15.1.2 线段的垂直平分线讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2 线段的垂直平分线 · 基础讲义 15.1.2 线段的垂直平分线 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　垂直平分线的性质与判定 2 题型 1　由垂直平分线求线段与周长 3 题型 2　由垂直平分线求角度 5 题型 3　性质与判定的辨析 8 题型 4　到几点距离相等的选址 9 微专题 2　尺规作图与作图识别 10 题型 1　识别尺规作图的痕迹 10 题型 2　按条件作垂直平分线 12 题型 3　作对称轴与基本作图综合 14 培优微专题 3　动点与最值问题 15 培优题型 1　距离和的最小值 15 培优题型 2　最小值与最大值综合 17 微专题 4　证明与综合应用 18 题型 1　证明线段相等与垂直平分 19 题型 2　角平分线与垂直平分线综合 21 一、本讲导航 学习目标 1．理解线段垂直平分线的概念，能说清"经过中点"与"垂直于线段"这两个条件缺一不可，会判断一条直线是不是某条线段的垂直平分线。 2．探索并证明线段垂直平分线的性质定理——线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，并用它求线段长、周长与角度。 3．探索并证明性质定理的逆定理——与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，会用"两点确定一条直线"判定垂直平分线。 4．能用尺规作图作一条线段的垂直平分线，能由作图痕迹说出所作的是哪条线段的垂直平分线，会按要求作出满足条件的点。 5．会用垂直平分线解决实际选址问题（到几个点距离相等），能把"距离和最小"的问题转化为"两点之间线段最短"。 6．在作图、说理与转化的过程中体会"对称——化折为直"的思想方法，发展几何直观、推理能力与空间观念。 重点与难点 重点　垂直平分线的性质定理与逆定理；用性质求周长与角度；尺规作线段的垂直平分线；由作图痕迹识别所作图形。 难点　① 性质定理与逆定理的区分与选用；② 两条边垂直平分线交点处角度的计算；③ 作图痕迹的辨认（弧的圆心在哪两个点）；④ 动点最值中把折线化为直线；⑤ 与角平分线同时出现时辅助线的构造。 学习主线 认定义（过中点且垂直）→ 用性质（换边、换角、求周长）→ 用逆定理（判定与说理）→ 尺规作图与痕迹识别 → 化折为直求最值 → 与角平分线联合作综合证明。 微专题 1　垂直平分线的性质与判定 模块导学 垂直平分线的性质与判定 一条直线要成为垂直平分线，"过中点"和"垂直"缺一不可；而一旦成立，线上的点到两端距离相等，反过来距离相等的点也必在这条线上——本节绝大多数求值与辨析都绕这两句话转。 知识梳理 知识点 1　垂直平分线的性质与判定（重点） ① 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。两个条件——过中点、垂直于线段。 ② 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。写成符号：若直线 l 垂直平分 AB，P 在 l 上，则 PA＝PB。 ③ 逆定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它是"判定"的依据，与性质定理互为逆命题。 ④ 两条定理合起来给出点的集合刻画：线段的垂直平分线就是到线段两端距离相等的所有点组成的直线。 ⑤ 判定一条直线是垂直平分线有两条路：一是证"过中点且垂直"；二是证这条直线上有两个点都到两端距离相等。 ⑥ 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心。 ⑦ 求周长：把垂直平分线上的点与两端连起来，用 PA＝PB 把一条边"换"成另一条，周长就变成几条已知线段的和。 ⑧ 求角度：由 PA＝PB 得到等腰三角形，再用"等边对等角"和三角形内角和求值。 ⑨ 两条边的垂直平分线交于一点时，该点到三个顶点距离都相等，于是图中出现三个等腰三角形，这是求交点处角度的通用入口。 ⑩ 求角常用结论：若 O 是△ABC 三边垂直平分线的交点，则 ＝2∠A（ 为锐角时成立； 为钝角时是 －2∠A）；用等腰三角形顶角与底角的关系即可推出。 ⑪ 性质定理与逆定理的条件、结论正好互换：前者"点在线上→距离相等"，后者"距离相等→点在线"。做题先看要证什么，再决定用哪一条。 ⑫ 判断命题真假时，逆命题要把条件与结论对调后重新判断。例如"全等三角形的面积相等"的逆命题是"面积相等的三角形全等"，是假命题。 ⑬ 涉及垂直平分线的常见真命题：到两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上的点到两端距离相等。 ⑭ 常见假命题：到线段两端距离相等的点在三角形内部；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等且到中点距离为零。 注意　垂直平分线是一条直线，可以向两端无限延伸；书写时常记为"l 垂直平分 AB"，不要写成"l 是 AB 的中垂线段"。 易错　只满足"垂直于线段"或只满足"过中点"的直线，都不是垂直平分线；判断时必须两个条件同时成立。 注意　题目里出现"下列结论一定正确的是"，要逐个把选项代回定义检验，不能只看图"像不像"。 易错　把"两点到线段两端距离相等"直接当成"这两点的连线就是垂直平分线"——还需要这两点不重合、且都在线段所在平面内。 题型 1 由垂直平分线求线段与周长 　　例 1　　　如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（　　） A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　D．　　　　 　　变式 1　　　如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13　　　　B．14　　　　 C．15　　　　D．16　　　 　　变式 2　　　如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为7，则的周长是（　） A．7　　　　B．9　　　　 C．11　　　　D．13　　　 　　变式 3　　　如图，的边的垂直平分线交于D，若的周长是10cm，cm，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿cm． 　 　 　　变式 4　　　如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为，则＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 　 　 　 　 　　变式 6　　　如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为＿＿＿＿＿＿； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 　 　 　　变式 7　　　如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)与的数量关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)求的长； (3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 　 　 　　变式 8　　　如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F，，，求的周长． 　 　 　 　 题型 2 由垂直平分线求角度 　　例 2　　　如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若等于，则等于（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 9　　　如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的大小为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 10　　　在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 11　　　如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 12　　　如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O．若，则（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 13　　　如图，点D、E是的边BC上的点，且，，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 14　　　如图，的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上．若，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 15　　　如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 16　　　如图，在△ABC中，AB=AC，的垂直平分线交于点． （1）已知，求的度数； （2）已知的周长为，，求与的长． 　　 　 　 　 　 题型 3 性质与判定的辨析 　　例 3　　　下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（　　） A．，　　　　B．，　　　 　C．，　D．，平分 　　变式 17　　　如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 18　　　如图，，，下列结论一定正确的是（　　） A．平分　　　　B．垂直平分　　　 　C．垂直平分　D．与互相垂直平分 　　变式 19　　　下列命题的逆命题不是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的面积相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 　　变式 20　　　如图，直线与交于点O，，下列结论中正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．是的垂直平分线　D．点P在的垂直平分线上 　　变式 21　　　下列命题中，属于假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 　　变式 22　　　如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对　　　　B．小亮说得对，可添条件为“”　　　 　C．小亮说得对，可添条件为“”　D．小亮说得对，可添条件为“平分” 　　变式 23　　　命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿命题（填“真”或“假”）． 　 　 　　变式 24　　　请你写出一个逆命题为真命题的命题＿＿＿＿＿ 　 　 题型 4 到几点距离相等的选址 　　例 4　　　在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A．三边中线的交点　　　　B．三条角平分线的交点　　　 　C．三边上高的交点　D．三条垂直平分线的交点 　　变式 25　　　如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处　　　　B．三条角平分线的交点处　　　 　C．三条高线的交点处　D．三条垂直平分线的交点处 　　变式 26　　　如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（　　） A．三条角平分线的交点　　　　B．三条高的交点　　　 　C．三边垂直平分线的交点　D．三条中线的交点 微专题 2　尺规作图与作图识别 模块导学 尺规作图与作图识别 以两端点为圆心、大于一半长为半径画两弧，两弧交点的连线就是垂直平分线；反过来看题目给的弧，先找圆心是哪两点，就知道作的是谁的垂直平分线。 知识梳理 知识点 2　作线段的垂直平分线（重点） ① 基本作图：分别以线段 AB 的两个端点为圆心，以大于 AB 一半的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，这条直线就是 AB 的垂直平分线。 ② 半径必须大于 AB 的一半：小于一半时两弧不相交，等于一半时两弧只相切于中点，都作不出直线。 ③ 原理：两个交点 P、Q 都满足 PA＝PB、QA＝QB，由逆定理它们都在 AB 的垂直平分线上，两点确定一条直线。 ④ 过一点作已知直线的垂线也用这套弧：点在直线外时，以该点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。 ⑤ 作图形的对称轴：先找一组对应点，连线的垂直平分线就是对称轴；为可靠起见常找两组对应点，两条垂直平分线应重合。 ⑥ 识别作图痕迹：先看弧的圆心是哪两个点，得到的直线就是这两点连线的垂直平分线；再看它与哪条边相交，就知道确定了哪个点。 ⑦ 作到两点距离相等的点：作这两点连线的垂直平分线，它与指定直线（或边）的交点即所求。 ⑧ 作到三点距离相等的点：作其中两条边的垂直平分线，交点即所求，本质是三角形的外心。 ⑨ 作到两边距离相等的点：作这个角的角平分线——注意与垂直平分线的作图痕迹区分，角平分线的弧圆心在角的顶点。 ⑩ 两个条件同时满足（如"到两点距离相等，且在角平分线上"）：分别作出两条线，交点即所求。 ⑪ 比较面积相等的作图题：两三角形若同底，只要高相等面积就相等，而作平行线正是保证高相等的常用手段。 注意　尺规作图题一般要求"不写作法、保留作图痕迹"；痕迹要留全，弧线不能擦掉，否则判为未作图。 易错　把"作角平分线"的痕迹误判成"作垂直平分线"——前者两弧的圆心是顶点与两边上的点，后者两弧的圆心是线段的两个端点。 题型 1 识别尺规作图的痕迹 　　例 1　　　如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于　AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　） A．的平分线　　　　B．AC边的中线　　　 　C．BC边的高线　D．AB边的垂直平分线 　　变式 1　　　下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 5　　　如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 按条件作垂直平分线 　　例 2　　　如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 　　 　 　 　 　 　　变式 6　　　如图，有分别过两个加油站的公路，相交于点，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点P既在线段的垂直平分线上，又在的平分线上．请用尺规作图作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 　 　 　 　 　　变式 7　　　如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点（不写作法、保留作图痕迹）． (2)求证：． 　 　 　 　 　　变式 8　　　如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 　 　 　 　 　　变式 9　　　尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 　 　 　 　 　　变式 10　　　如图，已知在中，，． 尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于D； ②作线段的垂直平分线分别交于点E、交的延长线于点F． 　 　 　 　 题型 3 作对称轴与基本作图综合 　　例 3　　　作出如图所示轴对称图形的对称轴． 　 　 　 　 　　变式 11　　　画出图中所示图形的对称轴．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 　 　 　 　 　　变式 12　　　如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高及的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 　 　 　 　 　　变式 13　　　如图，分别画出中，边上的中线，以及角平分线．（尺规作图，保留作图痕迹） 　 　 　 　 培优微专题 3　动点与最值问题 模块导学 动点与最值问题 垂直平分线上有动点，先把"到一端的距离"换成"到另一端的距离"，两条线段并成一条折线，再用两点之间线段最短。 知识梳理 知识点 3　把折线化为直线（难点） ① 基本模型：直线 l 上有一动点 P，A、B 是直线同侧的两个定点，求 PA＋PB 的最小值。 ② 通用手法：作其中一点关于 l 的对称点，把 PA 换成 PA′，两条线段并成 A′B，当 A′、P、B 共线时取最小值，最小值为 A′B。 ③ 垂直平分线上的动点：由性质直接得 PA＝PB，不必再作对称点，把 PB 换成 PA 即可把两条线段并到一条折线上。 ④ 求周长最小：周长中有一段是定值，只需让其余两条动线段之和最小，问题立刻化为上面的基本模型。 ⑤ 已知面积求高：由面积与底算出高，就把"点到直线的距离"变成一个具体数值，便于求最小时的线段长度。 ⑥ 等腰三角形中的动点：常配合"三线合一"，把动点约束到对称轴上，再用对称轴上的点到两端距离相等转化。 ⑦ 求最大值：当三点共线时 |PA－PB| 取最大值，或用三角形两边之差小于第三边来确定极值位置。 ⑧ 书写规范：先写"由垂直平分线的性质得 PA＝PB"，再写"当 A、P、C 三点共线时取最小值"，最后代入数值。 注意　动点若被限制在某条线段（而不是整条直线）上，取值位置可能落在端点，要回头检验。 易错　直接把两个定点连起来求长度——那条线段未必经过动点所在的直线。 培优题型 1 距离和的最小值 　　例 1　　　如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（　　） A．10　　　　B．12　　　　 C．14　　　　D．15　　　 　　变式 1　　　如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（　　） A．4　　　　B．6　　　　 C．8　　　　D．10　　　 　　变式 2　　　如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一个动点，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　如图，在中，，　l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 培优题型 2 最小值与最大值综合 　　例 2　　　如图，在中，，，，，平分，如果M、N分别为、上的动点，那么的最小值是（　　） A．2.4　　　　B．3　　　　 C．4　　　　D．4.8　　　 　　变式 7　　　如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接，与分别相交于点E，F，连接．　若，则的周长为＿＿＿＿＿＿　；若，则的度数为＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 微专题 4　证明与综合应用 模块导学 证明与综合应用 证相等找垂直平分线，证垂直平分线找"到两端距离相等"；与角平分线同时出现时，过交点向两边作垂线是通用入口。 知识梳理 知识点 4　证明与综合应用（重点） ① 证两条线段相等：若它们是从同一点到同一条线段两端的距离，直接找垂直平分线用性质定理，比证全等快得多。 ② 证一个点在垂直平分线上：只需证它到线段两端距离相等，用逆定理。 ③ 证一条直线是垂直平分线：可证它过中点且垂直，也可证这条直线上有两个点到两端距离相等，再"两点确定一条直线"。 ④ 与全等配合：图中没有现成的垂直平分线时，先用全等证出一组相等的线段，再回到垂直平分线。 ⑤ 等腰三角形中的"三线合一"：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这条线就是底边的垂直平分线。 ⑥ 线段的和差：用等量代换把需要相加的线段搬到同一条直线上，再用线段的和差关系得出结论。 ⑦ 两条性质联立：角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等；交点同时具备这两条，于是产生多组相等的线段。 ⑧ 经典辅助线：过交点向角的两边作垂线，得到两个直角三角形，再用 HL 或 AAS 证全等。 ⑨ 常见结论：角平分线与对边的垂直平分线交于一点，则该点到角两边的距离相等，到线段两端的距离也相等。 ⑩ 证两个角相等：常先由全等得对应角相等，再用"等边对等角"或角平分线的定义收口。 ⑪ 求线段长：把待求线段放进直角三角形，用勾股或全等转移；也可用"角平分线＋垂线"构造出相等的线段。 ⑫ 面积法的应用：已知面积与底求高，再由全等把高搬到需要的位置。 注意　由 PA＝PB 判定"P 在垂直平分线上"时，要保证 P 不在直线 AB 上，否则是退化情形。 易错　把垂直平分线的性质与角平分线的性质混用——前者给"到两端距离相等"，后者给"到两边距离相等"。 注意　辅助线要写清"过点 P 作 PE⊥OA 于 E"，并注明作的是垂线，不能只画不写。 易错　看到角平分线就直接用"到两边距离相等"，忘了这个点必须先在角平分线上——图上的点未必是角平分线上的点。 题型 1 证明线段相等与垂直平分 　　例 1　　　如图，，，垂直平分．求证：．（提示：连接，） 　 　 　 　 　　变式 1　　　如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 　 　 　 　 　　变式 2　　　如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 　 　 　 　 　　变式 3　　　如图，P是内的一点，连接，，求证：． 　 　 　 　 　　变式 4　　　如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 　 　 　 　 　　变式 5　　　如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 　 　 　 　 　　变式 6　　　如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 　 　 　 　 　　变式 7　　　如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 　 　 　 　 题型 2 角平分线与垂直平分线综合 　　例 2　　　如图，在梯形中，，为中点，连接并延长交的延长线于点． 　　 (1)求证：； (2)若，，当为多少时，点在线段的垂直平分线上？说明理由． 　 　 　 　 　　变式 8　　　如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 9　　　如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 　 　 　 　 　　变式 10　　　如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 　 　 　 　 　　变式 11　　　如图，中，，且点为的中点，于于． (1)求证：平分； (2)探究、和的数量关系，并说明理由． 　 　 　 　 　　变式 12　　　如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 　 　 　 　 　　变式 13　　　如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 　 　 　 　 　　变式 14　　　已知，在中，． (1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 　 　 　　变式 15　　　如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，求长度． 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $15.1.2 线段的垂直平分线 · 基础讲义 15.1.2 线段的垂直平分线 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　垂直平分线的性质与判定 2 题型 1　由垂直平分线求线段与周长 3 题型 2　由垂直平分线求角度 8 题型 3　性质与判定的辨析 13 题型 4　到几点距离相等的选址 16 微专题 2　尺规作图与作图识别 18 题型 1　识别尺规作图的痕迹 18 题型 2　按条件作垂直平分线 21 题型 3　作对称轴与基本作图综合 24 培优微专题 3　动点与最值问题 26 培优题型 1　距离和的最小值 27 培优题型 2　最小值与最大值综合 32 微专题 4　证明与综合应用 35 题型 1　证明线段相等与垂直平分 35 题型 2　角平分线与垂直平分线综合 40 一、本讲导航 学习目标 1．理解线段垂直平分线的概念，能说清"经过中点"与"垂直于线段"这两个条件缺一不可，会判断一条直线是不是某条线段的垂直平分线。 2．探索并证明线段垂直平分线的性质定理——线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，并用它求线段长、周长与角度。 3．探索并证明性质定理的逆定理——与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，会用"两点确定一条直线"判定垂直平分线。 4．能用尺规作图作一条线段的垂直平分线，能由作图痕迹说出所作的是哪条线段的垂直平分线，会按要求作出满足条件的点。 5．会用垂直平分线解决实际选址问题（到几个点距离相等），能把"距离和最小"的问题转化为"两点之间线段最短"。 6．在作图、说理与转化的过程中体会"对称——化折为直"的思想方法，发展几何直观、推理能力与空间观念。 重点与难点 重点　垂直平分线的性质定理与逆定理；用性质求周长与角度；尺规作线段的垂直平分线；由作图痕迹识别所作图形。 难点　① 性质定理与逆定理的区分与选用；② 两条边垂直平分线交点处角度的计算；③ 作图痕迹的辨认（弧的圆心在哪两个点）；④ 动点最值中把折线化为直线；⑤ 与角平分线同时出现时辅助线的构造。 学习主线 认定义（过中点且垂直）→ 用性质（换边、换角、求周长）→ 用逆定理（判定与说理）→ 尺规作图与痕迹识别 → 化折为直求最值 → 与角平分线联合作综合证明。 微专题 1　垂直平分线的性质与判定 模块导学 垂直平分线的性质与判定 一条直线要成为垂直平分线，"过中点"和"垂直"缺一不可；而一旦成立，线上的点到两端距离相等，反过来距离相等的点也必在这条线上——本节绝大多数求值与辨析都绕这两句话转。 知识梳理 知识点 1　垂直平分线的性质与判定（重点） ① 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。两个条件——过中点、垂直于线段。 ② 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。写成符号：若直线 l 垂直平分 AB，P 在 l 上，则 PA＝PB。 ③ 逆定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它是"判定"的依据，与性质定理互为逆命题。 ④ 两条定理合起来给出点的集合刻画：线段的垂直平分线就是到线段两端距离相等的所有点组成的直线。 ⑤ 判定一条直线是垂直平分线有两条路：一是证"过中点且垂直"；二是证这条直线上有两个点都到两端距离相等。 ⑥ 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心。 ⑦ 求周长：把垂直平分线上的点与两端连起来，用 PA＝PB 把一条边"换"成另一条，周长就变成几条已知线段的和。 ⑧ 求角度：由 PA＝PB 得到等腰三角形，再用"等边对等角"和三角形内角和求值。 ⑨ 两条边的垂直平分线交于一点时，该点到三个顶点距离都相等，于是图中出现三个等腰三角形，这是求交点处角度的通用入口。 ⑩ 求角常用结论：若 O 是△ABC 三边垂直平分线的交点，则 ＝2∠A（ 为锐角时成立； 为钝角时是 －2∠A）；用等腰三角形顶角与底角的关系即可推出。 ⑪ 性质定理与逆定理的条件、结论正好互换：前者"点在线上→距离相等"，后者"距离相等→点在线"。做题先看要证什么，再决定用哪一条。 ⑫ 判断命题真假时，逆命题要把条件与结论对调后重新判断。例如"全等三角形的面积相等"的逆命题是"面积相等的三角形全等"，是假命题。 ⑬ 涉及垂直平分线的常见真命题：到两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上的点到两端距离相等。 ⑭ 常见假命题：到线段两端距离相等的点在三角形内部；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等且到中点距离为零。 注意　垂直平分线是一条直线，可以向两端无限延伸；书写时常记为"l 垂直平分 AB"，不要写成"l 是 AB 的中垂线段"。 易错　只满足"垂直于线段"或只满足"过中点"的直线，都不是垂直平分线；判断时必须两个条件同时成立。 注意　题目里出现"下列结论一定正确的是"，要逐个把选项代回定义检验，不能只看图"像不像"。 易错　把"两点到线段两端距离相等"直接当成"这两点的连线就是垂直平分线"——还需要这两点不重合、且都在线段所在平面内。 题型 1 由垂直平分线求线段与周长 　　例 1　　　如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（　　） A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　D．　　　　 思路分析　根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 　　答案　　　D 　　变式 1　　　如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13　　　　B．14　　　　 C．15　　　　D．16　　　 思路分析　本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 2　　　如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为7，则的周长是（　） A．7　　　　B．9　　　　 C．11　　　　D．13　　　 思路分析　根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据的周长为7，可得，从而可求出的周长． 解：是的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， ， ， 的周长 　　答案　　　C 　　变式 3　　　如图，的边的垂直平分线交于D，若的周长是10cm，cm，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿cm． 思路分析　根据的周长是10cm，cm，可求出，又是的垂直平分线，可得，从而即可求解． ∵，cm ∴ ∵是的垂直平分线 ∴ ∴ 故答案为：6 　　答案　　　6 点睛　本题考查垂直平分线的性质，懂得将线段的转化是解题的关键． 　　变式 4　　　如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为，则＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 解：是的中垂线， ， 的周长为， ，即． ， ， 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 5　　　如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 思路分析　本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． （1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 6　　　如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为＿＿＿＿＿＿； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 思路分析　（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． （1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， 　， 　， 　的周长为，　 　， 　， 　， 即； （2）略 　　答案　　　(1)(2)点在边的垂直平分线上，理由如下：连接、，直线垂直平分边，点在直线上，　，点在边的垂直平分线上，　，　，点在边的垂直平分线上． 　　变式 7　　　如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)与的数量关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)求的长； (3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 思路分析　（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为，结合（1）中结论，得出，即可得出答案； （3）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可得出点在边的垂直平分线上． （1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为 ∴， 由（1）可知，， ∴，即． （3）解：点在边的垂直平分线上，理由略． 　　答案　　　(1)(2)(3)解：点在边的垂直平分线上，理由如下，如图，连接、、，∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与相交于点，∴，，∴，∴点在边的垂直平分线上． 　　变式 8　　　如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F，，，求的周长． 思路分析　根据线段垂直平分线的性质得到，，再结合三角形的周长计算即可． 解：，的垂直平分线分别交于点E，F， ，， ，， 的周长为． 　　答案　　　 题型 2 由垂直平分线求角度 　　例 2　　　如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若等于，则等于（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　连接OA，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到＝，＝，根据三角形内角和定理计算即可． 解：连接OA， ∵＝， ∴＝﹣＝， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴＝，＝， ∴＝﹣（）＝， ∴＝， 故选A． 　　答案　　　A 点睛　本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 　　变式 9　　　如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的大小为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　由题意可知点O为△ABC的外接圆圆心，由圆周角定理可求得=，根据等角的余角相等得到． 解：∵点是边和的垂直平分线、的交点， ∴点O为△ABC的外接圆圆心，， ∴为的所对的弧对应的圆心角， ∵， ∴=， ∵，， ∴， 故选：C． 　　答案　　　C 点睛　本题考查垂直平分线的性质、三角形外心定义、圆周角定理、同角的余角相等，熟练掌握圆周角定理和垂直平分线的性质，熟知三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解答的关键． 　　变式 10　　　在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 　　答案　　　D 　　变式 11　　　如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到＝＝，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 解：∵在中，，垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C 　　答案　　　C 点睛　本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 　　变式 12　　　如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O．若，则（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和＝＝，根据四边形的内角和为得＋＝，根据外角的性质得＝＋，＝＋，相加可得结论． 解：连接BO，并延长BO到P， ∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别于AB，BC交于D，E， ∴AO＝OB＝OC，＝＝， ∴＋＝， ∵＋∠1＝， ∴＝∠1＝， ∵OA＝OB＝OC， ∴＝，＝， ∵＝＋，＝＋， ∴＝＋＝＋＋＝2∠ABC=2×40°＝； 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 　　变式 13　　　如图，点D、E是的边BC上的点，且，，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得，，再根据比例关系设，根据三角形内角和定理可求得x，再根据三角形外角的性质可得． 解：∵点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上， ∴AD=CD，AE=BE， ∴，， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即， 故答案为：80． 　　答案　　　80 点睛　本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． 　　变式 14　　　如图，的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上．若，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　由垂直平分线得到等腰三角形，可得，，利用三角形内角和求出，再在直角三角形中求出，最后在中算出． 解：　垂直平分，垂直平分， 　，， 　，， 　，， 　， ， 　， 　，， 　， ， 　，， 　， 　． 　　答案　　　/80度 　　变式 15　　　如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据线段的垂直平分线的性质得到，代入计算即可得到答案． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 　　答案　　　 点睛　本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 　　变式 16　　　如图，在△ABC中，AB=AC，的垂直平分线交于点． （1）已知，求的度数； （2）已知的周长为，，求与的长． 　　 思路分析　（1）根据等边对等角和三角形内角和定理可以推出，根据垂直平分线的性质即可推出，便可推出的度数； （2）根据题意可知AC+BC=8，然后根据AC-BC=2，即可得AC、BC的长度． 解：（1）∵AB=AC，， ∴． ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴， ∴． （2）∵△BCE的周长为8cm， ∴BE+EC+BC=8cm． ∵AE=BE， ∴AE+EC+BC=8cm，　 即AC+BC=8cm．　 ∵AC-BC=2cm， ∴AC=5cm，BC=3cm．　 ∵AB=AC， ∴AB=5cm． 　　答案　　　（1）．（2）BC=3cm，AB=5cm． 点睛　本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．（1）能利用等边对等角求角度是解题关键；（2）能得出AC+BC=8cm是解题关键． 题型 3 性质与判定的辨析 　　例 3　　　下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（　　） A．，　　　　B．，　　　 　C．，　D．，平分 思路分析　本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图， 　　，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 17　　　如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了垂直平分线的性质，根据“垂直平分线上的点到两端距离相等”进行解答即可． 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故A正确，符合题意； B、C、D均不正确，不符合题意； 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 18　　　如图，，，下列结论一定正确的是（　　） A．平分　　　　B．垂直平分　　　 　C．垂直平分　D．与互相垂直平分 思路分析　本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 解：∵，， ∴点A、　B　在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 　　答案　　　C 　　变式 19　　　下列命题的逆命题不是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的面积相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 思路分析　根据平行线的判定，直角三角形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定定理，逐项进行判断即可． 解：A选项逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B选项逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故B不符合题意； C选项逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，例如同底等高的三角形面积相等，但不一定全等，故C符合题意； D选项逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故D不符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 20　　　如图，直线与交于点O，，下列结论中正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．是的垂直平分线　D．点P在的垂直平分线上 思路分析　根据线段的垂直平分线的判定进行解答即可． 解：因为直线PO与AB交于点O，且PA=PB， 所以P在线段AB的垂直平分线上， 故选：D． 　　答案　　　D 点睛　此题考查线段垂直平分线的判定，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定方法． 　　变式 21　　　下列命题中，属于假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 思路分析　本题考查了假命题的判断，邻补角的定义，对顶角性质，平行公理，点到直线的距离，根据错误的命题是假命题，对顶角相等，平行于同一条直线的两条直线平行，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离等内容进行逐项分析，即可作答． 解：A、对顶角相等，原说法不是假命题，故该选项不符合题意， B、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法是假命题，故该选项符合题意， C、平行于同一条直线的两条直线平行，原说法不是假命题，故该选项不符合题意， D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法不是假命题，故该选项不符合题意， 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 22　　　如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对　　　　B．小亮说得对，可添条件为“”　　　 　C．小亮说得对，可添条件为“”　D．小亮说得对，可添条件为“平分” 思路分析　本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则，　 　， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则，　 　， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 23　　　命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿命题（填“真”或“假”）． 思路分析　先写出逆命题，再判断真假即可． 解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 　　答案　　　假 　　变式 24　　　请你写出一个逆命题为真命题的命题＿＿＿＿＿ 思路分析　本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 根据题意求解即可． 解：如命题：同位角相等，两直线平行； 逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题． 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 　　答案　　　两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 题型 4 到几点距离相等的选址 　　例 4　　　在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A．三边中线的交点　　　　B．三条角平分线的交点　　　 　C．三边上高的交点　D．三条垂直平分线的交点 思路分析　游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 解：∵　游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵　三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴　凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 　　答案　　　D 　　变式 25　　　如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处　　　　B．三条角平分线的交点处　　　 　C．三条高线的交点处　D．三条垂直平分线的交点处 思路分析　本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键． 由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答． 解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意；　 D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意． 故选D． 　　答案　　　D 　　变式 26　　　如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（　　） A．三条角平分线的交点　　　　B．三条高的交点　　　 　C．三边垂直平分线的交点　D．三条中线的交点 思路分析　本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 　　答案　　　C 微专题 2　尺规作图与作图识别 模块导学 尺规作图与作图识别 以两端点为圆心、大于一半长为半径画两弧，两弧交点的连线就是垂直平分线；反过来看题目给的弧，先找圆心是哪两点，就知道作的是谁的垂直平分线。 知识梳理 知识点 2　作线段的垂直平分线（重点） ① 基本作图：分别以线段 AB 的两个端点为圆心，以大于 AB 一半的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，这条直线就是 AB 的垂直平分线。 ② 半径必须大于 AB 的一半：小于一半时两弧不相交，等于一半时两弧只相切于中点，都作不出直线。 ③ 原理：两个交点 P、Q 都满足 PA＝PB、QA＝QB，由逆定理它们都在 AB 的垂直平分线上，两点确定一条直线。 ④ 过一点作已知直线的垂线也用这套弧：点在直线外时，以该点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。 ⑤ 作图形的对称轴：先找一组对应点，连线的垂直平分线就是对称轴；为可靠起见常找两组对应点，两条垂直平分线应重合。 ⑥ 识别作图痕迹：先看弧的圆心是哪两个点，得到的直线就是这两点连线的垂直平分线；再看它与哪条边相交，就知道确定了哪个点。 ⑦ 作到两点距离相等的点：作这两点连线的垂直平分线，它与指定直线（或边）的交点即所求。 ⑧ 作到三点距离相等的点：作其中两条边的垂直平分线，交点即所求，本质是三角形的外心。 ⑨ 作到两边距离相等的点：作这个角的角平分线——注意与垂直平分线的作图痕迹区分，角平分线的弧圆心在角的顶点。 ⑩ 两个条件同时满足（如"到两点距离相等，且在角平分线上"）：分别作出两条线，交点即所求。 ⑪ 比较面积相等的作图题：两三角形若同底，只要高相等面积就相等，而作平行线正是保证高相等的常用手段。 注意　尺规作图题一般要求"不写作法、保留作图痕迹"；痕迹要留全，弧线不能擦掉，否则判为未作图。 易错　把"作角平分线"的痕迹误判成"作垂直平分线"——前者两弧的圆心是顶点与两边上的点，后者两弧的圆心是线段的两个端点。 题型 1 识别尺规作图的痕迹 　　例 1　　　如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于　AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　） A．的平分线　　　　B．AC边的中线　　　 　C．BC边的高线　D．AB边的垂直平分线 由尺规作图的方法可知，线DE是AB边的垂直平分线. 故选D 　　答案　　　D 　　变式 1　　　下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 2　　　通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据尺规作图确定中线即可求解． 解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据作图方式可知直线是线段的垂直平分线，得到，进而转化线段求出的周长． 解：由题意得：垂直平分， ， 则． 　　答案　　　C 　　变式 4　　　如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 解：A．根据作图可知，， ， 不能说明，不符合题意； B．根据作图可知，， ， 不能说明，不符合题意； C．根据作图可知，， ， 不能说明，不符合题意； D．根据作图可知，， ，符合题意． 　　答案　　　D 　　变式 5　　　如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据圆的半径相等可得，根据题目描述识别出是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，从而将的周长转化为进行求解． 解：∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点， ∴． ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长． 　　答案　　　25 题型 2 按条件作垂直平分线 　　例 2　　　如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 　　 思路分析　连接，作线段的垂直平分线l交于点C，点C即为所求． 略 　　答案　　　解：如图，点C即为所求．　　 点睛　本题考查作图，复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题． 　　变式 6　　　如图，有分别过两个加油站的公路，相交于点，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点P既在线段的垂直平分线上，又在的平分线上．请用尺规作图作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 思路分析　本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，根据线段垂直平分线和角平分线的画法即可求解，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 解：作线段的垂直平分线， 作的平分线，射线与直线的交点即为点． 　　答案　　　如图，点即为所求． 　　变式 7　　　如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点（不写作法、保留作图痕迹）． (2)求证：． 思路分析　本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质. （1）根据线段的垂直平分线的作法作的垂直平分线即可. （2）如图，连接，证明，，可得，再进一步证明即可. （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)如图所示，是的垂直平分线；(2)证明：如图，连接，∵是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴. 　　变式 8　　　如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 思路分析　（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到； （2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可． （1）略 （2）解：∵，由（1）知 ∴ ∵， ∴的周长． 　　答案　　　(1)如图，即为所求；(2)8 　　变式 9　　　尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 思路分析　（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求．(2)如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 　　变式 10　　　如图，已知在中，，． 尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于D； ②作线段的垂直平分线分别交于点E、交的延长线于点F． 思路分析　①根据角平分线的尺规作图步骤画图即可； ②根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可． 解：如图所示，图略． 　　答案　　　 题型 3 作对称轴与基本作图综合 　　例 3　　　作出如图所示轴对称图形的对称轴． 略 　　答案　　　如图，直线即为所求． 　　变式 11　　　画出图中所示图形的对称轴．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 思路分析　作出对应点连线段的垂直平分线即可． 略 　　答案　　　如图，直线即为所画对称轴． 　　变式 12　　　如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高及的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 思路分析　本题主要考查了垂线，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，先作线段的垂直平分线交于E，则为中线；再作的角平分线，最后过点A作的垂线，垂足为H即可． 略 　　答案　　　如图所示，中线，的平分线，高线即为所求； 　　变式 13　　　如图，分别画出中，边上的中线，以及角平分线．（尺规作图，保留作图痕迹） 思路分析　作边上的中线的操作如下：分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两侧的两个点．　连接两交点得到直线，该直线与的交点即为的中点E．　连接点B与点E，即为所求的边上的中线．　作的角平分线的操作如下　以点C为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交、于两个点．　分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离的长为半径画弧，两弧在的内部交于一点．　连接点C与该内部交点，所得射线与的交点即为点D．　即为所求的的角平分线． 略 　　答案　　　解：如图，线段，线段即为所求． 培优微专题 3　动点与最值问题 模块导学 动点与最值问题 垂直平分线上有动点，先把"到一端的距离"换成"到另一端的距离"，两条线段并成一条折线，再用两点之间线段最短。 知识梳理 知识点 3　把折线化为直线（难点） ① 基本模型：直线 l 上有一动点 P，A、B 是直线同侧的两个定点，求 PA＋PB 的最小值。 ② 通用手法：作其中一点关于 l 的对称点，把 PA 换成 PA′，两条线段并成 A′B，当 A′、P、B 共线时取最小值，最小值为 A′B。 ③ 垂直平分线上的动点：由性质直接得 PA＝PB，不必再作对称点，把 PB 换成 PA 即可把两条线段并到一条折线上。 ④ 求周长最小：周长中有一段是定值，只需让其余两条动线段之和最小，问题立刻化为上面的基本模型。 ⑤ 已知面积求高：由面积与底算出高，就把"点到直线的距离"变成一个具体数值，便于求最小时的线段长度。 ⑥ 等腰三角形中的动点：常配合"三线合一"，把动点约束到对称轴上，再用对称轴上的点到两端距离相等转化。 ⑦ 求最大值：当三点共线时 |PA－PB| 取最大值，或用三角形两边之差小于第三边来确定极值位置。 ⑧ 书写规范：先写"由垂直平分线的性质得 PA＝PB"，再写"当 A、P、C 三点共线时取最小值"，最后代入数值。 注意　动点若被限制在某条线段（而不是整条直线）上，取值位置可能落在端点，要回头检验。 易错　直接把两个定点连起来求长度——那条线段未必经过动点所在的直线。 培优题型 1 距离和的最小值 　　例 1　　　如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（　　） A．10　　　　B．12　　　　 C．14　　　　D．15　　　 思路分析　本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，问题可解． 解：连接，如图， 依题意， 　为边的垂直平分线， 的周长， 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 1　　　如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（　　） A．4　　　　B．6　　　　 C．8　　　　D．10　　　 思路分析　先由作图得出是的垂直平分线，得到，转化，确定最小值为，再结合等腰三角形三线合一与三角形面积公式求出． 解：如图，连接，， ∵由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． ∵的最小值为， ∴． ∵，为中点， ∴． ∵， ∴． ∴． 　　答案　　　C 　　变式 2　　　如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分，　 ∴，　 ∴，　 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是，　 ∴， ∴，　 ∴的最小值是． 　　答案　　　B 　　变式 3　　　如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　连接，根据垂直平分线性质可得，所以，则当三点共线时有最小值，为长，即最小值为长，从而求出周长的最小值． 解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，为，即最小为， ∴周长的最小值． 　　答案　　　 　　变式 4　　　已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据垂直平分线的性质，可得，过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，即的最小值为的长度，最后再根据面积法求解即可． 解：点G在的垂直平分线上， ， ∴， 过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，如图： ∴的最小值为的长度． ∵的面积为， 又∵三角形面积为， ∴， 解得， ∴的最小值为． 　　答案　　　 　　变式 5　　　如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一个动点，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 解：连接，如图， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的边的长为，面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 　　答案　　　 　　变式 6　　　如图，在中，，　l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 　　答案　　　 培优题型 2 最小值与最大值综合 　　例 2　　　如图，在中，，，，，平分，如果M、N分别为、上的动点，那么的最小值是（　　） A．2.4　　　　B．3　　　　 C．4　　　　D．4.8　　　 思路分析　过点作于点，延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接，，证明，可得，，利用面积可得，由，，可得垂直平分，可得的最小值为，由N为上的动点，可得当，即点与点重合时，取得最小值，即可求解． 解：如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接，， ∵平分，　， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当且仅当、、共线时，等号成立，此时的最小值为， ∵N为上的动点， ∴当，即点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 　　答案　　　A 　　变式 7　　　如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接，与分别相交于点E，F，连接．　若，则的周长为＿＿＿＿＿＿　；若，则的度数为＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据对称得到，，，，即可得到的周长为，，代入求值即可求解． 解：连接， ∵点M是点P关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴的周长为； ∵， ∴， ∴ ∴． 　　答案　　　　8　/度 　　变式 8　　　如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　由对称得直线垂直平分，由垂直平分线的性质得，进而求出，则，当，B，C三点共线时等号成立． 解：　，两点关于直线对称， 直线垂直平分， 　， 　的周长是16，， 　， 　， 点在直线上， 　， 　，当，B，C三点共线时等号成立，如图： 　的最大值为6． 　　答案　　　6 微专题 4　证明与综合应用 模块导学 证明与综合应用 证相等找垂直平分线，证垂直平分线找"到两端距离相等"；与角平分线同时出现时，过交点向两边作垂线是通用入口。 知识梳理 知识点 4　证明与综合应用（重点） ① 证两条线段相等：若它们是从同一点到同一条线段两端的距离，直接找垂直平分线用性质定理，比证全等快得多。 ② 证一个点在垂直平分线上：只需证它到线段两端距离相等，用逆定理。 ③ 证一条直线是垂直平分线：可证它过中点且垂直，也可证这条直线上有两个点到两端距离相等，再"两点确定一条直线"。 ④ 与全等配合：图中没有现成的垂直平分线时，先用全等证出一组相等的线段，再回到垂直平分线。 ⑤ 等腰三角形中的"三线合一"：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这条线就是底边的垂直平分线。 ⑥ 线段的和差：用等量代换把需要相加的线段搬到同一条直线上，再用线段的和差关系得出结论。 ⑦ 两条性质联立：角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等；交点同时具备这两条，于是产生多组相等的线段。 ⑧ 经典辅助线：过交点向角的两边作垂线，得到两个直角三角形，再用 HL 或 AAS 证全等。 ⑨ 常见结论：角平分线与对边的垂直平分线交于一点，则该点到角两边的距离相等，到线段两端的距离也相等。 ⑩ 证两个角相等：常先由全等得对应角相等，再用"等边对等角"或角平分线的定义收口。 ⑪ 求线段长：把待求线段放进直角三角形，用勾股或全等转移；也可用"角平分线＋垂线"构造出相等的线段。 ⑫ 面积法的应用：已知面积与底求高，再由全等把高搬到需要的位置。 注意　由 PA＝PB 判定"P 在垂直平分线上"时，要保证 P 不在直线 AB 上，否则是退化情形。 易错　把垂直平分线的性质与角平分线的性质混用——前者给"到两端距离相等"，后者给"到两边距离相等"。 注意　辅助线要写清"过点 P 作 PE⊥OA 于 E"，并注明作的是垂线，不能只画不写。 易错　看到角平分线就直接用"到两边距离相等"，忘了这个点必须先在角平分线上——图上的点未必是角平分线上的点。 题型 1 证明线段相等与垂直平分 　　例 1　　　如图，，，垂直平分．求证：．（提示：连接，） 思路分析　利用线段垂直平分线的性质求得，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 略 　　答案　　　证明：如图，连接，垂直平分，，在和中，，，． 　　变式 1　　　如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 思路分析　（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)证明：是的中点，，　，，在和中，，，点在的平分线上，平分．(2)证明：由（1）知，在和中，，，又，垂直平分． 　　变式 2　　　如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 思路分析　根据垂直平分线的性质推出，利用垂直平分线的判定和性质推出，通过等量代换即可证明． 略 　　答案　　　证明：如图，连接，是的垂直平分线，．，为的中点，是的垂直平分线，，，． 　　变式 3　　　如图，P是内的一点，连接，，求证：． 思路分析　本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 略 　　答案　　　证明：如图，延长交于点D．在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有，因为，所以①，在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②，将①和②相加，得：，两边同时减去，得：，因为，所以．即． 　　变式 4　　　如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 思路分析　本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，先证明，可得，，再证明，得到，，进而即可得出结论． 略 　　答案　　　证明：平分，，，则在和中，，，，，，，则在和中，，，，，，，垂直平分，即垂直平分． 　　变式 5　　　如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 思路分析　（1）由垂直平分线的性质得到，结合，利用证得，从而得到； （2）先利用证明，得到，设，则，，，利用建立方程求解即可． （1）略 （2）解：如图，连接． 在和中， ， ， ． 设，则． 已知，， ， ， 由（1）得， ， 解得． 的长为． 　　答案　　　(1)证明：点在的垂直平分线上，．，，．在和中，，，．(2) 　　变式 6　　　如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 思路分析　（1）根据题目条件证明，从而，，利用垂直平分线的判定即可证明； （2）由，再根据，利用面积之间的关系即可求解． （1）略； （2）解：，的周长为18， ， 由（1）得， ，， ， ， ． 　　答案　　　(1)证明：，，，平分，，在和中，，，，，点A和点D在的垂直平分线上，垂直平分；(2)4 　　变式 7　　　如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 思路分析　（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)证明：在和中，，∴，∴；(2)证明：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴点都在的垂直平分线上，∴过点的直线垂直平分线段． 题型 2 角平分线与垂直平分线综合 　　例 2　　　如图，在梯形中，，为中点，连接并延长交的延长线于点． 　　 (1)求证：； (2)若，，当为多少时，点在线段的垂直平分线上？说明理由． 思路分析　本题考查全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线点判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键． （1）根据　　可得出，再根据是的中点，可证明，根据全等三角形的性质即可解答． （2）根据线段垂直平分线的性质判断出，然后结合全等三角形的性质及图形求解即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)证明：　　，，，为中点，即，，；(2)解：，理由如下：当时，点在线段的垂直平分线上，∵，，∴，∴． 　　变式 8　　　如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． （1）略； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：， 故答案为：． 　　答案　　　(1)证明：连接，　　　∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分，∴，，∴，∴；(2) 　　变式 9　　　如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 思路分析　（1）过点D分别作，，的垂线，垂足分别为E，F，G，则，根据的面积为20，即与的面积和为20，计算出，再用面积公式计算的面积即可； （2）根据是的垂直平分线推导，再结合平分得到，利用角平分线的判定得到平分，从而利用外角的性质推导　　，从而得解． （1）解：过点D分别作，，的垂线，垂足分别为E，F，G， ∵和分别平分和，且，，， ∴． ∵的面积为20， ∴　，即 ∴， ∴， ∴　． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵平分， ∴=， ∴． ∵且，， ∴平分， ∴　　． ∵　　， ∴　　　　． ∵， ∴　． 　　答案　　　(1)14(2) 　　变式 10　　　如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 思路分析　（）由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，再证明即可求证； （）证明，得到，进而得到，即可求解． （1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 　　答案　　　(1)证明：∵平分，于，于，∴，，∵点在线段的垂直平分线上，∴，在和中，，∴，∴；(2) 　　变式 11　　　如图，中，，且点为的中点，于于． (1)求证：平分； (2)探究、和的数量关系，并说明理由． 思路分析　（1）连接，根据垂直平分线的性质可知，可证,,根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)证明：连接，∵，且点为的中点，∴，∵，∴,,在和中，∴,∴,在和中，∴,∴∴平分；(2)；由（1）可知,∴,∴,∵,∴,∴,∴． 　　变式 12　　　如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 思路分析　（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质以及角平分线性质得到，，再由证明全等即可； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合线段和差求解即可． （1）略 （2）解：由（1）知，． 在与中， ， ， ， ． ， ， 即， ， ． 　　答案　　　(1)证明：如图，连接，．垂直平分，．平分，，，，．在与中，，，．(2)，　 　　变式 13　　　如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 思路分析　（1）先根据角平分线的性质得到　，再由线段垂直平分线的性质得到　，利用　证明两个直角三角形全等，证出　． （2）先用证明　　和　　全等，得到　，结合第一问　，代入　，　列方程，算出　． （1）略． （2）解：在和中， ， ∴． ∴． 由图可知，，． ∵， ∴． ∵，，， ∴　， ∴　， ∴　． 　　答案　　　(1)证明：∵　　是　　的平分线，，，∴　．∵　　垂直平分　，连接、．∴　．在　　和　　中，∴　．∴　．(2)2 　　变式 14　　　已知，在中，． (1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 思路分析　（1）根据和三角形内角和即可求出． （2）过点C作交的延长线于T，连接，证明，再证明垂直平分线段，即可证明． （3）过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，首先证明，得出再证明，得出根据全等三角形的性质即可证明． （1）解：， 又， （2）略 （3）略 　　答案　　　(1)(2)证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接．∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分线段，∴(3)证明：由（1）得过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图，∵AQ⊥AM，PC⊥BM，∴　∵　∴　在和中，∵　∴∴∵CM＝AN，∴∵　∴　　∴在和中，∵∴,∴∴．∴． 　　变式 15　　　如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，求长度． 思路分析　（1）根据垂直平分线的性质和角平分线的性质，证明，即可得证； （2）根据（1）所得结论即可证明； （3）证明，进而推出，即可得解． （1）略 （2）略 （3）解：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ． 　　答案　　　(1)证明：如图，连接、，D为的中点，，垂直平分，，平分，，，，在和中，，，；(2)；证明：由（1）可知，，，；(3)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $