精品解析：江苏南通市启东市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次素质检测数学试题

启东市第一中学2026-2027年度第一学期第一次素质检测 高三数学试卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式可化简集合A，后由并集定义可得答案. 【详解】，则，又， 则. 故选：C . 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 因为， 所以， 所以，解得， 故， 所以的虚部为． 3. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据切点坐标满足原函数和切线方程可得出，对原函数求导，根据切线斜率等于导数在该点的值可得出，从而可以求解. 【详解】，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以有，，即，， 所以. 4. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可． 【详解】由，，，根据余弦定理可得： ，解得； 由中线满足向量关系可得： ， 则． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断为负数最小，再将、与中间值比较大小，即可得出三者的大小关系. 【详解】由得，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即； 对于，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即； 对于，由于，所以， 综上可得，. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】凑角后利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】. 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系得到和的关系，利用基本不等式得到的最大值. 【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数图象开口向上，所以， 方程的两个根为，， 所以，解得，， 因此， 因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，最大值是. 8. 已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数，将有且只有3个整数解，转化为有且只有3个整数解.构造函数，利用导数分析其单调性，即可求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 若有且只有3个整数解，则有且只有3个整数解. 因为， 所以有且只有3个整数解. 令，则. 令，则. 令， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为， 所以恒成立，是减函数. 又， 所以，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又， 若有且只有3个整数解，则的取值范围是. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查不等式性质、作差法比较大小、基本不等式的应用，结合已知条件逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由，两边同乘正数可得，又，两边同乘正数，不等号方向不变，得，即，A正确； 选项B：作差比较：，由，可知分子分母均为正，故，即，B错误； 选项C：由，得，，因此，正数不可能小于负数，C错误； 选项D：由基本不等式，对正数，因故，算术平均数大于几何平均数：，D正确. 10. 已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 不可能是一次函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、函数单调性的性质，结合一次函数的性质、代入法逐一判断即可. 【详解】A： 在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； B：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； C：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； D：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 11. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则的取值范围为 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求得  处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， ，则不是空集， 由于，故且，解得. 13. ___________． 【答案】1 【解析】 【分析】化切为弦，运用和差公式和诱导公式化简计算即可． 【详解】 ． 故答案为：1． 14. 已知函数，写出的一个对称轴方程________；当，则的最大值是________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】（1）先利用定义法证明是偶函数，再求解对称轴方程即可. （2）利用导数判断函数单调性，进而求解最大值即可. 【详解】（1）由题意得， 则 ，可得是偶函数， 故的一个对称轴方程为. （2）由题意得， 则， 当时，， 得到，则在上单调递增， 当时，， 得到，则在上单调递减， 而，故的最大值是. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：函数的定义域为；命题：，不等式在上有解． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围，求出余弦函数的范围，进而构造函数，根据不等式存在成立的情况，求出函数的最大值，进而求出参数范围； （2）根据对数函数性质，判断定义域为时的情况，进而根据二次函数性质，列出不等式，求出参数范围，进而根据命题的性质，求出参数范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 不等式在上有解，即当时有解， 令，设函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，且, 故在时取得最大值为， 所以当时，不等式在上有解， 所以. 【小问2详解】 为真命题时，即函数的定义域为，即在上恒成立， 所以时，符合条件， 当时，，解得， 所以当为真命题时，， 当为假命题时，， 所以为真命题且为假命题时实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间； （2）若，求的值. 【答案】（1）和； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式结合两角和的正弦公式，将化为，进而可得，结合正弦函数的单调递增区间，即可求出在区间上的单调递增区间； （2）由已知条件化简可得，再利用同角三角函数平方和为1，将化简为，代入求值即可. 【小问1详解】 由题可得， ， 则将函数的图象向右平移个单位长度，得， 由，则， 又，所以的单调递增区间为和； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 17. 已知关于的函数. （1）若不等式，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立关于的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法及对数函数单调性求解. （2）用换元法，结合指数函数图象及一元二次方程实根分布列式求解. 【小问1详解】 函数， 不等式， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数的定义域为，令， 函数的大致图象如下： 当时，方程有两个不等实根； 当时，方程有一个实根， 而，原方程化为， 整理得，由原方程有3个不等实根， 得关于的方程的两个实根分别在内， 则，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求． （2）若点在边上，且．若，求的面积． （3）若点是的外接圆上的点，且点和点位于两侧，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理将已知等式转化为边的关系，得到 ，再结合正弦定理和已知等式求出角； （2）由正弦定理求出边 与 的比例关系，结合余弦定理在 中列方程求出边长，最后代入面积公式计算； （3）求出外接圆半径，设角 并用正弦定理将 、 用 表示，化简 为三角函数后利用正弦函数的单调性求值域. 【小问1详解】 由，所以 化简得： 所以， 由，得， 又，所以， 代入得． 因为为锐角，故，所以 【小问2详解】 由 (1) 知 ，，且 所以，由，得， 在中由余弦定理： 即，解得，，， 所以. 【小问3详解】 由正弦定理：，所以． 因为点在的外接圆上，且和在两侧， 根据圆内接四边形的性质，， 在中，设， 由正弦定理可得：，， 代入并化简： 　 　 　 　 　 　 点在劣弧上：当无限接近时，是弦在处的切线与的夹角，趋于； 当运动到弧中点时，由对称性；当无限接近时，趋于． 的取值范围是， 因此， 根据正弦函数的单调性，． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 【答案】（1）时在单调递增；时在单调递减，在单调递增. （2） （3）当时，有两个零点、， 由可得，即， 零点、满足， 两式相减，两式相加得，即， 要证，即证，即证，即证， 设，由可得， 令，则，可得，则， 所以，，则. 所以即证，即证，其中， 因为，则，即证，其中， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求导，分时两种情况进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）先化简不等式得，令，将所求不等式变形为，构造函数，可知对任意的恒成立，则，则函数在处取得极小值，则，求出的值，再结合函数的最值与导数的关系验证即可； （3）化简函数的解析式得，根据零点定义得出，将两式分别相加和相减变形得出，，设，令，将所证不等式变形为，其中，构造函数，其中，结合导数法证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 因为，由得， 整理为，即， 令，则不等式为. 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，故， 设，则对任意的恒成立，所以， 所以函数在处取得极小值， 求导得，则，解得，此时，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2026-2027年度第一学期第一次素质检测 高三数学试卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 不可能是一次函数 11. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则的取值范围为 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则实数a的取值范围为__________． 13. ___________． 14. 已知函数，写出的一个对称轴方程________；当，则的最大值是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：函数的定义域为；命题：，不等式在上有解． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间； （2）若，求的值. 17. 已知关于的函数. （1）若不等式，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围. 18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求． （2）若点在边上，且．若，求的面积． （3）若点是的外接圆上的点，且点和点位于两侧，，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $