15.1.1轴对称及其性质 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦轴对称及其性质核心知识点，从轴对称图形和两个图形成轴对称的概念入手，明确区别与联系，再通过性质（对应线段角相等、对称轴垂直平分对应点连线）过渡到线段垂直平分线的定义、性质与判定，最后落实到画轴对称图形的方法，构建完整知识支架。 资料通过表格对比概念、关键要素提炼、尺规作图步骤及依据分析等设计，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），逻辑推理意识（数学思维），符号语言表达能力（数学语言）。如常见图形对称轴表格助直观理解，易错点总结规范思维，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

初中数学 · 八年级上册 · 第十五章 15.1.1 轴对称及其性质 · 讲义 15.1.1 轴对称及其性质 一、学习目标 1. 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能识别简单的轴对称图形及其对称轴 1. 能区分"轴对称图形"与"两个图形成轴对称"的区别与联系 1. 掌握轴对称的基本性质，理解线段垂直平分线的概念和性质 1. 能运用轴对称的性质解决相关问题，会画一个图形关于某直线的轴对称图形 二、轴对称图形 ◆ 1. 定义 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。 关键要素：①一个图形；②沿一条直线折叠；③折叠后两旁部分完全重合。 ◆ 2. 常见轴对称图形及其对称轴数量 图形 对称轴数量 对称轴位置 记忆要点 线段 2条 ①线段所在直线 ②线段的垂直平分线 本身+中垂线 角 1条 角平分线所在的直线 角平分线即对称轴 等腰三角形 1条 底边上的高（中线/顶角平分线）所在直线 三线合一 等边三角形 3条 每条边的垂直平分线 也是中线和高 矩形 2条 连接对边中点的两条直线 不是对角线！ 正方形 4条 两条对角线+两条对边中点连线 对称性最强四边形 等腰梯形 1条 上下底中点连线所在直线 仅一条 圆 无数条 任意经过圆心的直线 直径所在直线 ◆ 3. 重要提醒 ⚠ 注意1：对称轴是直线，不是线段也不是射线！书写时用直线表示。⚠ 注意2：一个图形可能有多条对称轴（如正方形4条、圆无数条）。⚠ 注意3：对称点是折叠后重合的点，对称轴是对称点连线的垂直平分线。 三、两个图形成轴对称 ◆ 1. 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点。 ◆ 2. 轴对称图形 vs 两个图形成轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象数量 一个图形自身的对称性 两个图形之间的位置关系 描述方式 图形沿直线折叠，两旁部分重合 一个图形沿直线折叠与另一个图形重合 对称轴 图形内部的对称轴 两个图形之间的对称轴 联系 把轴对称图形沿对称轴分成两部分→两部分成轴对称 把成轴对称的两个图形看成一个整体→构成轴对称图形 四、轴对称的核心性质 ◆ 性质1：对应线段相等，对应角相等 若△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则 AB=A'B'，BC=B'C'，∠A=∠A'…… ◆ 性质2：对称轴是对应点连线的垂直平分线 连接任意一对对称点所得线段，被对称轴垂直平分。即：若A与A'关于直线l对称，则 l ⊥ AA'，且l平分AA'（交点为AA'的中点）。 符号语言：若A与A'关于直线l对称，M为AA'与l的交点 则 AM = A'M，且 l ⊥ AA'（即∠AMA' = 90°） ◆ 性质3：成轴对称的两个图形全等 若两个图形关于直线l成轴对称，则这两个图形全等。 这是轴对称最基本的性质——对称变换不改变图形的形状和大小，只改变位置。 ◆ 性质4（推论）：交点在对称轴上 成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段（或其延长线）相交，那么交点一定在对称轴上。 五、线段的垂直平分线（中垂线） ◆ 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 两个条件缺一不可：①经过线段中点（平分）；②垂直于这条线段。符号语言：若直线l经过线段AB的中点O，且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线。 ◆ 2. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 即：若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA = PB。 ◆ 3. 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 即：若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 综合结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 ◆ 4. 尺规作图：作线段AB的垂直平分线 1. 第一步：分别以A、B为圆心，大于AB/2的长为半径画弧 1. 第二步：两弧在AB上方交于点C，下方交于点D 1. 第三步：过点C、D作直线CD，则CD即为AB的垂直平分线 作图依据：连接AC、BC、AD、BD AC=BC（同圆半径），AD=BD（同圆半径） ∴ C、D都在AB的垂直平分线上（判定定理） ∴ 两点确定一条直线CD，CD即为所求 六、画轴对称图形的方法 ◆ 1. 作图依据 1. 新图形上的每一点都是原图形上某一点关于对称轴的对称点 1. 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 ◆ 2. 作图步骤（一垂二延三相等） 1. 第一步：找——在原图形上找关键点（顶点、端点等） 1. 第二步：画——分别画出各关键点关于对称轴的对称点（一垂：作垂线；二延：沿垂线延长；三相等：取等距） 1. 第三步：连——按原图的顺序依次连接各对称点，得到轴对称图形的另一半 七、易错点总结 易错点 错误表现 正确做法 对称轴不是线段 把对称轴画成线段或射线 对称轴是直线，用虚线无限延伸表示 混淆两种对称 分不清"轴对称图形"和"成轴对称" 一个图形 vs 两个图形，画图标注理解 垂直平分线条件不全 只验证垂直或只验证过中点 必须同时满足：①过中点 ②垂直于线段 对称点连线性质用错 忘记连线被对称轴垂直平分 先找对称点，再验证垂直+平分关系 折叠问题不会转化 把折叠当普通几何题做 折叠=轴对称，利用对应线段/角相等 矩形对角线是对称轴 误认为矩形对角线是对称轴 矩形只有2条对称轴（对边中点连线） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $