精品解析：江苏省苏北五校（徐州三中、扬大附中等）2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试题

2026—2027学年度高一年级第一学期第一次学情调研 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项：选择题填写答案字母；填空题填写结果；解答题写出必要的说明、证明或演算步骤． 一、单项选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先计算集合，再应用交集定义计算求解. 【详解】集合，，则，所以的元素个数为1. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式得或， 因为或，因此，是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】求的定义域， 即自变量要满足，解得且， 所以函数的定义域为. 4. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：，定义域为，，定义域为， 二者对应关系不一致（如时，），不是同一个函数，故A错误； 选项B：定义域为，定义域为， 二者定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 选项C：定义域为，的定义域为， 二者定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 选项D：，定义域为，，定义域为， 二者定义域、对应关系均完全一致，是同一个函数，故D正确. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】已知，故， ，故． 6. 关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】已知不等式的解集为， 由一元二次不等式的解集性质可知，区间端点和是对应一元二次方程的两个实数根， 对于方程，两根为，， 由韦达定理知，所以 . 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数换底公式、对数运算性质及同底对数互倒关系，将所求对数用已知的a、b表示即可得到结果. 【详解】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用换元法化简已知等式，再利用基本不等式求最小值． 【详解】设，则， 可化为， 由基本不等式，故，即， 当且仅当，即时取等号， 综上可得，的最小值为． 二、多项选择题 本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题意．全部选对得6分；有选错的得0分；部分选对时，每选对一个正确选项得2分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”为真命题 B. 对实数，是的充分条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 对非空集合，是的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项通过配方可得不等式恒成立；对B选项通过举反例判断不成立；对C选项由存在量词命题的否定可得；对D选项，充分性用反证法证明成立，必要性通过举反例判断不成立可得. 【详解】选项A：因为， 因此不等式对任意实数恒成立，该全称命题为真命题，A正确； 选项B：举反例，取，满足，但， 因此，充分性不成立，B错误； 选项C：特称命题的否定规则为：①将存在量词改为全称量词，②否定结论， 因此原命题“”的否定是“”，C正确； 选项D：充分性：若，且为非空集合， 假设，则，与矛盾， 因此假设不成立，所以，充分性成立； 必要性：取，满足，但，必要性不成立. 因此是的充分不必要条件，D正确. 10. 理想天平平衡时，两侧物体的质量与对应力臂长的乘积相等，即．一架不等臂天平的左、右力臂长分别为a，b，其中，，．店员先将质量为的砝码放在左盘，在右盘放入黄金，待天平平衡后取出黄金，称得黄金质量为x；再将该砝码放在右盘，在左盘放入黄金，待天平平衡后取出黄金，称得黄金质量为y．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由杠杆平衡条件得，再由第二次平衡得，比较与1的大小判断；选项B，将与相乘，约分后与比较；选项C，将化简为，由基本不等式判断能否等于2m；选项D，由时，判断与2m的大小关系. 【详解】由题意，第一次称量：砝码m在左盘（力臂a），黄金x在右盘（力臂b）， 由杠杆平衡条件，得； 第二次称量：砝码m在右盘（力臂b），黄金y在左盘（力臂a）， 由，得. 选项A，若，由，，得， 因，故，即，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，，由基本不等式， 当且仅当即时取等号，而已知，故，从而， 不等于2m，故C错误； 选项D，由C的推导，时，故，故D正确. 11. 设，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可. 【详解】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. 三、填空题 本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的所有子集中，含有元素且不含元素的子集共有________个． 【答案】 【解析】 【分析】将符合条件的子集按所含元素的个数分三类并列举出来，进而可得满足条件的子集个数. 【详解】根据题意，符合要求的子集需同时满足两个条件：①包含元素；②不包含元素. 因此仅需对剩余元素、进行选择，根据集合元素个数分类： （i）子集只有个元素的集合有：； （ii）子集有个元素的集合有：，； （iii）子集有个元素的集合有：. 综上，含有元素且不含元素的子集共有个. 13. 函数的图象由图中的两条线段构成，其中，，，O为坐标原点；空心圆表示不取该点，实心圆表示取该点．则集合______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，设，则由图可知，，解得，所以. 此时，即，解得； 当时，恒成立. 综上所述，集合. 14. 设函数的定义域为．若其值域恰有3个元素，则实数的所有可能值为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算定义域内各点对应的函数值，结合值域仅含3个元素的条件，分析函数值相等的情形，求解对应的a值并验证即可. 【详解】 ， ， ， ， . 函数值域共3个元素，说明上述5个函数值中仅有3个互异值. 分情况讨论： 当时，，函数值依次为，值域为，共3个元素，符合条件； 当时，列方程，解得，此时函数值依次为，值域为，共3个元素，符合条件； 当时，列方程，解得，此时函数值依次为，值域为，共3个元素，符合条件. 其余情形下，函数值互异个数均大于3，不符合要求. 综上，实数的所有可能值为. 四、解答题 本大题共5小题，共77分． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）利用换底公式以及对数的运算性质求解即可； 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 原式 . 16. 已知集合，．其中表示有序数对，两个有序数对相等，当且仅当对应位置的数分别相等． （1）定义，．写出M，N，并求． （2）定义集合．若，且，求b的值． 【答案】（1），，. （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，按描述法逐一列举： ， ， 两个有序数对相等当且仅当对应位置的数分别相等，故. 【小问2详解】 由， ，，列举得， 将分母有理化： ， ，故，即，，解得或， 又 ，故 ， 验证：当 时，，符合题意. 17. 已知，，且，记，． （1）求的最大值，并写出取得最大值时，的值． （2）某同学认为：“当取得最大值时，也取得最小值．”判断该同学的说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，求出的最小值及取得最小值时，的值． 【答案】（1）的最大值为18，取得最大值时，. （2）该同学的说法不正确，理由如下： 当取得最大值时，，，此时， 因为，所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 因此，，故的最小值不是， 联立，解得，该同学的说法不正确， 的最小值为，取最小值时，. 【解析】 【小问1详解】 因为，，由基本不等式可得：， 将代入得：，所以，当且仅当时等号成立， 联立解得， 故的最大值为18时，此时，. 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的函数，其中a为实常数． （1）当时，解不等式． （2）当时，解关于x的不等式． （3）若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，将分式不等式转化为整式不等式即可求解. （2）将分式不等式转化为整式不等式，对参数分类讨论，分为， ，，四种情况，对每种情况解含参不等式即可. （3）将不等式移项通分后转化为整式不等式，对参数分类讨论，分为， ，，四种情况，观察每种情况是否满足不等式在区间内有解即可. 【小问1详解】 当时，， 不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 时，， 不等式等价于， 解不等式得， 解不等式， 对于方程，解得，， 当时， ， 不等式的解为或， 所以原不等式的解为或，即； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即； 当时， ， 不等式的解为， 又因为，所以原不等式的解为； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意可知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 等价于在区间内有解， 当时，， 又因为，所以， 所以 在区间内无解； 当时，不等式为，无解； 当时，， ，所以取，不等式成立， 即此时在区间内有解； 当时，，， 所以，所以 在区间内无解. 综上所述，符合题意的a的取值范围为. 19. 设，函数．若对每个，都有，则称f满足条件P．记，． （1）下表给出一个函数f．判断它是否满足条件P，并写出集合E，T． x 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 6 7 4 5 （2）设f满足条件P． （i）证明． （ii）证明集合E中元素的个数为奇数． 【答案】（1）该函数满足条件P，， （2）（i） 任取，由的定义，，即， 由条件P，， 假设，则，代入得，与矛盾， 因此，即，故； 任取，令， 由条件P，， 假设，则，即，与（）矛盾，故，即， 因此存在使得，故， 所以. （ii）由（i）可知，是集合上的函数，且对任意，同时满足： （条件P）；（的定义）. 因此中的元素可两两配对：对任意，与构成一个二元组.若两个二元组相交，则由可知它们相同，故每个二元组包含2个不同元素，且所有二元组互不相交、覆盖全部，故必为偶数， 又，7是奇数，因此， 奇数减偶数仍为奇数，故集合中元素的个数为奇数. 【解析】 【分析】（1）按定义逐一代入验算，找出不动点得到 ，其余元素构成； （2）(i)利用双向包含证明集合相等，结合反证法说明不会跑到不动点集E里； (ii)内元素两两配对，元素总数为偶数，由推出是奇数. 【小问1详解】 对每个逐一验证， ，， ， ，， ，， 所有均满足，因此该函数满足条件P， 集合，仅满足，故 ，因此. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高一年级第一学期第一次学情调研 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项：选择题填写答案字母；填空题填写结果；解答题写出必要的说明、证明或演算步骤． 一、单项选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 二、多项选择题 本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题意．全部选对得6分；有选错的得0分；部分选对时，每选对一个正确选项得2分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”为真命题 B. 对实数，是的充分条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 对非空集合，是的充分不必要条件 10. 理想天平平衡时，两侧物体的质量与对应力臂长的乘积相等，即．一架不等臂天平的左、右力臂长分别为a，b，其中，，．店员先将质量为的砝码放在左盘，在右盘放入黄金，待天平平衡后取出黄金，称得黄金质量为x；再将该砝码放在右盘，在左盘放入黄金，待天平平衡后取出黄金，称得黄金质量为y．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 11. 设，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的所有子集中，含有元素且不含元素的子集共有________个． 13. 函数的图象由图中的两条线段构成，其中，，，O为坐标原点；空心圆表示不取该点，实心圆表示取该点．则集合______． 14. 设函数的定义域为．若其值域恰有3个元素，则实数的所有可能值为________________________． 四、解答题 本大题共5小题，共77分． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 已知集合，．其中表示有序数对，两个有序数对相等，当且仅当对应位置的数分别相等． （1）定义，．写出M，N，并求． （2）定义集合．若，且，求b的值． 17. 已知，，且，记，． （1）求的最大值，并写出取得最大值时，的值． （2）某同学认为：“当取得最大值时，也取得最小值．”判断该同学的说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，求出的最小值及取得最小值时，的值． 18. 已知关于x的函数，其中a为实常数． （1）当时，解不等式． （2）当时，解关于x的不等式． （3）若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 19. 设，函数．若对每个，都有，则称f满足条件P．记，． （1）下表给出一个函数f．判断它是否满足条件P，并写出集合E，T． x 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 6 7 4 5 （2）设f满足条件P． （i）证明． （ii）证明集合E中元素的个数为奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $