15.1.1 轴对称及其性质讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.1 轴对称及其性质 · 基础讲义 15.1.1 轴对称及其性质 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　轴对称与轴对称图形 2 题型 1　判断图案是否轴对称 3 题型 2　成轴对称与轴对称图形的辨析 5 题型 3　镜面反射中的对称 6 微专题 2　对称轴的条数与画法 6 题型 1　数对称轴的条数 7 题型 2　补画对称轴与补全图形 8 微专题 3　轴对称的性质 9 题型 1　用对称性求角度 9 题型 2　用对称性求线段与面积 10 题型 3　对称中的全等与结论辨析 11 题型 4　对称点的位置表示 13 培优微专题 4　折叠与翻折 14 培优题型 1　折叠求角度 14 培优题型 2　折叠求线段与面积 15 培优题型 3　折纸操作与阅读理解 15 培优微专题 5　对称性的应用与最值 16 培优题型 1　最短路径问题 17 培优题型 2　实际情境中的对称设计 17 一、本讲导航 学习目标 1．通过折叠、剪纸等实例理解轴对称图形与成轴对称的概念，能说清"一个图形自身的对称"与"两个图形之间的对称"的区别与联系。 2．能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；会确定并画出对称轴，会数线段、角、等腰三角形、正方形、正多边形、圆的对称轴条数。 3．探索并掌握轴对称的性质——成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等，并用以求角、求线段与面积。 4．能在坐标平面内写出一个已知顶点坐标的多边形关于坐标轴对称的图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。 5．理解折叠的本质是轴对称，能把折叠问题化归为全等与等腰三角形问题；会作对称点解"同侧两点到直线上一点的距离和最小"问题。 6．在观察、折叠、作图、推理的过程中体会变化中的不变量，发展几何直观与空间观念，感受现实世界中的对称美。 重点与难点 重点　轴对称图形与成轴对称的判别；对称轴的条数与画法；轴对称的三条性质；坐标平面内对称点的坐标关系。 难点　① "全等"与"成轴对称"的区分；② 数对称轴时漏掉斜方向的那几条；③ 求角时把角搬到对称位置后如何凑出平角与内角和；④ 折叠题中折痕的对称轴身份；⑤ 最短路径的对称点作法与依据；⑥ 关于 x 轴、y 轴、原点对称时坐标符号的变化。 学习主线 认对称（找折痕）→（数条数、画对称轴）→ 用性质（换角、换线段）→ 折叠求值 → 作对称点解最值 → 回到实际情境作答。 微专题 1　轴对称与轴对称图形 模块导学 轴对称与轴对称图形 沿一条直线折叠能否完全重合，是这类题的唯一判据；先分清"一个图形自身的对称"与"两个图形的位置关系"。 知识梳理 知识点 1　轴对称与轴对称图形（重点） ① 轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。它说的是"一个图形"自身具有的对称性。 ② 成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点叫对称点。它说的是"两个图形"之间的位置关系。 ③ 区别：轴对称图形是"一个图形对折后自身重合"；成轴对称是"两个图形对折后彼此重合"。前者谈形状，后者谈位置。 ④ 联系：把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，整体就是轴对称图形。 ⑤ 成轴对称的两个图形一定全等；但两个全等的图形不一定成轴对称——还要求它们的位置能沿某条直线折叠重合。 ⑥ 判断图案是否轴对称：先在图上找一条直线，想象沿它对折，看两旁能否完全重合。形状相同但方向错开（如旋转过）的图形不算。 ⑦ 判断两图形成轴对称：既要形状大小相同，又要位置关于某条直线"镜像"对应；只全等不对称的不算。 ⑧ 常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆，以及大量生活图标（银行标志、车标、剪纸、化学仪器）。 ⑨ 镜面、倒影、水中的像都是轴对称的现实模型：镜面就是对称轴，镜中读数要把纸倒过来看或左右翻转再读。 注意　对称轴是一条直线，可以向两端无限延伸；画图时用虚线，并让虚线穿出图形一点。 易错　把"两个图形全等"直接当成"成轴对称"——全等只保证边角相等，保证不了位置对称。 题型 1 判断图案是否轴对称 　　例 1　　　在下列四个图案中，不是轴对称图形的是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　下列图标中是轴对称图形的是（　　） A． 　　　　B． 　　　　 C． 　　　　D． 　　　 　　变式 3　　　剪纸不仅是窗上的装饰，更是藏在红纸里的吉祥密码．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中不是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 5　　　下列图标中是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 6　　　下列是部分银行的标志图，其中是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 7　　　下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 8　　　数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（　　） A．　①②③　　　　B．　①②④　　　　 C．　①③④　　　　D．　②③④　　　 　　变式 9　　　下列为轴对称图形的是（　　）． A． 　　　　B． 　　　 C． 　　　　D． 　　　 题型 2 成轴对称与轴对称图形的辨析 　　例 2　　　下列两图形成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 10　　　视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 11　　　下列两个电子数字成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 12　　　下列说法正确的是（　　） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 　　变式 13　　　下图中各组图形，成轴对称的为＿＿＿＿＿（只写序号①，②等）． 　 　 题型 3 镜面反射中的对称 　　例 3　　　从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05　　　　B．21：15　　　　 C．20：15　　　　D．20：12　　　 　　变式 14　　　下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 微专题 2　对称轴的条数与画法 模块导学 对称轴的条数与画法 对称轴是折痕所在的直线，不是线段；数条数要竖、横、斜逐一找，补全图形靠逐点作对称点再连线。 知识梳理 知识点 2　对称轴的条数与画法（重点） ① 线段有 2 条对称轴：线段本身所在的直线，以及它的垂直平分线。 ② 角有 1 条对称轴：角平分线所在的直线（不是角平分线这一段）。 ③ 等腰三角形 1 条（底边上的高所在直线），等边三角形 3 条，长方形 2 条，正方形 4 条，圆有无数条。 ④ 数对称轴按"竖直、水平、斜向、过顶点"四个方向逐一试，最容易漏的是斜方向那几条（如雪花 6 条、正六边形 6 条）。 ⑤ 找对称轴的方法：找一对对称点，连线的垂直平分线就是对称轴；为了可靠，至少要找出两对对称点互相对照。 ⑥ 补全轴对称图形：先定对称轴，再逐点作对称点——过每个关键点作对称轴的垂线，在另一侧截取同样长度，最后顺次连线。 ⑦ 补全时要连的点是原图的"顶点或转折点"，不要逐格描，先找关键点再连线。 ⑧ 添方格成轴对称：把虚线看作对称轴，数清每一列（或每一行）在轴两侧的格数，两侧格数必须相等。 ⑨ 剪纸、折纸的展开图一定关于折痕对称：沿虚线剪去一个角，展开后缺口关于折痕成对出现。 注意　"拿走一个或添上一个小正方形后成为轴对称图形"，先画出候选对称轴，再看哪个格子是它两侧唯一的"不对称处"。 易错　把长方形的一条对角线当成对称轴——沿对角线折，两半不能重合。 题型 1 数对称轴的条数 　　例 1　　　如图，图中雪花的对称轴条数是（　　） A．3　　　　B．4　　　　 C．6　　　　D．12　　　 　　变式 1　　　 某车标是一个轴对称图形，有＿＿＿＿＿＿条对称轴 　 　 　　变式 2　　　下面的图形中对称轴最多的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是＿＿＿＿＿＿；只有2条对称轴的是＿＿＿＿＿＿；只有4条对称轴的是＿＿＿＿＿＿．（填序号） 　 　 　　变式 4　　　以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有＿＿＿＿＿＿个． 　 　 题型 2 补画对称轴与补全图形 　　例 2　　　分别画出如图所示图形的对称轴． 　 　 　 　 　　变式 5　　　下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 6　　　如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 7　　　在下列各图中的适当位置添加小方格，使得到的图形是以虚线为对称轴的轴对称图形． 　 　 　 　 微专题 3　轴对称的性质 模块导学 轴对称的性质 对称轴垂直平分对称点连线，对应线段、对应角相等——求角把角搬到对称位置，求线段把折线换成直线，是本节两条主线。 知识梳理 知识点 3　轴对称的性质（重点） ① 成轴对称的两个图形全等，因此对应线段相等、对应角相等。 ② 对称轴垂直平分每一对对称点所连的线段。这是本节最核心的一条，求角、求线段、证相等几乎都靠它。 ③ 对称轴上的任意一点，到一对对称点的距离相等；反过来，到一对对称点距离相等的点，一定在这对对称点连线的垂直平分线上。 ④ 两个图形关于某直线对称时，所有对应点的连线都垂直于对称轴，因而互相平行。 ⑤ 两条对称线段所在的直线如果相交，交点一定落在对称轴上；交点落在对称轴外的情形，两条直线与对称轴的夹角相等。 ⑥ 求角：先用"对应角相等"把已知角搬到对称的那一侧，再用三角形内角和、外角等于不相邻两内角之和、平角凑出所求角。 ⑦ 求线段：把要求的线段换成与它相等的那一条，让折线变成一条直线段，或让几条线段落到同一直线上相加相减。 ⑧ 求周长：对称把一条边"折"过去，周长常常正好等于某条已知线段的长。 ⑨ 求面积：对称把图形分成面积相等的两半，阴影部分常能搬过去拼成半个图形（如等腰三角形中求得一半再乘 2）。 ⑩ 数全等三角形对数：先由对称找出全等的一对，再顺着对称轴上的公共边、公共点继续找。 注意　性质②是双向的：已知对称可以得垂直平分，已知垂直平分也可以判定对称。 易错　只写"全等"就往下算，忘了对称还给出"垂直平分"这一条更强的位置关系。 题型 1 用对称性求角度 　　例 1　　　如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且，′=25°，则的度数为（　　）. A．35　　　　B．53　　　　 C．63　　　　D．43　　　 　　变式 1　　　如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．以上都不对　　　 　　变式 2　　　如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形若，则的度数为何？（　　） A．65　　　　B．70　　　　 C．75　　　　D．80　　　 　　变式 3　　　如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 　 　 　 　 题型 2 用对称性求线段与面积 　　例 2　　　如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（　　） A．3　　　　B．6　　　　 C．9　　　　D．12　　　 　　变式 4　　　如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，． (1)求线段，的长； (2)求线段的长． 　 　 　 　 　　变式 5　　　如图，在△ABC　中，AB=AC，AD　是BC　边上的高，点E，F　是AD　上的任意两点，　若△ABC　的面积为10　，则图中阴影部分的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 3 对称中的全等与结论辨析 　　例 3　　　如图，与关于直线对称，交于点O．则下列结论不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．　D． 　　变式 6　　　如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．　D． 　　变式 7　　　如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．　D． 　　变式 8　　　如图在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB∥CD，△ABC和△AEC关于AC所在的直线对称，AD和CE相交于点O，连接BE交AC于点P，图中全等三角形的对数有（　　） A．4对　　　　B．5对　　　　 C．6对　　　　D．7对　　　 　　变式 9　　　如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（　　） A．②，④　　　　B．②，③　　　　 C．③，④　　　　D．②，③，④　　　 　　变式 10　　　木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 11　　　如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有＿＿＿＿＿个． 　 　 　　变式 12　　　窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 4 对称点的位置表示 　　例 4　　　如图，数轴上、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 13　　　在直角坐标平面内，已知点，如果该点关于直线的对称点的坐标为，那么的值为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 培优微专题 4　折叠与翻折 模块导学 折叠与翻折 折叠的本质就是轴对称：折痕是对称轴，折出等角与等线段；求角凑平角与内角和，求线段设未知数列方程。 知识梳理 知识点 4　折叠与翻折（重点） ① 折叠的本质是轴对称：折痕就是对称轴，折叠前后重合的两部分关于折痕对称。 ② 折叠出等角：折痕两边的对应角相等，这是折叠求角度题的入口。 ③ 折叠出等线段：折痕两边的对应线段相等，折痕上的点到一对对应点的距离相等。 ④ 折痕垂直平分对应点的连线，折痕本身常常就是某条边的垂直平分线或某个角的平分线。 ⑤ 长方形纸条折叠：纸条上下两边平行，折痕与两边所形成的角相等（内错角），折叠一次常出现"二倍角""互余角"。 ⑥ 求角度：把折叠前后的角标在同一张图上，用平角、三角形内角和、外角关系列式；同一顶点处的几个角相加等于平角是最常用的入口。 ⑦ 求线段：设所求线段为未知数，用"对应线段相等"或"折叠后某条边落在另一条边上"列方程。 ⑧ 求面积：折叠前后面积不变，阴影面积常等于原图形面积减去两块空白，或正好是原图形的一半。 ⑨ 折纸操作类：先判断这一步折出了哪条"对称轴"，再判断折叠后重合的是哪两条线段、哪两个角。 ⑩ 用折纸能折出角平分线（折痕过顶点且角的两边重合）；中线与高需要"边与边重合"，一般折不出，判断时抓住这一点。 注意　折叠题必须把"折叠前的位置"和"折叠后的位置"分别标清字母，同一字母折叠后要用对应点表示。 易错　把折痕当成普通线段，忘了它是对称轴，于是丢掉了"垂直平分"这个条件。 培优题型 1 折叠求角度 　　例 1　　　折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（　　） A．　　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　如图，在中，，，M是边中点，N是边上任意一点，将沿直线翻折，使点A关于直线的对称点D落在直线上，则的度数为＿＿＿＿＿＿． 　 　 培优题型 2 折叠求线段与面积 　　例 2　　　如图，在中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 2　　　如图，点，点，点分别在，，上，将长方形按，翻折，线段的对应边恰好落在折痕上，点的对应点落在长方形外，与交于点，与交于点，已知，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 培优题型 3 折纸操作与阅读理解 　　例 3　　　如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是＿＿＿＿＿＿＿＿．（填序号） 　 　 　　变式 3　　　将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　材料阅读：美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏，我们知道：长方形的四个角大小都是，通过折叠我们可以在折痕的另一侧，得到一个和原来的角大小相等的新角．现在将长方形卡纸沿着线段折叠，如图1，点C落在了处． 通过上面的介绍，我们很容易发现：新角和原来的角相等，新角和原来的角也相等．请依据上述材料回答下列问题： (1)如图1，若，求． (2)如图2，若沿着再次折叠卡纸，点A恰好落在上的处，求． (3)如图3，与交于点N，沿着再次折叠卡纸，点A落在了M处，若，求． 　 　 　 　 培优微专题 5　对称性的应用与最值 模块导学 对称性的应用与最值 同侧两点求最短路程，作其中一点的对称点化成异侧；实际设计题用"对称部分相等"把整体减半计算。 知识梳理 知识点 5　对称性的应用与最值（重点） ① 基本模型：直线同侧有两个点，要在直线上找一点，使它到这两点的距离之和最小。 ② 作法：作其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，连线与直线的交点就是所求的点。 ③ 理由：轴对称把"同侧"化成"异侧"，两条线段之和变成一条线段；两点之间线段最短，所以这时和最小。 ④ 求周长最小：把周长中的两条边通过对称换成一条直线段，再用两点之间线段最短，交点位置随之确定。 ⑤ 求角：定点确定后，用等腰三角形、垂直平分线、平行线的角关系算出所求角。 ⑥ 判断造型是否轴对称：找对称轴，看轴两侧的形状、尺寸是否一一对应。 ⑦ 面积计算：轴对称造型的面积等于对称轴一侧面积的 2 倍，先算一半再翻倍最省事。 ⑧ 造价、用料类问题：先由面积（或长度）关系列出代数式，再代值计算。 ⑨ 规范书写：作图题要写清"作哪个点关于哪条直线的对称点"，并注明依据（两点之间线段最短、轴对称的性质）。 注意　作对称点要选与目标点"在直线同侧"的那个点；连线的交点才落在直线上。 易错　直接把两点连起来，得到的是两点之间的线段，它未必经过直线上的点。 培优题型 1 最短路径问题 　　例 1　　　如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿°． 　 　 培优题型 2 实际情境中的对称设计 　　例 2　　　国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状．造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花． （1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是　　．（用含a的代数式表示） （2）已知a＝2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（π取3）． 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $15.1.1 轴对称及其性质 · 基础讲义 15.1.1 轴对称及其性质 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　轴对称与轴对称图形 2 题型 1　判断图案是否轴对称 3 题型 2　成轴对称与轴对称图形的辨析 6 题型 3　镜面反射中的对称 8 微专题 2　对称轴的条数与画法 9 题型 1　数对称轴的条数 9 题型 2　补画对称轴与补全图形 12 微专题 3　轴对称的性质 14 题型 1　用对称性求角度 14 题型 2　用对称性求线段与面积 16 题型 3　对称中的全等与结论辨析 17 题型 4　对称点的位置表示 21 培优微专题 4　折叠与翻折 21 培优题型 1　折叠求角度 22 培优题型 2　折叠求线段与面积 23 培优题型 3　折纸操作与阅读理解 25 培优微专题 5　对称性的应用与最值 27 培优题型 1　最短路径问题 27 培优题型 2　实际情境中的对称设计 28 一、本讲导航 学习目标 1．通过折叠、剪纸等实例理解轴对称图形与成轴对称的概念，能说清"一个图形自身的对称"与"两个图形之间的对称"的区别与联系。 2．能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；会确定并画出对称轴，会数线段、角、等腰三角形、正方形、正多边形、圆的对称轴条数。 3．探索并掌握轴对称的性质——成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等，并用以求角、求线段与面积。 4．能在坐标平面内写出一个已知顶点坐标的多边形关于坐标轴对称的图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。 5．理解折叠的本质是轴对称，能把折叠问题化归为全等与等腰三角形问题；会作对称点解"同侧两点到直线上一点的距离和最小"问题。 6．在观察、折叠、作图、推理的过程中体会变化中的不变量，发展几何直观与空间观念，感受现实世界中的对称美。 重点与难点 重点　轴对称图形与成轴对称的判别；对称轴的条数与画法；轴对称的三条性质；坐标平面内对称点的坐标关系。 难点　① "全等"与"成轴对称"的区分；② 数对称轴时漏掉斜方向的那几条；③ 求角时把角搬到对称位置后如何凑出平角与内角和；④ 折叠题中折痕的对称轴身份；⑤ 最短路径的对称点作法与依据；⑥ 关于 x 轴、y 轴、原点对称时坐标符号的变化。 学习主线 认对称（找折痕）→（数条数、画对称轴）→ 用性质（换角、换线段）→ 折叠求值 → 作对称点解最值 → 回到实际情境作答。 微专题 1　轴对称与轴对称图形 模块导学 轴对称与轴对称图形 沿一条直线折叠能否完全重合，是这类题的唯一判据；先分清"一个图形自身的对称"与"两个图形的位置关系"。 知识梳理 知识点 1　轴对称与轴对称图形（重点） ① 轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。它说的是"一个图形"自身具有的对称性。 ② 成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点叫对称点。它说的是"两个图形"之间的位置关系。 ③ 区别：轴对称图形是"一个图形对折后自身重合"；成轴对称是"两个图形对折后彼此重合"。前者谈形状，后者谈位置。 ④ 联系：把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，整体就是轴对称图形。 ⑤ 成轴对称的两个图形一定全等；但两个全等的图形不一定成轴对称——还要求它们的位置能沿某条直线折叠重合。 ⑥ 判断图案是否轴对称：先在图上找一条直线，想象沿它对折，看两旁能否完全重合。形状相同但方向错开（如旋转过）的图形不算。 ⑦ 判断两图形成轴对称：既要形状大小相同，又要位置关于某条直线"镜像"对应；只全等不对称的不算。 ⑧ 常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆，以及大量生活图标（银行标志、车标、剪纸、化学仪器）。 ⑨ 镜面、倒影、水中的像都是轴对称的现实模型：镜面就是对称轴，镜中读数要把纸倒过来看或左右翻转再读。 注意　对称轴是一条直线，可以向两端无限延伸；画图时用虚线，并让虚线穿出图形一点。 易错　把"两个图形全等"直接当成"成轴对称"——全等只保证边角相等，保证不了位置对称。 题型 1 判断图案是否轴对称 　　例 1　　　在下列四个图案中，不是轴对称图形的是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 解：A、是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不合题意． 故选：C． 　　答案　　　C 点睛　此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 　　变式 1　　　下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. 　　答案　　　A 　　变式 2　　　下列图标中是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 　　答案　　　D 　　变式 3　　　剪纸不仅是窗上的装饰，更是藏在红纸里的吉祥密码．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 是轴对称图形， 选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 不是轴对称图形， 　　答案　　　C 　　变式 4　　　剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中不是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 5　　　下列图标中是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可． 解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 　　答案　　　D 　　变式 6　　　下列是部分银行的标志图，其中是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 　　答案　　　B 　　变式 7　　　下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据轴对称的定义判断即可． 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 8　　　数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（　　） A．　①②③　　　　B．　①②④　　　　 C．　①③④　　　　D．　②③④　　　 思路分析　根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 解：根据轴对称图形的定义得，①　“悬链线”、③　“三叶玫瑰线”、④　“笛卡尔心形线”是轴对称图形， 故其中是轴对称图形的是①③④． 　　答案　　　C 　　变式 9　　　下列为轴对称图形的是（　　）． A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据轴对称图形的定义判断即可． 解：选项：是轴对称图形； 选项：不是轴对称图形； 选项：不是轴对称图形； 选项：不是轴对称图形． 　　答案　　　A 题型 2 成轴对称与轴对称图形的辨析 　　例 2　　　下列两图形成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 　　答案　　　D 　　变式 10　　　视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 11　　　下列两个电子数字成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 　　答案　　　D 　　变式 12　　　下列说法正确的是（　　） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 解：A、成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图，正确，故本选项符合题意； B、若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴，说法错误，对称轴是直线而不是线段，故本选项不符合题意； C、所有直角三角形都不是轴对称图形，说法错误，等腰直角三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、两个内角相等的三角形不是轴对称图形，说法错误，两个内角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 　　答案　　　A 　　变式 13　　　下图中各组图形，成轴对称的为＿＿＿＿＿（只写序号①，②等）． 思路分析　把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 　　答案　　　①②④ 题型 3 镜面反射中的对称 　　例 3　　　从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05　　　　B．21：15　　　　 C．20：15　　　　D．20：12　　　 思路分析　根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称. 由图分析可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称，这时的时间应是21∶05，故答案选A. 　　答案　　　A 点睛　本题主要考查了镜面反射的原理与性质，解本题的要点在于应认真观察，注意技巧. 　　变式 14　　　下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据成轴对称的性质，进行判断即可. 解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 　　答案　　　B 微专题 2　对称轴的条数与画法 模块导学 对称轴的条数与画法 对称轴是折痕所在的直线，不是线段；数条数要竖、横、斜逐一找，补全图形靠逐点作对称点再连线。 知识梳理 知识点 2　对称轴的条数与画法（重点） ① 线段有 2 条对称轴：线段本身所在的直线，以及它的垂直平分线。 ② 角有 1 条对称轴：角平分线所在的直线（不是角平分线这一段）。 ③ 等腰三角形 1 条（底边上的高所在直线），等边三角形 3 条，长方形 2 条，正方形 4 条，圆有无数条。 ④ 数对称轴按"竖直、水平、斜向、过顶点"四个方向逐一试，最容易漏的是斜方向那几条（如雪花 6 条、正六边形 6 条）。 ⑤ 找对称轴的方法：找一对对称点，连线的垂直平分线就是对称轴；为了可靠，至少要找出两对对称点互相对照。 ⑥ 补全轴对称图形：先定对称轴，再逐点作对称点——过每个关键点作对称轴的垂线，在另一侧截取同样长度，最后顺次连线。 ⑦ 补全时要连的点是原图的"顶点或转折点"，不要逐格描，先找关键点再连线。 ⑧ 添方格成轴对称：把虚线看作对称轴，数清每一列（或每一行）在轴两侧的格数，两侧格数必须相等。 ⑨ 剪纸、折纸的展开图一定关于折痕对称：沿虚线剪去一个角，展开后缺口关于折痕成对出现。 注意　"拿走一个或添上一个小正方形后成为轴对称图形"，先画出候选对称轴，再看哪个格子是它两侧唯一的"不对称处"。 易错　把长方形的一条对角线当成对称轴——沿对角线折，两半不能重合。 题型 1 数对称轴的条数 　　例 1　　　如图，图中雪花的对称轴条数是（　　） A．3　　　　B．4　　　　 C．6　　　　D．12　　　 思路分析　在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 　　答案　　　C 　　变式 1　　　 某车标是一个轴对称图形，有＿＿＿＿＿＿条对称轴 思路分析　此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断．根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可． 解：如图， 　　 此车标有3条对称轴． 故答案为：3． 　　答案　　　3 　　变式 2　　　下面的图形中对称轴最多的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 　A选项图形有2条对称轴； 　B选项图形有2条对称轴； 　C选项图形有3条对称轴； 　D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 　　答案　　　C 点睛　本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 　　变式 3　　　如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是＿＿＿＿＿＿；只有2条对称轴的是＿＿＿＿＿＿；只有4条对称轴的是＿＿＿＿＿＿．（填序号） 思路分析　本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 　　答案　　　　①②⑩　③④⑤⑥⑧⑨　⑦ 　　变式 4　　　以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有＿＿＿＿＿＿个． 思路分析　本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 　　答案　　　4 题型 2 补画对称轴与补全图形 　　例 2　　　分别画出如图所示图形的对称轴． 思路分析　如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这条直线就是该轴对称图形的对称轴，根据轴对称的定义画出图形即可． 略 　　答案　　　 　　变式 5　　　下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 6　　　如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据轴对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 解：由轴对称图形的定义可得， 应该拿走的小正方形的标号是2． 故答案为：2． 　　答案　　　2 点睛　此题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 　　变式 7　　　在下列各图中的适当位置添加小方格，使得到的图形是以虚线为对称轴的轴对称图形． 略 　　答案　　　解：如图①，②，③，④，图形关于虚线成轴对称． 微专题 3　轴对称的性质 模块导学 轴对称的性质 对称轴垂直平分对称点连线，对应线段、对应角相等——求角把角搬到对称位置，求线段把折线换成直线，是本节两条主线。 知识梳理 知识点 3　轴对称的性质（重点） ① 成轴对称的两个图形全等，因此对应线段相等、对应角相等。 ② 对称轴垂直平分每一对对称点所连的线段。这是本节最核心的一条，求角、求线段、证相等几乎都靠它。 ③ 对称轴上的任意一点，到一对对称点的距离相等；反过来，到一对对称点距离相等的点，一定在这对对称点连线的垂直平分线上。 ④ 两个图形关于某直线对称时，所有对应点的连线都垂直于对称轴，因而互相平行。 ⑤ 两条对称线段所在的直线如果相交，交点一定落在对称轴上；交点落在对称轴外的情形，两条直线与对称轴的夹角相等。 ⑥ 求角：先用"对应角相等"把已知角搬到对称的那一侧，再用三角形内角和、外角等于不相邻两内角之和、平角凑出所求角。 ⑦ 求线段：把要求的线段换成与它相等的那一条，让折线变成一条直线段，或让几条线段落到同一直线上相加相减。 ⑧ 求周长：对称把一条边"折"过去，周长常常正好等于某条已知线段的长。 ⑨ 求面积：对称把图形分成面积相等的两半，阴影部分常能搬过去拼成半个图形（如等腰三角形中求得一半再乘 2）。 ⑩ 数全等三角形对数：先由对称找出全等的一对，再顺着对称轴上的公共边、公共点继续找。 注意　性质②是双向的：已知对称可以得垂直平分，已知垂直平分也可以判定对称。 易错　只写"全等"就往下算，忘了对称还给出"垂直平分"这一条更强的位置关系。 题型 1 用对称性求角度 　　例 1　　　如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且，′=25°，则的度数为（　　）. A．35　　　　B．53　　　　 C．63　　　　D．43　　　 思路分析　利用轴对称图形的性质得出＝，进而利用三角形内角和定理得出即可． 解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且＝，′＝， ∴＝， ∴＝﹣﹣＝． 故选B． 　　答案　　　B 点睛　本题主要考查轴对称图形的性质，关键在于得出＝. 　　变式 1　　　如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．以上都不对　　　 思路分析　根据轴对称得出，即可得出的度数． 解：与关于直线对称， ， ． 　　答案　　　B 　　变式 2　　　如图，中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形若，则的度数为何？（　　） A．65　　　　B．70　　　　 C．75　　　　D．80　　　 思路分析　根据轴对称的性质可得，据此可得，，再根据三角形的内角和定理可得的度数． 解：四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形， ，， ， 故选：D． 　　答案　　　D 点睛　本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 　　变式 3　　　如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 思路分析　本题考查了轴对称的性质，三角形外角的性质等知识，根据成轴对称的图形，对应角相等，得出，，然后根据三角形的外角的性质求解即可． 解：∵与关于边所在的直线成轴对称，， ∴，， ∴， ∴． 　　答案　　　 题型 2 用对称性求线段与面积 　　例 2　　　如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（　　） A．3　　　　B．6　　　　 C．9　　　　D．12　　　 解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 　　答案　　　B 　　变式 4　　　如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，． (1)求线段，的长； (2)求线段的长． 思路分析　（1）由点与关于对称可得出，结合的长度可求出的长度； （2）由点与关于对称可得出，再根据即可求出线段的长． （1）解：，关于对称， ， ， ． （2）解：，关于对称， ， ． 　　答案　　　(1)，(2) 　　变式 5　　　如图，在△ABC　中，AB=AC，AD　是BC　边上的高，点E，F　是AD　上的任意两点，　若△ABC　的面积为10　，则图中阴影部分的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，然后判断出阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半，然后计算即可得解． 解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 　　答案　　　5 点睛　本题考查了等腰三角形三线合一的性质，同底等高的三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握三线合一定理． 题型 3 对称中的全等与结论辨析 　　例 3　　　如图，与关于直线对称，交于点O．则下列结论不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．　D． 思路分析　本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 解：∵与关于直线对称， ∴，，， 而和不一定平行， 故选D． 　　答案　　　D 　　变式 6　　　如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．　D． 思路分析　根据轴对称的性质逐项分析即可得出结果． 解：根据轴对称图形的特征可知：，，，无法判断与的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意． 　　答案　　　B 　　变式 7　　　如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 　C．　D． 思路分析　轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， ∵不一定成立，故C选项错误， 因此不一定正确的是C． 　　答案　　　C 　　变式 8　　　如图在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB∥CD，△ABC和△AEC关于AC所在的直线对称，AD和CE相交于点O，连接BE交AC于点P，图中全等三角形的对数有（　　） A．4对　　　　B．5对　　　　 C．6对　　　　D．7对　　　 思路分析　依据轴对称的性质以及平行线的性质，即可得到图形中的全等三角形，进而得出图中全等三角形的对数． 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD， ∴＝，＝， 又∵AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∵△ABC和△AEC关于AC所在的直线对称， ∴△ABC≌△AEC， ∴△ADC≌△CEA， ∵△ABC和△AEC关于AC所在的直线对称， ∴AB＝AE，BC＝EC，AC垂直平分BE， ∴BP＝EP， ∴△ABP≌△AEP（SSS），△BCP≌△ECP（SSS）， ∵AE＝CD，＝，＝， ∴△AOE≌△COD（AAS）， ∴图中全等三角形的对数有6对， 故选：C． 　　答案　　　C 点睛　此题考查了全等三角形的判定与性质以及轴对称性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 　　变式 9　　　如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（　　） A．②，④　　　　B．②，③　　　　 C．③，④　　　　D．②，③，④　　　 思路分析　本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 10　　　木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 　　答案　　　D 　　变式 11　　　如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有＿＿＿＿＿个． 思路分析　本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 12　　　窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 　　答案　　　②③④ 题型 4 对称点的位置表示 　　例 4　　　如图，数轴上、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据数轴上两点的距离以及对称的性质即可求出答案． 解：设点所对应的数是， 　、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点， ， ， ． 　　答案　　　/ 　　变式 13　　　在直角坐标平面内，已知点，如果该点关于直线的对称点的坐标为，那么的值为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　先根据轴对称的性质求出的中点横坐标为，再根据中点坐标公式求解即可． 解：∵点关于直线的对称点的坐标为， ∴的中点横坐标为， ∴ 解得． 　　答案　　　D 培优微专题 4　折叠与翻折 模块导学 折叠与翻折 折叠的本质就是轴对称：折痕是对称轴，折出等角与等线段；求角凑平角与内角和，求线段设未知数列方程。 知识梳理 知识点 4　折叠与翻折（重点） ① 折叠的本质是轴对称：折痕就是对称轴，折叠前后重合的两部分关于折痕对称。 ② 折叠出等角：折痕两边的对应角相等，这是折叠求角度题的入口。 ③ 折叠出等线段：折痕两边的对应线段相等，折痕上的点到一对对应点的距离相等。 ④ 折痕垂直平分对应点的连线，折痕本身常常就是某条边的垂直平分线或某个角的平分线。 ⑤ 长方形纸条折叠：纸条上下两边平行，折痕与两边所形成的角相等（内错角），折叠一次常出现"二倍角""互余角"。 ⑥ 求角度：把折叠前后的角标在同一张图上，用平角、三角形内角和、外角关系列式；同一顶点处的几个角相加等于平角是最常用的入口。 ⑦ 求线段：设所求线段为未知数，用"对应线段相等"或"折叠后某条边落在另一条边上"列方程。 ⑧ 求面积：折叠前后面积不变，阴影面积常等于原图形面积减去两块空白，或正好是原图形的一半。 ⑨ 折纸操作类：先判断这一步折出了哪条"对称轴"，再判断折叠后重合的是哪两条线段、哪两个角。 ⑩ 用折纸能折出角平分线（折痕过顶点且角的两边重合）；中线与高需要"边与边重合"，一般折不出，判断时抓住这一点。 注意　折叠题必须把"折叠前的位置"和"折叠后的位置"分别标清字母，同一字母折叠后要用对应点表示。 易错　把折痕当成普通线段，忘了它是对称轴，于是丢掉了"垂直平分"这个条件。 培优题型 1 折叠求角度 　　例 1　　　折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（　　） A．　　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　先根据得出，再根据，推出，从而得出，结合折叠，得出，最后根据是的外角，根据即可求解． 解：由条件可知， ∵， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∵是的外角， ∴， ∴． 　　答案　　　D 　　变式 1　　　如图，在中，，，M是边中点，N是边上任意一点，将沿直线翻折，使点A关于直线的对称点D落在直线上，则的度数为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　分点A关于直线的对称点D与点B重合和点A关于直线的对称点D在的延长线上两种情况，分别根据折叠的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 解：　①如图：点A关于直线的对称点D与点B重合，则， ∵，， ∴， ∴； ②如图，点A关于直线的对称点D在的延长线上，则，， ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 　　答案　　　或 培优题型 2 折叠求线段与面积 　　例 2　　　如图，在中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　连接，，根据折叠有，根据，列式计算即可． 如图，连接，， 将向外翻折至， ， ． ∵过点，分别作，的垂线，垂足为，，，， ∴，，，， ∴ ， ． 　　答案　　　21 　　变式 2　　　如图，点，点，点分别在，，上，将长方形按，翻折，线段的对应边恰好落在折痕上，点的对应点落在长方形外，与交于点，与交于点，已知，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，根据折叠可求出，进而求出，再利用折叠求出，问题随之得解． ， ． ， ． 折叠得到， ， ， 折叠得到， ， ． 　　答案　　　 培优题型 3 折纸操作与阅读理解 　　例 3　　　如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是＿＿＿＿＿＿＿＿．（填序号） 思路分析　根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重叠，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重叠，则：折痕即为边上的高； 故上述三条线段中能通过折纸折出的是①②③． 　　答案　　　①②③ 　　变式 3　　　将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据展开后的图形即可作出判断． 解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 　　答案　　　A 　　变式 4　　　材料阅读：美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏，我们知道：长方形的四个角大小都是，通过折叠我们可以在折痕的另一侧，得到一个和原来的角大小相等的新角．现在将长方形卡纸沿着线段折叠，如图1，点C落在了处． 通过上面的介绍，我们很容易发现：新角和原来的角相等，新角和原来的角也相等．请依据上述材料回答下列问题： (1)如图1，若，求． (2)如图2，若沿着再次折叠卡纸，点A恰好落在上的处，求． (3)如图3，与交于点N，沿着再次折叠卡纸，点A落在了M处，若，求． 思路分析　本题主要考查直角和角度之间的和差关系， 根据题意得，结合直角和角度之间关系即可求得答案； 由题意得和，结合直角和角度之间关系即可求得答案； 由题意得和，利用直角可得，结合即可求得答． （1）解：由题意得， ∵，， ∴； （2）由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 　　答案　　　(1)(2)(3) 培优微专题 5　对称性的应用与最值 模块导学 对称性的应用与最值 同侧两点求最短路程，作其中一点的对称点化成异侧；实际设计题用"对称部分相等"把整体减半计算。 知识梳理 知识点 5　对称性的应用与最值（重点） ① 基本模型：直线同侧有两个点，要在直线上找一点，使它到这两点的距离之和最小。 ② 作法：作其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，连线与直线的交点就是所求的点。 ③ 理由：轴对称把"同侧"化成"异侧"，两条线段之和变成一条线段；两点之间线段最短，所以这时和最小。 ④ 求周长最小：把周长中的两条边通过对称换成一条直线段，再用两点之间线段最短，交点位置随之确定。 ⑤ 求角：定点确定后，用等腰三角形、垂直平分线、平行线的角关系算出所求角。 ⑥ 判断造型是否轴对称：找对称轴，看轴两侧的形状、尺寸是否一一对应。 ⑦ 面积计算：轴对称造型的面积等于对称轴一侧面积的 2 倍，先算一半再翻倍最省事。 ⑧ 造价、用料类问题：先由面积（或长度）关系列出代数式，再代值计算。 ⑨ 规范书写：作图题要写清"作哪个点关于哪条直线的对称点"，并注明依据（两点之间线段最短、轴对称的性质）。 注意　作对称点要选与目标点"在直线同侧"的那个点；连线的交点才落在直线上。 易错　直接把两点连起来，得到的是两点之间的线段，它未必经过直线上的点。 培优题型 1 最短路径问题 　　例 1　　　如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿°． 思路分析　利用对称点法求周长最小值：分别作点关于、的对称点、，连接，其与、的交点即为周长最小时的、，结合已知，利用对称性质与三角形内角和推导得出的度数． 解：　　作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， 这条线段与、的交点就是周长最小时对应的、点， 此时的周长==，为最短值． 根据轴对称的性质：，． 在中，， 因此． 　． 　　答案　　　54 培优题型 2 实际情境中的对称设计 　　例 2　　　国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状．造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花． （1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是　　．（用含a的代数式表示） （2）已知a＝2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（π取3）． 思路分析　（1）根据题意得出区域②等于两个正方形的面积； （2）分别求出区域①、②的面积，再乘以单价即可． （1）区域②的面积＝2a2． 故答案为：2a2． （2）整个造型的造价：　 ∵π取3 ∴整个造型的造价　（元） 　　答案　　　（1）2a2；（2）整个造型的造价为2960元． 点睛　本题考查轴对称、正方形的性质、代数式等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 1 学科网（北京）股份有限公司 $