精品解析：江苏南京市宁海中学2026-2027学年高三年级上学期10月阶阶段限时训练数学试题

宁海中学高三年级阶段限时训练（数学） 2026.10.20 一、单项选择题 1. 若复数满足,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果. 【详解】因为, 所以, 则, 故选:B. 2. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 3. 已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（ ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解. 【详解】由题意可知：，， 所以样本中心为， 代入回归方程有：，解得. 故选：. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据任意角的三角函数求出，再求出的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值. 【详解】由任意角的三角函数公式可知，解得， 所以，所以， 故选：C 5. 正方形边长为，为中点，点在上，，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设，以为基向量表示出，然后由求出的值可得答案. 【详解】设， 因为，， 因为正方形边长为，， 所以，解得， 所以， 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数图象的对称性得，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. 【详解】因为， 所以，即，， 所以. 故选：B 7. 新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，当v的值约为时，则时室内空气中颗粒物的浓度是时的（ ）倍（参考数据：，） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知函数关系 . 所以. 8. 若函数，函数，在区间恰有3个零点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次方程的性质以及余弦函数的性质转化为二次方程根的范围问题. 【详解】由于，故， 记，由余弦函数性质可知，当时，在上有一个解， 当时，在上有两个解， 记的两根为，则， 则，即， 故，得， 故，故. 二、多项选择题 9. 已知复数， ()(为虚数单位)，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限 C. D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可. 【详解】对于A：，所以的虚部为，A错误； 对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确； 对于C：，，所以，C正确； 对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D错误， 故选：BC 10. 函数在区间上为单调函数，图象关于直线对称，则（ ） A. B. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称 C. 若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是 D. 若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A，由函数的平移变换可以判断选项B，根据函数图象的零点和最值即可判断C，D. 【详解】选项A：根据题意函数在区间上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则，， 解得 又因为图象关于直线，则，， 解得， 当时，符合条件.则A正确； 选项B：由A可知向右平移个单位长度后，解析式变成，则图象关于轴对称.B正确； 选项C：函数在区间没有最小值， 则令，，则， 当，即时，没有最小值.C错误； 选项D：函数在区间上有且仅有2个零点， 因为时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可. 所以，即，D正确. 故选：ABD. 11. 设a为常数，函数满足，，则（ ）． A. B. 恒成立 C. D. 满足条件的不止一个 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，令代入求解即可；对于C，令，得到，同理可得，代入原式求解即可；对于BD，由C得，，令得到，令，得到，即，进而求解即可. 【详解】对于A，令，则. 又，所以，解得，A正确. 对于C，令，则，即， 整理得，即，同理可得. 代入原式得，C正确. 对于BD，因为，令，则，所以. 令，所以， 又，所以，则，故，B正确，D错误. 三、填空题 12. 编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，由乘法原理可得． 【详解】由题意4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，方法数为． 故答案为：6. 13. 已知两个非零向量和的夹角为135°，且，（），则的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【详解】由 所以当时，． 14. 如图，在中，，且，．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积相等得到，结合基本不等式化简得到，平方求解即可. 【详解】因为点在上，所以， 即， 整理得. 又，所以， 当且仅当时，等号成立. 整理得，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最小值为. 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及辅助角公式可得，即可求解， （2）根据正弦的和差角公式以及二倍角公式可得，进而可求解角的大小，进而根据面积公式求解，或者利用余弦的和差角公式可得,进而可得，即可根据面积公式求解. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 代入已知条件中，得：， 因为，两边同除以b：， 两边同除以2：， 因为三角形，∴． 【小问2详解】 方法一：由（1）知，∴， ∵， ∴，展开得：， ， ∴， ∴， ，故，解得， ∴，即， ∴． 方法二：由（1）知：，∴， ∴， 即， ∵，代入上式得：， ∴， ∵，，∴， ∴， ． 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，，点是线段的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，所在直线为轴，在底面内过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，圆柱底面半径，高． 可得各点坐标：，，，，， 连接，则为等边三角形，可得，则． 则，， ， ∴，即． （2）1 【解析】 【分析】（1）利用圆柱轴截面的垂直关系，以为原点，所在直线为轴，在底面内过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴建系.由知为等边三角形，求出点的坐标；为中点，由中点公式得坐标.写出与 的坐标，验证其数量积为 0，即证垂直. 在（1）的坐标系下，分别求平面与平面的法向量.求出后发现两法向量数量积为 0，说明两平面垂直，所成二面角为，故正弦值为 1. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由（1）可得，， 则，， 令，则，，∴， 设平面的法向量为， 由（1）可得，， 则， ， 令，则，，∴． 设平面与平面所成二面角为， ∵，∴， 故平面与平面所成二面角的正弦值是1． 17. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 【答案】（1）X的分布列为 X 0 10 20 30 P （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率，即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 所以X的分布为 X 0 10 20 30 P 所以 【小问2详解】 记“该同学仅答对1道题”为事件M. 这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为. 18. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程； （2）参变分离，构造，求导，得到其最小值，求出a的取值范围； （3）注意到，多次求导得到，从而分，，与，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案 【小问1详解】 ， ， 所以曲线在点处的切线方程， 即． 【小问2详解】 因为在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，单调递增，， 所以，所以在上单调递增， 故， 所以． 【小问3详解】 ， 令，则， 令，则， 当时，， 则，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递增，且， 所以，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以． 所以适合， 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递减， 因为，所以在上单调递减， 此时，舍去． 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递增，，舍去； 当时，当时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，，舍去． 综上，． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量． 设，，，定义加法和数乘：，． 对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． （1）对，判断下列三个三维向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ，，； （2）已知m（）个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，）同时成立，其中，则． 【答案】（1）设，则可得，，所以，， 所以，，线性相关； （2）①，如果某个，，2，…，， 则， 因为任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0， 所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，…，全不为零， 所以由可得， 代入 可得， 所以， 所以，…，， 所以． 【解析】 【分析】（1）由设，按向量分量对应相等列出三元一次齐次方程组，通过加减消元法化简方程组，由系数存在自由变量（即存在非零解）判断三个向量的线性相关性； （2）由“任意个向量都线性无关”的已知条件，先证明线性组合为零时系数要么全为零要么全不为零，再利用线性表示将一个向量用其余向量代换，代入另一线性等式后由剩余向量线性无关推出各系数对应成比例. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁海中学高三年级阶段限时训练（数学） 2026.10.20 一、单项选择题 1. 若复数满足,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 3. 已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（ ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 正方形边长为，为中点，点在上，，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，当v的值约为时，则时室内空气中颗粒物的浓度是时的（ ）倍（参考数据：，） A. B. 2 C. D. 8. 若函数，函数，在区间恰有3个零点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知复数， ()(为虚数单位)，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限 C. D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 10. 函数在区间上为单调函数，图象关于直线对称，则（ ） A. B. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称 C. 若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是 D. 若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 11. 设a为常数，函数满足，，则（ ）． A. B. 恒成立 C. D. 满足条件的不止一个 三、填空题 12. 编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________. 13. 已知两个非零向量和的夹角为135°，且，（），则的最小值为________． 14. 如图，在中，，且，．则的最小值为________． 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若，，求的面积． 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，，点是线段的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 17. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 18. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量． 设，，，定义加法和数乘：，． 对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． （1）对，判断下列三个三维向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ，，； （2）已知m（）个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，）同时成立，其中，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $