精品解析：江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 4. 设是抛物线的焦点，是上一点，且（为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 5. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 6. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴的另一个交点为，与轴的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 8. 已知和都是定义在上的奇函数，设，则（ ） A. 不可能是增函数 B. 不可能是偶函数 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，为AB的中点，则下列结论一定成立的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 的极大值为 C. 存在， D. 有最小值，无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量满足，且与的夹角为，则____________. 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 14. 已知四面体ABCD的顶点都在表面积为的球面上，若，则四面体ABCD的体积的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：是等差数列； （2）记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 17. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. （1）求的方程； （2）若在第一象限，的面积是的面积的2倍，求的坐标； （3）记在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断过点，，三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 19. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，再根据并集的概念计算即可. 【详解】由，即. 所以. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，即可作出判断. 【详解】由题意得：. 故选：A. 3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 4. 设是抛物线的焦点，是上一点，且（为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件确定点的坐标，再利用焦半径公式求. 【详解】如图： 当点在第四象限时，设（），因为，且， 所以， 又，所以，所以. 此时. 当在第一象限时，根据抛物线的对称性，可知亦成立. 故选：C 5. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，再两边同时取对数计算即可. 【详解】设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为月，则，即， 两边取常用对数得，所以. 故选：B. 6. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴的另一个交点为，与轴的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，列式可得点轨迹方程. 【详解】由题意，点在以为直径的圆上，所以. 又，， 所以. 故选：C 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 8. 已知和都是定义在上的奇函数，设，则（ ） A. 不可能是增函数 B. 不可能是偶函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，可判断A，C；设，，可判断B；分，，可判断D. 【详解】设，，则， 所以在上单调递增，且，故A，C错误； 设，，则，此时为偶函数，故B错误； 对于D：对任意， 若，则，即. 由题意可知， 所以，， 所以， . 所以； 若，上式也成立，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，为AB的中点，则下列结论一定成立的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理可判断A的正误，由面面平行的性质可判断B的正误，根据线面垂直的判定定理可判断C的正误，利用反证法可判断D的正误. 【详解】对于A，取中点，连接DE交于点，连结， 若平面，因为平面平面，平面， 故，由正三棱柱可得， 故四边形为平行四边形，故，但，矛盾 故A错误； 对于B，如图，由矩形可得， 由正三棱柱可得，， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正三棱柱可得平面， 而平面，所以， 因为是正的中线，所以， 而平面，故平面，故C正确； 对于D，若平面，因平面，故， 故矩形为正方形，由条件可知该结论不一定成立. 故选：BC. 10. 已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A.由正弦定理求解即可；对于B，由化简即可求解；对于C，分别求出，由，求出，结合余弦定理可求解；对于D，求出，由于，解得，利用等面积法即可求解. 【详解】对于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，则，则，故B正确； 对于C，由于，，则， 由于，，则， 则， 在中，由余弦定理：，即，故C不正确； 对于D，由于，则，， 由于，解得（负数舍去）； 因为在线段上，且满足平分．则在中，由等面积可得： ， 即，解得：，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 的极大值为 C. 存在， D. 有最小值，无最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；令，可得出，利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以曲线关于直线对称，A对； 对于B选项，因为， 则， 由可得或， 由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为、， 所以函数的极大值为，B对； 对于C选项，当时，， 因为在上是减函数，所以，C错； 对于D选项，令，则， 设，其中，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上只有最小值，无最大值， 故函数有最小值，无最大值，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量满足，且与的夹角为，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量数量积的定义求，再结合向量的运算法则求，可得. 【详解】由题意：， 所以， 所以. 故答案为： 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 【答案】3 【解析】 【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 14. 已知四面体ABCD的顶点都在表面积为的球面上，若，则四面体ABCD的体积的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求球心到底面的距离为定值，再求底面面积的最大值和三棱锥的高，即可求四面体体积的最大值. 【详解】如图： 设外接圆半径为，则. 在中，由余弦定理，， 所以（当且仅当时取等号）. 所以. 设所在截面的圆心为，球心为，四面体外接球半径为， 由. 则. 所以点到平面的最大距离为. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，建立如下图空间直角坐标系. 由题意：，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，可取. 取平面的法向量. 设二面角为， 则， 所以. 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：是等差数列； （2）记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 【答案】（1）证明：因为，显然，所以， 所以， 即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，即可求证； （2）通过分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 17. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问2详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. （1）求的方程； （2）若在第一象限，的面积是的面积的2倍，求的坐标； （3）记在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断过点，，三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是,圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）根据长轴的概念，结合离心率的值，求，可得椭圆方程. （2）根据点在椭圆上，结合三角形的面积列式，可求点坐标. （3）分直线的斜率是否存在讨论.当直线斜率存在时，设直线方程为，根据，可得的关系，进而用几何法求过三点的圆即可. 【小问1详解】 由题意：. 所以，椭圆的方程为：. 【小问2详解】 设（，），则① 因为②. 将②代入①得：，又，所以. 所以. 即所求点坐标为. 【小问3详解】 如图： 如直线斜率存在，可设直线方程为，代入椭圆方程， 可得， 整理得：. 由. 设，，则，. 又， 所以， . 所以直线的方程为. 所以线段的垂直平分线为. 又线段的垂直平分线为. 由. 所以，点都在以为圆心，点为圆上一点的圆上， 所以圆的方程为：，整理得：. 若直线斜率不存在，设直线方程为，. 设，则， 由. 此时，，三点均在圆上. 综上可知：点都在圆上. 19. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】（1） 证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. 即最小导周期为4. （2） （3），证明： 因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. 【小问3详解】 ，， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $