15.1.2 线段的垂直平分线（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“线段的垂直平分线”核心知识点，以定义（经过中点且垂直的直线）为起点，构建性质（垂直平分线上的点到两端距离相等）、两种判定方法（定义法和到两端距离相等的点在垂直平分线上）及尺规作图步骤的学习支架，形成“定义-性质-判定-应用”的完整知识脉络。 资料通过“即学即练”即时巩固性质与判定，结合“典例+变式”分层设计求长度、角度、作图等题型，培养几何直观与推理意识。尺规作图强调规范操作与原理理解，综合题型（如与角平分线结合）提升应用意识，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章 轴对称 15.1.2线段的垂直平分线 课时目标 1理解线段垂直平分线的定义，分清它属于直线，能根据定义判断垂直平分线。 2.掌握线段垂直平分线的性质，熟记几何语言，会利用性质证明线段相等。 课标要点 3.掌握两种判定方法，能区分性质与判定，理清二者推理上的因果关系。 4.掌握尺规作线段垂直平分线的步骤，理解作图原理，规范完成作图。 重点： 1理解线段垂直平分线的定义，熟练记忆性质定理，会书写对应的几何语言。 2掌握线段垂直平分线的两种判定方法，能够完成简单的几何推理证明。 学习重难点 3.牢记尺规作图步骤，会作线段垂直平分线，记住画弧半径的取值要求。 难点： 1区分线段垂直平分线的性质与判定，做题容易颠倒二者的推理逻辑。 2理解单点仅能判定点在垂直平分线上，不能直接确定整条垂直平分线。 清主线 课时内容导图 1/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，又叫中垂线 定义 条件：AC=BC,ILAB,直线1为AB垂直平分线 定理：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 性质 几何语言：.直线l是AB垂直平分线，P在1上，.PA=PB 证明：△PCA兰△PCB(SAS) 判定1（定义法）：直线过线段中点，同时垂直这条线段 线段的垂 判定 判定2（点判定）：到线段两端距离相等的点，在垂直平分线上 直平分线 尺规作图（作线段 步1，以小、B为因心，大于AB长为华径更弦，文于C、D AB垂直平分线) 步骤2：作直线CD,直线CD即为所求 题型01利用线段垂直平分线的性质求长度 题型02利用线段垂直平分线的性质求角度 题型03作已知线段的垂直平分线 常见题型 题型04线段垂直平分线的判定 题型05线段垂直平分线性质与判定的综合 题型06线段垂直平分线性质与角平分线性质的综合 理新知 教材全盘梳理 今知识点一线段垂直平分线的定义 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 直线I交线段AB于点C,若AC=BC,且I⊥AB,则直线I是线段AB的垂直平分线。 特别提醒 线段垂直平分线是直线，不是线段。作图答题写结论时，不能写成线段CD,必须写直线CD,填空极 易因此丢分。 父知识点二 线段垂直平分线的性质 1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 2.几何证明：已知直线I⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在直线l上。 当P与C不重合时： 2/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .l⊥AB,.∠PCA=∠PCB 又.AC=BC,PC=PC∴.△PCA=△PCB(SAS),∴.PA=PB 3.几何语言： :直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，.PA=PB ◇即学即练 1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为() A.4 B.2 C.5 D.3 【答案】D 【详解】解：，点P在线段AB的垂直平分线上， .PB=PA, PA=3, .PB=3 2.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的() A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， .到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点· ◇知识点三线段垂直平分线的判定 1.判定1（定义法)：一条直线既经过线段的中点，又垂直于这条线段，这条直线就是线段的垂 直平分线。 3/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.判定2（点判定)：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 。。。 《即学即练 3.如图，AC=AD,BC=BD,则有() D A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD C.△ABC是等腰三角形 D.AB与CD互相垂直平分 【答案】B 【详解】解：AC=AD,BC=BD A、B在CD的垂直平分线上， 即AB垂直平分CD(但CD不一定垂直平分AB). ∴.△ABC不一定是等腰三角形， ∴A,C,D错误，B正确 故选：B。 4.如图，已知AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE=CE,求证：AB=AC」 D 【答案】 证明：，AD是△ABC的高（已知） .∠ADB=∠ADC=90°（高的定义） 在Rt△BDE和Rt△CDE中， BE=CE DE=DE' .Rt△BDE≌RtACDE(HL), 4/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BD=CD(全等三角形的对应边相等). 又：AD⊥BC, ∴，AD是BC的垂直平分线， ∴.AB=AC(垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)· 【分析】 【详解】略 。知识点四 尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB,求作：线段AB的垂直平分线。 作法： 1.分别以点A、B为圆心，大于方AB的长为半径画弧，两弧分别在线段AB两侧交于C、D两 点。 2.作直线CD,直线CD即为线段AB的垂直平分线。 B 特别提醒 (1)使用性质定理，前提条件是点在垂直平分线上，才能得到到两端点距离相等；不要看到两条线段 相等，就默认直线是垂直平分线，因果关系不要颠倒。 (2)区分性质与判定：性质是“点在垂直平分线上→到两端点距离相等”；判定是“到两端点距离相 等→点在垂直平分线上”，证明题不要搞反推理方向。 ◇即学即练 5.尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是() B 5/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】C 【详解】解：A选项，为角平分线，不符合要求： B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求： C选项，为边上的高，符合要求： D选项，不是边上的高，不符合要求。 6.如图，已知△ABC,∠C=90°，∠B=30°，用直尺和圆规在BC上找一点D,使DA=DB.(不写作法， 保留作图痕迹) A 【答案】作图见解析 【详解】解：如图点D即为所求： B 通题型 解题能力构建 ◆题型01利用线段垂直平分线的性质求长度 典1例1精析 【例1】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点G,D.若△ACG的周长为3Icm, AB=20cm,则△ABC的周长为() 6/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.31cm B.41cm C.51cm D.61cm 【答案】C 【详解】解：，AB的垂直平分线分别交BC,AB于点G,D .∴AG=BG ,△ACG的周长为3lcm .AC+CG+AG=AC+CG+GB=4C+CB=31cm ∴，△ABC的周长为AC+CB+AB=31+20-51(cm) 【例2】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边AB,BC于点F,E,BE=AC,AD是 △ACE的一条角平分线， (I)AD与BC垂直吗？请说明理由. (2)若△ABC的周长为26，AF=5,求BD的长. 【答案】(1)垂直，理由如下： ,EF垂直平分AB .AE=BE .BE=AC .AE=AC ,AD是△ACE的一条角平分线 .∠DAC=∠DAE AD=AD :.△ADC≌△ADE(SAS) ∴.∠ADC=∠ADE .*∠ADC+∠ADE=180° 7/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=∠ADE=90° AD⊥BC: (2)8 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，△ADC≌△ADE ∴.CD=DE 由题意得，AF=BF=5. 由(1)可得，AC=AE=BE :△ABC的周长为26 .AC+CD+DE+BE+AF+BF=26 ∴.AC+CD+DE+BE=16 ∴.DE+BE=16÷2=8 变式巩固 【变式1-1】如图，在AABC中，4B=AC,分别以A、C为圆心，大于24C长为半径画弧，两弧相交于点 MN,连接MN与AC交于点E,若EC=2,则AB的长度为 E B 【答案】4 【详解】解：由作图过程得MN垂直平分AC, ∴AE=CE=2, .AB=AC=AE+CE=2+2=4. 【变式1-2】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3Cm,△ABD周长为l3cm,则△ABC的 周长为_cm. A 8/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】19 【详解】解：，DE是AC的垂直平分线，， ∴.AD=CD,AC=2AE=6cm, C.ARD=AB+BD+AD=13cm .AB+BD+CD=13cm,AB+BC=13cm, ..C.ARC AB+BC+AC=13+6=19(cm) 【变式1-3】如图，在AABC中，点D是BC的中点，AD 1 BC,E是AC边上一点，过点B作BF∥AC交 ED的延长线于点F. (I)求证：△BFD≌△CED (2)若BF=2,AB=8时，求AE的长. 【答案】(I)证明：点D是BC的中点， :BD=CD, :BF∥AC, ∴.∠F=∠DEC,∠FBD=∠C. ∴.ABFD≌aCED(AAS)」 (2)6 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：点D是BC的中点，AD⊥BC, ..AC=AB=8. 由(I)得：△BFD≌△CED. ..CE=BF=2, ∴.AE=AC-CE=8-2=6 9/45 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,题型02利用线段垂直平分线的性质求角度 典例1精析 【例3】如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是() A.35 B.40° C.70° D.50° 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知：DF所在直线垂直平分线段AB,AE所在直线平分∠DAC: ,DF所在直线垂直平分线段AB, .DB=DA, ∴.∠DAB=∠B=30°， .∠B=30°，∠C=50°」 .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°， .∠DAC=∠BAC-∠DAB=100°-30°=70°， 又：AE平分∠DAC, ZDAE=ZDAC-5x70-35 【例4】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=71°， ∠ACP=16°，则∠ABC的度数为 【答案】62 【详解】，点P在BC的垂直平分线上， ∴.PB=PC. 10/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PCB=∠PBC :BP平分∠ABC, ∴，∠ABC=2∠PBC :∠A+∠ABC+∠PCB+∠ACP=180°，即∠A+2∠PBC+∠PBC+∠ACP=180°， .3∠PBC=180°-∠A-∠ACP=93°. .∠PBC=31°」 .∠ABC=2∠PBC=62° 变|式巩固 1 【变式2-1】如图，在AABC中，∠C=90分别以点AB为圆心，大于24B的长为半径画弧，两弧交于点 M、N,作直线MN分别交BC、AB于点D、E,连接AD.若∠B=32°，则∠CAD的度数为() E B A.24° B.28° C.32° D.26° 【答案】D 【详解】解：∠C=90°，∠B=32°， ∠BAC=58°， 由尺规作图可知，MN是AB的垂直平分线， .DA=DB. ∴.∠DAB=∠B=32°， .∠CAD=∠BAC-∠DAB=58°-32°=26° 【变式2-2】如图，△ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接 CF.∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为 11/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】45 【详解】解：BD平分∠ABC,∠ABD=25°， ∴.∠DBC=∠ABD=25°，∠ABC=2∠ABD=50°， :∠A=60°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠ABC=70°. ·EF是线段BC的垂直平分线， :FB=FC, ∴.∠FCB=∠DBC=25°， ∴.∠ACF=∠ACB-∠FCB=70°-25°=45 【变式2-3】如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC的中点，点M,N分别在线段AB,AD上，且 AM=MN B D C (1)MN与AC平行吗？请说明理由： (2)若∠BAC=40°，点N在线段BM的垂直平分线上，求∠DBN的度数. 【答案】()平行，理由如下： :D是边BC的中点， ∴.BD=CD AB=AC,AD=AD :.△ADB≌△ADC(SSS) .∠DAB=∠DAC AM MN 12/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MAN=∠MNA ·.∠MNA=∠DAC :.MN AC (2)30° 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：：∠BAC=40°，MN II AC, ∴.∠BMN=∠BAC=40° '△ADB≌△ADC ÷∠ABC=∠4CB=180°-∠BAC-70 2 ,点N在线段BM的垂直平分线上， ∴.NM=NB ∴.∠NBM=∠NMB=40° ∴.∠DBN=∠ABC-∠NBM=30° ◆题型03作已知线段的垂直平分线 典1例1精1析 【例5】已知：锐角△ABC,求作：点P,使PA=PC,且点P到边AB的距离与到边BC的距离相等. (不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹) 【答案】解：如图所示，点P即为所求点的位置， 【详解】略 13/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例6】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）. 若将方格纸折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的是点 E℉G 【答案】F 【详解】解：如图， B E℉G 由图可知：与点B重合的是点F. 变式巩固 【变式3-1】如图，某学校A与公交车站D在小路AD上，现要在公路！上建一个小商店C,使得小商店C 在AD的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点C.(不写作法，保留作图痕迹) D -1 A 【答案】 线段AD的垂直平分线与直线I的交点即为所求点C. 【详解】略 【变式3-2】尺规作图：如图，已知△ABC,请在AC边上找一点D,使得点D到B、C两点的距离相等. (保留作图痕迹，不写作法) 14/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】如图所示，点D为所求点： B 【详解】略 【变式3-3】如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,∠B=∠D,连接AC. B D (1)求证：△ABC≌aCDA; (2)尺规作图：作AC的垂直平分线EF,分别交AB、CD于点E、F(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】(I)证明：：ABCD, ∴.∠BAC=∠DCA, 在△ABC和△CDA中， [∠BAC=∠DCA ∠B=∠D AC=CA ∴△ABC≌aCDA(AAS). D 【分析】 【详解】(1)略： (2)略. 15/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。题型04线段垂直平分线的判定 典例1精析 【例7】如图，已知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论不一定正确 的是() A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 【答案】D 【详解】解：AB=AC,BE=CE, ∴：点A,E都在线段BC的垂直平分线上， ∴.AE垂直平分BC,故B选项正确： 在△ABE和△ACE中， AB=AC BE=CE AE=AE .AABE≌△ACE(SSS) ∴.∠BAE=∠CAE,∠BEA=∠CEA ∴AE平分∠BAC和∠BEC,故A选项正确： :AE垂直平分BC,D在AE上， :DB=DC 在△DBE和△DCE中， DB=DC BE=CE DE=DE ·ADBE≌ADCE(SSS), 16/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBE=∠DCE,故C选项正确； BD与DE的长度取决于点D在AE上的位置，无法确定BD=DE,故D选项不一定正确， 【例8】已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P,垂足分别为 D,E.求证：边AC的垂直平分线经过点P. 【答案】证明：如图，连接PA,PB,PC, ,点P在边AB的垂直平分线上， ∴.PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：PB=PC .PA=PB=PC. “点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， ∴，边AC的垂直平分线经过点P 【详解】略 变|式|巩1固 【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE 交BC的延长线于点F.求证： (1)AD=FC; (2)BE是AF的垂直平分线： 17/45 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)猜想：线段AB,BC,AD之间关系，并说明理由. 【答案】(I)证明：AD∥BC, ∴.∠EAD=∠F,∠D=∠ECF 又E为CD的中点， :DE=CE, 「∠EAD=∠F 在 和 中 ∠D=∠ECF △ADE △FCE DE=CE :.△ADE≌aFCE(AAS), .AD=FC (2)证明：，△ADE≌aFCE, .AE=FE, 又：BE⊥AE, BE是AF的垂直平分线： (3)结论：AB=BC+AD,理由如下： 在△AEB和△FEB中， AE=FE ∠AEB=∠FEB=90° BE=BE :.AAEB≌AFEB(AS), :AB=FB, 由(I)可知FC=AD ∴.AB=FB=BC+FC=BC+AD 即AB=BC+AD 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 【变式4-2】如图，在△ABC中，AB=AC,过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点 P,作直线AP.求证：AP垂直平分BC: 18/45 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】 证明：AB⊥BP,AC⊥PC, ,∠ABP=∠ACP=90° 在Rt△ABP和Rt△ACP中， AP=AP,AB=AC, ..RtAABPRtAACP(HL) .BP=CP 点P在线段BC的垂直平分线上 AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∴.AP垂直平分BC. 【详解】略 【变式4-3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点 E,连接BE交CD于点F. B的 (1)若∠BAC=40°，求∠BDC的度数： (2)求证：CD垂直平分BE, 【答案】(1)65° (2)证明见解析 19/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：∠ABC=90°，∠BAC=40°， .∠ACB=50°， :CD平分∠ACB, :∠BCD=∠ACD=∠ACB=250, 21 .∠BDC=65° (2)证明：CD平分∠ACB,BD⊥BC,DE⊥AC, ∴.BD=DE, .CD=CD, :.RtABCD≌Rt△ECD(HL), ∴.CB=CE, ∴.CD垂直平分BE, ◆题型05线段垂直平分线性质与判定的综合 典1例1精析 【例9】如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC，,分别交AC,BC于点D,E，,连接BD. B (1I)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为： (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平 分线上，并说明理由. 【答案】(1)11 (2) 点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB, 20/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线垂直平分边，点在直线上， B- BC P .PB=PC, :点P在边AC的垂直平分线上， .PA=PC, .PA=PB, .点P在边AB的垂直平分线上. 【分析】 【详解】(I)解：直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, :DB=DC, .·.AC=AD+DC=AD+DB, △ABD的周长为19， .AB+AD+DB=19. AB=8, .AD+DB=11, 即AC=11: (2)略 【例10】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，线段BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E, DF⊥AC于点F.求证：DF是线段AC的垂直平分线. B E 【答案】证明：如图，连接DC, 21/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :线段BC的垂直平分线交AB于点D, .BD=CD,BE=EC, .DE=DE ·.△DEB≌aDEC(SSS). .∠DBE=∠DCE, .∠ACB=90°， .∠DCE+∠DCA=∠DAF+∠DBE=90°， .∠DCA=∠DAF」 DF⊥AC, ∴.∠DFC=∠DFA=90°， .DF=DF, :.△DFC≌ADFA(AAS) ∴.FC=FA,即点F为AC的中点， 又，DF⊥AC 则DF是线段AC的垂直平分线， 【详解】略 变式巩固 【变式5-1】如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD垂直BC于点D,且D为CE的中点， BD=8,则△AEC的周长是 B ED C 【答案】16 【详解】解：，EF是AB的垂直平分线， .BE=AE, .'AE+DE=BE+DE=BD=8. :AD垂直BC于点D,且D为CE的中点， ∴.AD是CE的垂直平分线，CE=2DE=2CD, 22/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AE=AC, ∴△AEC的周长是AE+AC+CE=2AE+2DE-2(AE+DE)=16 【变式5-2】如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交 AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (I)证明：AD垂直平分EF: (②)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 【答案】(I)证明：，DF⊥AC,DE⊥AB, ∴.∠AED=∠AFD, AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, 在△AED和△AFD中， [∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD .∴△AED≌△AFD(AAS) :DE=DF,AE=AF, ∴.点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF; (2)30 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ADE≌△ADF, ∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF, m-号4-Ds+4C-DF-DE(4+4C)=6, 2 .DE=4 .AB+AC=18. 23/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=12 △ABC的周长为30， 【变式5-3】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AB,BC于点M,N,AD⊥BC于点D,MC 交AD于点E, M B D (1)若AB=7,AC=5,求△AMC的周长. (2)求证：点M在线段AE的垂直平分线上， 【答案】(I)△AMC的周长为12 (2) 证明：由(1)得MB=MC, .∠B=∠MCB :AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， .∠BAD+∠B=90°，∠DEC+∠MCB=90°， ∴.∠BAD=∠DEC, .∠DEC=∠AEM, ∴.∠MAE=∠AEM, .MA=ME, .点M在线段AE的垂直平分线上. 【分析】 【详解】(I)解：：MN是线段BC的垂直平分线， .MB=MC, :AB=7,AC=5, ∴.△AMC的周长=AM+MC+AC=AM+MB+AC=AB+AC=I2: (2)略 ◆题型06线段垂直平分线性质与角平分线性质的综合 典1例精」析 24/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例11】如图，BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为E,交BD于P点，PE=3,AB=8,则△ABP 的面积是 【答案】12 【详解】解：过点P作PM⊥AB于点M, :BD垂直平分线段AC, ∴.AB=CB, :.∠ABD=∠DBC,即BD为角平分线， 又：PM⊥AB,AE⊥BC, ∴.PM=PE=3 又，AB=8 ..m:PM-x8x3-12 【例12】如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、F,连接 DE G D (I)试说明：DE∥AC: (2)过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,若BE+DE=10,DH=3,求△ABD的面积. 【答案】(I)证明：：AD是△ABC的角平分线， 25/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=∠CAD ,EF是AD的垂直平分线， ∴.EA=ED, ∴.∠EAD=∠EDA, .∠BAD=∠CAD=∠EDA. .DE∥AC: (2)15 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：：AD是△ABC的角平分线，DG⊥AB,DH⊥AC,DH=3, ..DG=DH=3, BE+DE=10,EA=ED, .'BE+DE=BE+AE=AB=10. :Sa4m=)AB-DG=)x10x3=15. 2 变|式巩1固 【变式6】已知R△0C中，乙4CB=90,分别以AB为盟心，以大于4B为半径作弧，两相交 于MN;作直线MN交BC于点D,连接AD,DE平分∠ADC,交AC于点E,BD=6,△ADE的面积为 12,则EC的长为 E DM 【答案】4 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AD, 26/45 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得，MN垂直平分AB, .AD=BD=6. DE平分∠ADC,∠ACB=90°，EF⊥AD, .EC=EF, :△ADE的面积为12， D.EF=12.x6x ∴.EC=4 【变式6-2】如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=I80°，EF⊥BC交BC于F, AC=3.2,BC=4.6,则BF的长为- B 【答案】3.9 【详解】连接AE, ,D是AB中点，DE⊥AB, ∴.DE是AB的垂直平分线， .AE=BE 过E作EG⊥AC,交AC的延长线于G. 27/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ，且 E C G ∠ACE+∠ECG=180° ∠ACE+∠BCE=180° ∴.∠ECG=∠BCE, 即EC平分∠BCG 又EF⊥BC,EG⊥AC, .EG=EF,且∠G=∠EFC=90° EC=EC 在RtECG和RtECF中， EG=EF ..RtAECGRtAECF(HL. ..CG=CF AE=BE 在RtAEG和RIBEF中，{EG=EF, RtAAEGRIABEF (HL). ..AG=BF .AG=AC+CG=AC+CF=AC+(BC-BF). ∴.BF=AC+BC-BF, ..2BF=AC+BC, 代入AC=3.2,BC=4.6」 得BF-32+46-39】 2 【变式6-3】如图，在△ABC中，D为边AC的中点，过点D作DE⊥AC,交∠ABC的平分线于点E,过 点E作EF⊥BC于点F.若AB=5,BC=9,求CF的长. E 【答案】2 28/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接AE、CE,过点E作EG⊥AB,垂足为G, G 为边 的中点， D C D AC DE⊥AC ∴.DE垂直平分AC, ..AE=CE, :BE是∠ABC的平分线，EF⊥BC,EG⊥AB, ∴.EG=EF,∠G=∠CFE=∠BFE=90°， 在Rt△AEG和RtACEF中， AE=CE EG=EF' .RtAAEGRtACEF(HL). ..AG=CF, 在Rt△BEG和RtABEF中， BE=BE EG=EF .RtaBEGRtABEF (HL). :BG=BF, ..BC=BF+CF=BG+CF=AB+AG+CF=AB+CF+CF=AB+2CF, :.2CF BC-AB, AB=5,BC=9, 2CF=4, .CF=2. 刷好题 课时巩固精炼 心基础通关 29/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.数学课上老师提出问题：在△ABC中，AC<BC,用尺规作图法在边BC上确定一点D,使AD=BD, 下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（) 【答案】B 【详解】解：要使AD=BD,则作AB的垂直平分线交BC于点D即可，观察各选项，只有B选项符合， 2.如图，在△ABC中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径 作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线MN交AB于点D,连接CD.若AB=8,AC=4，,则△ACD的周 长为() A.9 B.10 c.11 D.12 【答案】D 【详解】解：由作图可知：MN垂直平分BC, .CD=BD .AB=AD+BD=AD+CD. ∴.△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AB=12 3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,若△ABC的周长为20，BE=4, 则△ABD的周长为() 30/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.17 B.18 C.16 D.12 【答案】D 【详解】解：DE是BC的垂直平分线， ∴.DB=DC,BC=2BE=8, :△ABC的周长为20， ∴.AB+BC+AC=20 .AB+8+AC=20, .AB+AC=12, ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC=I2 4.如图，在△ABC中，BC=10,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交 AC、BC于点F、G,则△AEG的周长为() B G A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【详解】解：，DE垂直平分线段AB,FG垂直平分线段AC, ,AE=BE,AG=CG」 ∴.AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=10」 5.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，与AC交于点D,E,再分别以点D,E为圆 心，大于2DE长为半径作弧，两弧交于点F,作射线BF,交AC于点G:则() 31/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FX A.BF⊥AC B.AG=CG C.AD=EC D.BF平分∠ABC 【答案】A 【详解】解：由作图知，BF⊥AC, 不能得到AG=CG,AD=EC,BF平分∠ABC, 综上，只有选项A符合题意， 6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.△ABC的周长为I9,△ACE的周 长为13，则AB的长为() B A.3 B.6 C.12 D.16 【答案】B 【详解】解：，AB的垂直平分线交AB于点D, .'AE=BE, ,△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=I3, △ABC的周长=AC+BC+AB=19, ∴.AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6. 二、填空题 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=8,DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D,交AC 于点E,则△BCE的周长为 32/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 【答案】14 【详解】解：：DE是线段AB的垂直平分线， .'AE=BE, :BC=6,AC=8, ∴.△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=14. 8.如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点N,交BC于点M,若△ABM的周长为12厘米， △ABC的周长为17厘米，则AN的长为 厘米。 B M 【答案】 2.5 【详解】解：“MN是AC的垂直平分线 ∴.MA=MC: :△ABM的周长为12厘米 ..AB+BM+MA=12 ∴.AB+BM+MC=12,即AB+BC=12 :△ABC的周长为17厘米 ..AB+BC+AC=17 ∴.12+AC=17 ∴.AC=5 :AN=AC=2.5 2 9.如图，在△ABC中，AB=12,AC=10,EF为边AC的中垂线.若BC=8,则△BCE的周长为 33/45 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】20 【详解】解：，EF为边AC的中垂线 .AE=EC :BC=8,AB=12 ∴.△BCE的周长=BE+CE+BC=BE+AE+BC=AB+BC=20 I0.如图，在△ABC中，点D是AC中点，过点D作ED L AC交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于 点F,若点F是BE中点，△ABC的周长为20，CD=4,则AF= B F E 【答案】6 【分析】 【详解】解：连接CE, D 点是中点、 E A.·DAC ED⊥AC .DE垂直平分AC、AC=2CD=2×4=8, .AE=CE. ~点F是BE中点、CF⊥AB, ∴.CF垂直平分BE、BE=2EF, .BC=CE, .BC=CE=AE, 34/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设EA=BC=a、EF=b,则BE=2b :△ABC的周长为AB+BC+AC=BE+EA+BC+AC=20, .2b+a+a+8=20, ∴.a+b=6, .AF=AE+EF=a+b=6 11.如图，△ABC是三边都不相等的三角形，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,且O是三边垂直平分线的 交点.当点P,O同时在△ABC的内部，且∠BOC=100°时，∠BPC的度数为 B 【答案】 115° 【分析】 【详解】解：连接AO,如图。 PO 平分 平分 C.:BP ∠ABC CP ∠ACB ∠Pac=ABc,2PCB= ∠ACB ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) =80-Bc+4cB =180-20s8oe-ag =90°+∠BAC 2 :O是△ABC三边垂直平分线的交点， ..OA=OB=OC, ∴.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB, 35/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB=180°-2∠0AB,∠AOC=180°-2∠OAC, .∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC) =360°-(180°-2∠OAB+180°-2∠OAC) =2∠OAB+2∠OAC =2∠BAC ∠B0C=100°， :∠BAC=∠B0C=50°， ∴.∠BPC=90°+ ∠BAC=115° 2 故答案为：115°。 三、解答题 12.过直线↓上一点P作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： ①在直线I上点P的两旁分别截取线段PA,PB,使PA=PB: ②分别以点A'B为圆心，大于24B的长为半径画弧，两弧相交于点C: ③过点C,P作直线CP,则直线CP即为所求作的垂线. 【答案】 A 1B1 【详解】略 13.如图，DE是AC的垂直平分线，AB=8 cm,AABD的周长为25cm,求BC的长. 【答案】17cm 【详解】解：，DE是AC的垂直平分线， 36/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CD ,aABD的周长为25cm, ∴.AB+BD+AD=25cm, .AB+BD+DC=AB+BC=25cm, AB =8cm. .BC=25-8=17(cm) 14.如图，己知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP于点Q,OB垂直平分PN,交MN于 点F,交PN于点R,连接OP. E R (I)连接PE,PF,若MN=15,求△PEF的周长； (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 【答案】(1)15 (2) 证明：~PN=PM,OA垂直平分MP,OB垂直平分PW,, OP=IPM,PR-IPN. 2 2 ∴.PQ=PR OP平分∠AOB 【分析】 【详解】(1)解：OA垂直平分MP, .ME =PE. 37/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理：FN=PF」 ∴△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=l5: (2)略 ©素养提升 1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，,BC=8,点D为BC上一点，连接AD,将△ACD沿着AD 翻折，使得点C的对应点E落在AB边的垂直平分线上，连接BE,则△BDE的周长为 D 【答案】14 【详解】解：根据翻折可得AE=AC=6,CD=ED, :点C的对应点E落在AB边的垂直平分线上， .AE=BE=6. △BDE的周长为DE+BE+DB=CD+DB+BE=CB+BE=8+6=I4 2.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm,腰AC的垂直平分线EF交AB于点F, 若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则CM+MD的最小值为() D B A.3cm B 6cm C.8cm D.12cm 【答案】B 【详解】解：如图，连接AM,作△ABC底边BC上的高AH, 38/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E HD B :EF垂直平分AC, .CM AM .CM+MD=AM+MD 故当A、M、D三点共线，且AD与AH重合时，AM+MD的值最小，即CM+MD的值最小，此时最小 值为AH的长. :等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm2, .S.we-C2 .AH =6cm. ∴.CM+MD的最小值是6cm. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=5,D、E分别是BC、AB上的动点，连 接AD、DE,则AD+DE的最小值为 D 4 【答案】5 【详解】解：如图，延长AC至点F,使得CF=AC,连接BF,DF,EF, B D 39/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=90°， BC⊥AF, 又：CF=AC=3, ∴.BC垂直平分AF,AF=AC+CF=6, ∴AD=DF,BF=AB=5, .'AD DE DF DE, 由两点之间线段最短可知，当E,D,F三点共线时，DF+DE的值最小，最小值为EF的长，即AD+DE的 最小值为EF的长， 由垂线段最短可知，当EF⊥AB时，EF的长最小， ÷此时有Sm=)AB-EF=)APBC, 1 2 2 .BC=4. x5EF= 1 26×4, 解得F-24 , 24 即AD+DE的最小值为5· 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最 短和垂线段最短确定最小值， 4.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线EF分别交边AC,BC于点E,F,AD是线段BF的垂直平分 线，若△ABC的周长为38，AE=7,则CD的长为一 【答案】12 【详解】解：如图，连接AF, 垂直平分， .EF AC AE=7 40/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=2AE=14,AF=CF, :AD是线段BF的垂直平分线， .AB=AF,BD=DF, :AB=CF, :△ABC的周长为38， .AB+AC+BC=38. ∴.AB+BC=38-AC=38-14=24, :AB+CF+BD+DF=2(CF+DF)=2CD=24. .CD=12 迁移创新 1.如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=18O°，EF⊥BC交BC于F, AC=3.2,BC=4.6,则BF的长为 B 【答案】3.9 【分析】 【详解】解：如图，连接EA、EC,过点E作EG⊥CG交AC的延长线于点G, 夕 D 为 E 中点， .D AB DE⊥AB ED是线段AB的垂直平分线， .EA=EB, 41/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACE+∠ECG=180°、∠ACE+∠BCE=180°， ∴.∠ECG=∠BCE, ∴.CE是∠BCG的平分线， EF⊥BC、EG⊥CG, ∴.EF=EG, 在RtAAEG和RtABEF中， EA=EB EG=EF· .RtAAEG≌Rt△BEF(HL), ∴.BF=AG 在RtAEFC和Rt△EGC中， EF=EG EC=EC' ∴.RtAEFCS≌RtAEGC(HL). ∴.CF=CG 设BF=x、CF=CG=y. BC=BF+CF、AG=AC+CG, x+y=4.6 3.2+y=x x=3.9 解得：y=0.7' ∴BF=3.9 2.如图，Rt△4BC中，∠C=90,∠B=30°，分别以点A”点B为圆心，大于2B长为半径画弧，两弧 分别在AB上方、下方交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,SABD=5,则S△= 42/45 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B w 【答案】7.5 【详解】解：连接AD,设MN交AB于E, M D E B w 由题可知MN垂直平分AB,则AD=BD,AE=BE, 又SMBD=5, 5 SADE=SAWDE2 :∠B=30°， .∠BAC=90°-∠B=60°，又AD=BD, .∠BAD=∠B=30°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°， 在△BDE和△ADC中， ∠B=∠CAD=30° ∠BED=∠C=90° BD=AD ∴△BDE≌△ADC(AAS) 5 SADC=S.WDE=2 .S c=S,4c+SmD=2+5=7.5 3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D、过点D作DE⊥AC于点E, 若AC=5,CB=2,则AE= 43/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D 【答案】 3 2 【详解】连接AD、BD,作DH⊥CB于H,如图所示： G B 点在 的垂直平分线上， 0 .·DAB .AD=BD. :点D在∠ACB的平分线上，DE⊥AC,DH⊥BC, : 在Rt△ADE和RtABDH中， AD=BD DE=DH .RteADESRtABDH(HL), .AE =BH, 同理可证RtACDES≌RtACDH(HL), ∴CE=CH=BC+BH, AE+CE=AC .AE+CH=AE+BC+BH=AC 44/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.2AE+BC=AC, .2AE+2=5, 3 ..AE= 2 45/45 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 课标要点 1.理解线段垂直平分线的定义，分清它属于直线，能根据定义判断垂直平分线。 2.掌握线段垂直平分线的性质，熟记几何语言，会利用性质证明线段相等。 3.掌握两种判定方法，能区分性质与判定，理清二者推理上的因果关系。 4.掌握尺规作线段垂直平分线的步骤，理解作图原理，规范完成作图。 学习重难点 重点： 1.理解线段垂直平分线的定义，熟练记忆性质定理，会书写对应的几何语言。 2.掌握线段垂直平分线的两种判定方法，能够完成简单的几何推理证明。 3.牢记尺规作图步骤，会作线段垂直平分线，记住画弧半径的取值要求。 难点： 1.区分线段垂直平分线的性质与判定，做题容易颠倒二者的推理逻辑。 2.理解单点仅能判定点在垂直平分线上，不能直接确定整条垂直平分线。 知识点一 线段垂直平分线的定义 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 直线交线段于点，若，且，则直线是线段的垂直平分线。 特别提醒 线段垂直平分线是直线，不是线段。作图答题写结论时，不能写成线段，必须写直线，填空极易因此丢分。 知识点二 线段垂直平分线的性质 1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 2.几何证明：已知直线，垂足为，，点在直线上。 当与不重合时： ， 又 3.几何语言： 直线是线段的垂直平分线，点在上 即学即练 1．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 2．到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 知识点三 线段垂直平分线的判定 1.判定1（定义法）：一条直线既经过线段的中点，又垂直于这条线段，这条直线就是线段的垂直平分线。 2.判定2（点判定）：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 即学即练 3．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 4．如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 知识点四 尺规作线段的垂直平分线 已知：线段，求作：线段的垂直平分线。 作法： 1.分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别在线段两侧交于两点。 2.作直线，直线即为线段的垂直平分线。 特别提醒 （1）使用性质定理，前提条件是点在垂直平分线上，才能得到到两端点距离相等；不要看到两条线段相等，就默认直线是垂直平分线，因果关系不要颠倒。 （2）区分性质与判定：性质是“点在垂直平分线上到两端点距离相等”；判定是“到两端点距离相等点在垂直平分线上”，证明题不要搞反推理方向。 即学即练 5．尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 【例1】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【变式1-2】如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【变式1-3】如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 【例3】如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（     ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为________． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 【变式2-3】如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 题型03 作已知线段的垂直平分线 典｜例｜精｜析 【例5】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 【例6】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若将方格纸折叠，使得点与点重合，则与点重合的是点______． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3-2】尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-3】如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 题型04 线段垂直平分线的判定 典｜例｜精｜析 【例7】如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【例8】已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式4-2】如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【变式4-3】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 题型05 线段垂直平分线性质与判定的综合 典｜例｜精｜析 【例9】如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【例10】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【变式5-2】如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【变式5-3】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 题型06 线段垂直平分线性质与角平分线性质的综合 典｜例｜精｜析 【例11】如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【例12】如图，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点E、F，连接． (1)试说明：； (2)过点D作于点G，于点H，若，，求的面积． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【变式6-2】如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【变式6-3】如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 基础通关 一、单选题 1．数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 4．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 6．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 8．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 9．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 10．如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 11．如图，是三边都不相等的三角形，平分，平分，且是三边垂直平分线的交点．当点，同时在的内部，且时，的度数为__________． 三、解答题 12．过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 13．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 14．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 素养提升 1．如图，中，，，，点为上一点，连接，将沿着翻折，使得点的对应点落在边的垂直平分线上，连接，则的周长为_________． 2．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 4．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 迁移创新 1．如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 2．如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______． 3．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $