左边因式分解为两个一次因式乘积；令每一个因式等于 0，转化为一元一次方程求解；常用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。 知识点 3：根的判别式   1. 判别式记作（前提）。   2. 方程有两个不相等的实数根。   3. 方程有两个相等的实数根。   4. 方程没有实数根。 知识点 4：根与系数的关系（韦达定理）   1. 若一元二次方程有两个实数根（前提），则，。   2. 常见代数式变形： 代数式变形 转化结果 知识点 5：一元二次方程的实际应用   1. 解题通用步骤：审、设、列、解、验、答；检验包含两层：检验方程的解，同时检验解是否符合实际生活意义，不符合要舍去。   2. 常见模型   ①增长率 / 降低率模型：基数，变化率，两次变化后结果：；降低：。   ②销售利润模型：总利润单件利润销售数量。   ③几何面积模型：矩形、正方形面积，勾股定理结合动点线段列等式。   ④传播、计数模型：病毒传播、单循环比赛总场数。 知识点 6：数学文化与几何解法   1. 配方法的几何溯源：赵爽、阿尔・花拉子米利用图形割补，用面积构造完全平方，求解一元二次方程正数根。   2. 核心思想：利用图形面积相等，实现代数方程的几何转化，只得到正数解，负数根无几何意义。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程概念辨析 1. 核心知识点:   一元二次方程三个成立条件；一般形式识别；二次项、一次项、常数项识别；已知根代入求参数。 2. 解题方法技巧:   ①看到 “一元二次方程”，优先锁定隐藏条件：二次项系数不等于 0；   ②代入根的题型，直接将根替换未知数，得到等式求解字母；   ③整理一般形式时，各项连同前面的符号一起识别。 【例题1】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 【题型 2】根的判别式基础应用 1. 核心知识点:   判别式；判别式判断根的情况；由根的情况求简单参数取值。 2. 解题方法技巧:   ①含参题目，如果明确是一元二次方程，必须同时写；   ②题目没有说明是一元二次方程，要分类讨论：二次项系数等于 0 退化成一次方程的情形；   ③不解方程，直接计算判别式符号判断根。 【例题2】.（26-27九年级上·天津河西·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题2-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【题型 3】韦达定理基础求值 1. 核心知识点:   根与系数关系；使用韦达定理前提条件；两根和、积基础变形。 2. 解题方法技巧:   ①做题第一步先确认方程存在实数根；   ②遇到、，记住常见恒等变形；   ③不要混淆，负号容易遗漏。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【题型 4】列一元二次方程（实际情境建模） 1. 核心知识点:   增长率模型；面积模型；销售利润模型；审题寻找等量关系。 2. 解题方法技巧:   ①增长率分清 “两次变化”，是，不是；   ②面积边框问题，注意长与宽同时增减 2 倍边框宽度；   ③只要求列方程，不需要求解，重点找准等量关系。 【例题4】.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为______．（只列方程） 【变式题4-1】.（25-26九年级上·河南周口·期末）冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【变式题4-2】.（25-26九年级上·河南驻马店·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南郑州·期末）某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【培优高频题型】 【题型 5】配方法求代数式最值 1. 核心知识点:   配方法；完全平方式非负性；二次多项式最大值、最小值。 2. 解题方法技巧:   ①把二次三项式配成的形式；   ②，有最小值；，有最大值；   ③常用于解决几何周长、面积最值。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式题5-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【题型 6】判别式与参数综合 1. 核心知识点:   判别式；含参数一元二次方程；分类讨论思想；参数取值范围。 2. 解题方法技巧:   ①题干没有限定 “一元二次方程”，分（一次方程）、（二次方程）两类；   ②得到不等式之后，结合取公共解集；   ③求出参数之后可以回代检验根的情况。 【例题6】.（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知：关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 【题型 7】一元二次方程几何实际应用 1. 核心知识点:   矩形、三角形面积公式；勾股定理；列方程，解之后检验实际意义，舍去不合理根。 2. 解题方法技巧:   ①几何题用未知数表示线段长度；   ②解方程得到两个解，结合图形边长大于 0 取舍；   ③遇到直角三角形，优先考虑勾股定理建立等式。 【例题7】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【变式题7-3】.（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【题型 8】数学文化・几何构图解方程 1. 核心知识点:   配方法；面积法；赵爽、阿尔・花拉子米几何解法；数形结合思想。 2. 解题方法技巧:   ①读懂材料，利用大正方形面积两种表达形式建立等式；   ②几何构图只能得到正数解，负数根没有几何含义；   ③类比材料方法，迁移解决同类新方程。 【例题8】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下： 阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得． (1)请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根． (2)反思总结：这种方法用到的数学思想是______． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中，到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法，赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，对于方程可构造四个全等的小矩形的面积_________． (2)请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是__________（从序号①②③中选择）． (3) (4)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． (5) 【变式题8-2】.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【压轴素养题型】 【题型 9】判别式与韦达定理综合压轴 1. 核心知识点:   判别式；韦达定理；参数取值范围；根的符号限制。 2. 解题方法技巧:   ①做综合题第一步写判别式，很多同学容易遗漏；   ②结合两根之和、两根之积符号，联立不等式组；   ③参数全部求出，要同时满足全部不等式条件。 【例题9】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【变式题9-1】.（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【变式题9-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【题型 10】整数根、有理根探究 1. 核心知识点:   一元二次方程；判别式为完全平方数；整数根条件；含参方程整数解。 2. 解题方法技巧:   ①有理根条件：二次项系数为整数，判别式必须是完全平方数；   ②优先因式分解，把根用参数表达，利用整除性质求整数参数；   ③注意限制条件。 【例题10】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【变式题10-3】.（2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【题型 11】换元法解特殊高次 / 复合型方程 1. 核心知识点:   换元降次思想；整体思想；转化为一元二次方程求解。 2. 解题方法技巧:   ①观察重复出现的整体，设为新元；   ②解出新元之后，回代求原未知数；   ③分式、无理类换元，必须检验增根。 【例题11】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【变式题11-1】.（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 【变式题11-2】.（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·四川成都·期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． (1)将函数拆分成整式与真分式的和的形式； (2)若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； (3)若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 【题型 12】存在性与方案探究问题 1. 核心知识点:   一元二次方程实际应用；方案存在性；解的检验；分类讨论。 2. 解题方法技巧:   ①设未知数建立方程，解出之后检验解是否满足现实条件；   ②无解即代表该方案不存在；   ③多个解对应多套可行方案，全部列举。 【例题12】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【变式题12-1】.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【变式题12-2】.（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 易错点 1. 看到含参数的一元二次方程，忽略二次项系数a≠0的隐藏条件；没有区分“方程”和“一元二次方程”，漏掉一次方程分类讨论。 2. 使用韦达定理的时候，忘记前提条件Δ≥0，直接计算求值，导致参数取值、代数式计算结果错误。 3. 因式分解法解方程时，直接在等式两边除以含有未知数的代数式，丢失方程的一个根，造成解题漏解。 4. 解一元二次方程实际应用题，求出方程的根后，不检验实际意义，保留负数、超出取值范围的无效解。 5. 配方法解题时，未先将二次项系数化为1，直接给等式两边加上一次项系数一半的平方，出现配方计算错误。 6. 混淆韦达定理两根和公式x₁+x₂=-b/a，习惯性遗漏公式前的负号，导致求值错误。 7. 当Δ＜0时，仍套用求根公式计算，忽略此时方程无实数根的结论。 重点 1. 一元二次方程核心概念，熟练识别一般形式，准确区分二次项、一次项、常数项，掌握方程根的定义与简单应用。 2. 四种解方程核心方法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程结构灵活选择最优解法。 3. 根的判别式，掌握利用判别式不解方程判断根的情况，以及根据根的情况求解参数取值范围。 4. 韦达定理基础应用，熟练掌握两根和、两根积的公式及常见代数式恒等变形求值。 5. 一元二次方程实际应用，熟练掌握增长率、销售利润、几何面积、传播计数等常见模型，掌握完整解题步骤。 难点 1. 含参数综合题型，判别式与韦达定理结合，联立多组不等式求解参数取值范围，容易遗漏限制条件。 2. 几何动点问题，用含参数的代数式表示动态线段，结合面积、勾股定理列方程，需根据实际情境取舍方程的解。 3. 创新探究题型，数学文化、新定义阅读理解题，需要将陌生题型转化为一元二次方程基础知识点，完成知识迁移。 4. 整数根、有理根探究，结合判别式为完全平方数、整数整除性质，分析含参方程的整数解、有理解。 5. 换元法综合应用，识别复合型、高次型方程的整体结构，利用换元降次求解，同时检验分式、无理方程的增根。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 3．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 5．若a是方程的一个解，则的值是________． 6．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 三、解答题 7．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 8．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 9．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 10．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $