15.1.2·线段的垂直平分线·A+培优讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册
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内容正文：
15.1.2·线段的垂直平分线·A+培优讲义
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【考点1】线段垂直平分线的性质定理(对应练习20道题)
一、单选题
1．（2026八年级下·山西朔州·专题练习）在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等，
∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意．
2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知是一个任意三角形，用尺规作出，的平分线，如果两条角平分线交于点O，下列说法不正确的是（ ）
A．点O到三个顶点的距离一定相等
B．的平分线一定经过点O
C．点O到三边的距离一定相等
D．点O一定在的内部
【答案】A
【分析】根据三角形角平分线交点的性质判断各选项，找出错误说法即可.
【详解】解：∵任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于同一点，该交点（三角形的内心）到三角形三边的距离相等，
∴点O一定在内部，的平分线一定经过点O，点O到三边的距离一定相等，故选项B、C、D说法均正确，
∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，不是角平分线的交点，
∴选项A说法不正确.
3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，，
∴．
4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴．
5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴．
6．（25-26八年级下·福建宁德·期末）数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作的垂直平分线交于点D，则，再观察各选项即可得出答案．
【详解】解：要使，则作的垂直平分线交于点D即可，观察各选项，只有B选项符合．
7．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长．
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
∴，
∴的周长为．
8．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．所有的直角都相等
C．对顶角相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】先交换各选项原命题的条件和结论得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到结果．
【详解】A选项 原命题的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形．
∵对应角相等的三角形只是形状相同，大小不一定相同，因此不一定全等，
∴逆命题是假命题．
B选项 原命题的逆命题为：相等的角是直角．
∵相等的角不一定是直角，例如两个的角相等但不是直角，
∴逆命题是假命题．
C选项 原命题的逆命题为：相等的角是对顶角．
∵相等的角不一定是对顶角，任意位置的两个相等角都不一定是对顶角，
∴逆命题是假命题．
D选项 原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
这是线段垂直平分线的判定定理，是真命题．
9．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵线段的垂直平分线与相交于点D，
∴，
∴的周长．
10．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质得到，通过线段等量代换，的周长可表示为，即可求解．
【详解】解： 是边的垂直平分线，
，
的周长．
11．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，；
②作直线，与边交于点；
③连接．，，则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
，
，，
．
12．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵与的周长之差为，
∴，
∴，
∴．
13．（26-27八年级上·天津·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由轴对称的性质得出对应线段相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，不能得出非对应线段的关系．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，
无法得到，
故选项不一定成立．
14．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A．20 B．21 C．25 D．30
【答案】C
【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长．
【详解】解：由作图可得是的垂直平分线，
∴，．
∴，
∵，
∴，即，
∴．
15．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
由尺规作图可知，是的垂直平分线，
，
，
．
16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据尺规作图痕迹得到所在直线垂直平分线段，所在直线平分；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，，同一个三角形中等边对等角可知的度数，利用三角形内角和是得到的度数，最后根据角平分线进行求解即可．
【详解】解：根据尺规作图痕迹可知：所在直线垂直平分线段，所在直线平分；
∵所在直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴．
17．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果．
【详解】∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长是．
18．（22-23八年级上·全国·期末）如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，即平分；故①③正确，
又∵，
∴垂直平分，故④正确，
∵在上，
∴，故②正确，
故①②③④正确．
19．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．19
【答案】A
【分析】连接，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，当点、、在同一直线上时，的周长最小，由此计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
由作图可得垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴当点、、在同一直线上时，的周长最小，为．
20．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】A
【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接、，
由作图得垂直平分，
∴，
∴，
由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，
∵在锐角中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
【考点2】线段垂直平分线的判定定理（对应练习20道题)
一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上
C．的中点处 D．的平分线上
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则点D在的垂直平分线上，
故选：A．
2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等
【答案】B
【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论.
【详解】解：连接，交于点，
∵，
∴，
∴正确，错误.
3．（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（ ）
A．的角平分线与的垂直平分线的交点
B．的角平分线与的垂直平分线的交点
C．的角平分线与的垂直平分线的交点
D．的角平分线与的垂直平分线的交点
【答案】A
【详解】解：∵点到边、的距离相等，
∴点在的角平分线上，
∵，
∴点在边的垂直平分线上，
∴点是的角平分线与的垂直平分线的交点．
4．（22-23八年级上·全国·期末）如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，即平分；故①③正确，
又∵，
∴垂直平分，故④正确，
∵在上，
∴，故②正确，
故①②③④正确．
5．（2026·北京·模拟预测）如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，进而得到是的垂直平分线，再利用直角三角形的性质即可解答.
【详解】解：如图，连接，
根据题意可得：，
∴是的垂直平分线，
即，
∵，
∴.
6．（2026·贵州遵义·一模）如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知，，即可得出结论．
【详解】根据作图痕迹可以判断作图过程为过点作直线的垂线，且，，
所以垂直平分一定正确．
故选：D．
7．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（ ）
A．垂直平分线段 B．平分
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知作法可知、，则点、在的垂直平分线上．
【详解】解：如图：连接，
以为圆心，为半径画弧
以为圆心，为半径画弧②
点、在的垂直平分线上．即垂直平分线段，故A正确
∴
∴，故C错误
不能得出平分，故B，D错误
8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．垂直平分 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定逐一判断即可，掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，，分别是，的高，
∴，，
A．在和中，
，
∴，
∴，故原选项结论正确，不符合题意；
B．∵，，
∴垂直平分，故原选项结论正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，
而题目没有给出，
∴不一定等于，故原选项错误，符合题意；
D．由选项C知：，故原选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积为
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个知识点是关键；由线段垂直平分线的判定可判定选项A，由等腰三角形的性质可判定选项B、C，由三角形面积即可判定选项D．
【详解】解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
故选项A正确；
∵，，
∴，
故选项B正确；
∵，，，
∴，，
∴，
即，
故选项C正确；
设交于点O，如图，
∵，
∴四边形的面积为：，
故选项D错误，
故选：D．
10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．点在线段的垂直平分线上
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等，由直角三角形的性质可得，即得，即得到，，得到，进而可得，即可判定①；再根据线段垂直平分线的判定即可判定②；由直角三角形的性质可判定③；由可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴，故选项正确；
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，故选项正确；
∵，，
∴，故选项正确；
∵，
∴，故选项不正确；
故选：．
11．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．和关于直线成轴对称
C．直线是线段的垂直平分线
D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，轴对称的核心性质包括：对称轴垂直平分对应点连线、两侧图形全等、对应点到对称轴距离相等，以及对称轴上的点位置不变．根据轴对称的性质可直接得出答案．
【详解】解：A、直线与不一定平行，该选项符合题意；
B、和关于直线成轴对称，该选项不符合题意；
C、直线是线段的垂直平分线，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：A．
12．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在平面内有一条线段，在该平面内找一点，使得是等腰直角三角形，且点为直角顶点，满足条件的点的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判断，点C需满足，即点C在的垂直平分线上，共有两2个．
【详解】∵是等腰直角三角形，且C为直角顶点，
∴．
∴点C在的垂直平分线上．
又，
故满足条件的点有2个
故选B
13．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（ ）
A．12 B．19 C．24 D．48
【答案】A
【分析】本题考查了三线合一 ，中垂线的性质与判定，垂线段最短，作，根据等腰三角形三线合一的性质，与垂直平分线的性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：连接，作，垂足为，连接，
∵，是边的中线，
∴，，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长
∵的最小值为，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
14．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则_________．
【答案】/40度
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合作图过程得是的垂直平分线，故，即，因为，得，即可作答．
【详解】解：连接，
∵，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，
∴，，
则是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线．
【答案】/
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线；
故答案为．
16．（21-22八年级下·新疆昌吉·阶段检测）定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）．
【答案】 三边分别对应相等的两个三角形全等 真
【分析】将原命题拆分为题设和结论，交换二者得到逆命题，再根据全等三角形的判定判断真假．
【详解】解：原命题“全等三角形的对应边相等”可拆分为：
题设：两个三角形是全等三角形，
结论：两个三角形的对应边相等，
交换题设和结论，得到逆命题：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等，
根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形一定全等，因此该逆命题是真命题．
17．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理．
【答案】没有
【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，因此逆命题不成立，故没有逆定理．
【详解】解：定理“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”．
然而，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角；
或者，两直线平行时同位角相等，但它们也不是对顶角．
因此，逆命题不成立，所以原定理没有逆定理．
故答案为：没有．
18．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．
【答案】16
【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵垂直于点，且为的中点，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴的周长是．
19．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________．
【答案】5
【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解．
【详解】解：设交点为，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴．
20．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，平分，于E，，下列结论正确的是________．
①；②；③；④；⑤
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，在取点，使，连接，则可证明，进而证明，再由线段的和差关系可判断①；证明，得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，再由平角的定义和四边形内角和定理可判断②；根据全等三角形的性质可判断③；根据①所求可判断④；根据三角形中线的性质得到，再由图形面积之间的关系可判断⑤．
【详解】解：在取点，使，连接
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵平分，
∴
又∵
∴，
∴，
垂直平分，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故正确；
由知，，且，则，故④错误；
∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，故⑤错误．
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【考点3】线段垂直平分线与全等、等腰三角形综合应用（对应练习20道题)
1．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图①，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等，如何确定交易中心的位置？如图②，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点．
【分析】根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，分别作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点．
【详解】略
2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）．
【答案】
如图，点P即为所求．
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作线段的垂直平分线，作的角平分线，两线的交点即为点P．
【详解】略
3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且．
【答案】
【分析】作线段的垂直平分线，作的平分线，两线交点即为点P．
【详解】略
4．（26-27八年级上·全国·课后作业）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置．
【答案】解：如图，点即为所求．
【分析】作的角平分线和线段的垂直平分线即可．
【详解】略．
5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知．
(1)利用直尺和圆规作，使，（点与点在的同侧）；
(2)在（1）的基础上，仅用无刻度直尺作出的垂直平分线．
【答案】(1)
△ABD即为所求：
；
(2)
直线即为所求：
．
【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质．
（1）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，则即为所求；
（2）延长与相交于点，作直线，则直线即为的垂直平分线．
【详解】（1）略
（2）略
6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，．
(1)求证：平分；
(2)如图②，连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)证明：是的中点，
，
，，
在和中，
，
，
点在的平分线上，
平分．
(2)证明：由（1）知，
在和中，
，
，
又，
垂直平分．
【分析】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分；
（2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可．
【详解】（1）略
（2）略
7．（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【初步探究】
（1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明；
【综合运用】
（2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积．
【答案】
（1）垂直平分线段；
证明：已知，．
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴垂直平分线段．
（2）12．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先证，再证，即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质得，进而求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）由（1）知垂直平分线段，
∴，
∴．
8．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是的平分线，，分别是和的高，垂足为，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明：，分别是和的高，
，，
是的平分线，
；
(2)
【分析】（1）由，分别是和的高得，，结合是的平分线由角平分线的性质得；
（2）先把面积拆成两个小三角形面积之和求出，再利用角平分线得，在中利用角所对的直角边是斜边一半求出．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得，，，
，
，
，
，是的平分线，
，
．
9．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且．
(1)求证：点D在的垂直平分线上；
(2)的长度是________．
【答案】(1)证明：连接
∵点在的平分线所在的直线上，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
(2)2
【分析】（1）连接，，根据证明得，可证点D在的垂直平分线上；
（2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论．
【详解】（1）略．
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
，
．
10．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F．
(1)若的面积为7，，，则的长是多少？
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)
(2)证明：中，平分，，
，，,
∴点D在线段的垂直平分线上，
在和中，
，
，
,
∴点A在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，根据即可求的长；
（2）证明，得，结合，由线段垂直平分线的逆定理可证明结论．
【详解】（1）解： 是的平分线，，
，
，的面积为7，，，
，
；
（2）略
11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
(1)若，，求的周长；
(2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点F在边的垂直平分线上，理由如下：
连接，
点F在边的垂直平分线上，
，
点F在线段上，垂直平分，
，
，
点在的垂直平分线上．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知，则的周长可转化为，即可解答；
（2）连接，根据垂直平分线的性质和判定即可证明．
【详解】（1）解：直线垂直平分，交于点D，
，
，
，
即的周长为．
（2）略．
12．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线．
(1)连接，，求证：；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)证明：连接，如图，
∵垂直平分，垂直平分
∴，
∴
(2)证明：∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点F在线段的垂直平分线上，
又∵点O与点F不重合，且两点确定一条直线，
∴垂直平分．
【详解】（1）见答案
（2）见答案
13．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）有一数学兴趣小组在思考“过直线外一点P作已知直线l的垂线”这一问题时，画出了如图1的示意图．
(1)根据所画的示意图，请你用尺规作图过直线外一点P作直线l的垂线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明该作法的正确性．
【答案】(1)如图，直线即为所求：
(2)证明：由作图过程，得，，
∴点A、点B都在线段的垂直平分线上，
∴直线l垂直平分，即直线是直线l的垂线．
【分析】（1）在直线l上任意取点A、点B，以点A为圆心，长为半径画圆，再以点B为圆心，长为半径画圆，两圆相交于点P、点Q，则直线即为所求．
（2）利用线段垂直平分线的判定可证得结论．
【详解】（1）略
（2）略
14．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G．
(1)求证：．
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，求长度．
【答案】(1)证明：如图，连接、，
D为的中点，，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
；
(2)；
证明：由（1）可知，，
，
；
(3)．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质和角平分线的性质，证明，即可得证；
（2）根据（1）所得结论即可证明；
（3）证明，进而推出，即可得解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
15．（2026八年级上·全国·专题练习）已知点在内．
(1)如图①，点关于射线的对称点是点，点关于射线的对称点是点，连接，，．
（Ⅰ）若，则________；
（Ⅱ）若，连接，请说明当为多少度时，．
(2)如图②，若，，分别是射线，上的任意一点，当的周长最小时，请直接写出的度数．
【答案】(1)（Ⅰ）
（Ⅱ）当时，，理由如下：
由轴对称的性质可得，，
同理（1）可得，当时，，
∴点，，在同一直线上，
∴．
(2)的度数为
【分析】（1）（Ⅰ）利用轴对称的性质可得，，由等量代换可得；
（Ⅱ）由轴对称的性质可得，，则点，，在同一直线上时，，计算此时的度数即可；
（2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，，交，于点，，连接，，则此时的周长最小，且等于的长．由（1）可知，结合等腰三角形的性质可得，，求和即可得出．
【详解】（1）解：（Ⅰ）∵点与点关于射线对称，点与点关于射线对称，
∴，，
∴，，
∴；
（Ⅱ）略
（2）解：如图，分别作点关于，的对称点，，连接，，，，交，于点，，连接，，
∴，，此时的周长最小，且等于的长，
由对称性可得，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
36．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）综合与探究
【提出问题】
如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决．
请你结合同学们提出的问题给予解答．
【初步探究】
(1)甲同学提出：__________°．
(2)乙同学提出：的面积为__________．
【深入探究】
(3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值．
【类比探究】
(4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程．
【答案】(1)
(2)25
(3)5
(4)证明：连接，
∵，，，
，，，
，，
，
即：，
．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；
（2）过点B作，交于点H，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）先证明，根据，得出，即，即可解答；
（4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可证明．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：过点B作，交于点H，则，
，，
，
；
（3）解：连接，
，点D为边的中点，
平分，
，，
．
∵，
，，
∴
由（2）知，
，
；
（4）略
37．（25-26八年级上·山东济宁·期末）【认识概念】
活动：用全等三角形研究“筝形”
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角，对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合以上内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形．
【性质探究】
（2）文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，，．求证：．
证明：
（3）如图3，连接筝形的对角线，交于点，欢欢认真思考得出了下列结论：
①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤筝形的面积等于对角线乘积的一半．你认为正确的结论有________；（只需填序号）
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，点，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数．
【答案】
（1）如图1，筝形即为所求：
（2）证明：如图，连接，
在和中，
，
，
；
（3）①④⑤；（4）的度数为或
【分析】（1）取格点B关于对称的格点D，连接、即可；
（2）连接，利用证明，即可得出结论；
（3）根据全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定，对每个结论进行分析判断即可得出结论；
（4）分两种情况：①在筝形中，当时，②在筝形中，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：略；
（2）证明：略；
（3）解：∵
∴，
∴，，
∴对角线平分一组对角和，故①正确；
现有条件无法证明对角线平分一组对角和，无法证明垂直平分，故②③错误；
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，故④正确；
筝形的面积为，
筝形的面积等于对角线乘积的一半，故⑤正确．
综上，正确的结论有①④⑤．
故答案为：①④⑤；
（4）①在筝形中，当时，
，
；
②在筝形中，当时，
，
，
．
综上所述，当四边形为筝形时，的度数为或．
【点睛】本题主要考查了网格作图、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形和垂直平分线的判定是解题的关键．
试卷第1页（共3页）
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15.1.2·线段的垂直平分线·A+培优讲义
2026-2027学年人教版八年级数学上册
课程达标
掌握线段垂直平分线的定义及尺规作图方法
掌握线段垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
掌握线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上
理解性质定理与判定定理的互逆关系，能灵活选择运用
掌握三角形三边垂直平分线交于一点（外心）的性质
能综合运用垂直平分线与全等三角形、等腰三角形解决求周长、求角度、证线段相等等问题
知识梳理
★1. 线段的垂直平分线的定义
1.1 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
1.2 一条线段有且只有一条垂直平分线
1.3 垂直平分线是直线，不是线段或射线
1.4 线段的垂直平分线是线段的重要对称轴
★2. 线段的垂直平分线的性质定理
2.1 定理内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
2.2 几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上
2.3 结论：PA = PB
2.4 作用：可直接证明两条线段相等，无需再证三角形全等
★3. 线段的垂直平分线的判定定理
3.1 定理内容：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3.2 几何语言：∵PA = PB
3.3 结论：点P在线段AB的垂直平分线上
3.4 性质与判定互为逆定理
★4. 尺规作已知线段的垂直平分线
4.1 以线段两端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两弧在线的两侧分别交于M、N
4.2 连接MN，直线MN即为线段的垂直平分线
4.3 作图原理：连接MA、MB、NA、NB，可证 （SSS），进而证MN垂直平分AB
★5. 三角形三边垂直平分线的交点
5.1 三角形三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心
5.2 外心到三角形三个顶点的距离相等
5.3 外心是三角形外接圆的圆心
知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
垂直平分线定义
过中点且垂直于线段的直线
是直线，非线段/射线
垂直平分线性质
线上的点到两端点距离相等
无需证全等，直接得线段相等
垂直平分线判定
到两端点距离相等的点在线上
必须同时到两个端点距离相等
性质与判定关系
互为逆定理
性质证线段相等，判定证点在线上
三角形外心
三边垂直平分线的交点
到三个顶点距离相等，外接圆圆心
核心考点
【考点1】线段垂直平分线的性质定理(对应练习20道题)
知识点提示：
垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
常用于求三角形周长、线段长度
需注意添加辅助线：连接中垂线上的点与线段两端点
常与全等三角形（SSS、SAS）结合使用
1．（2026八年级下·山西朔州·专题练习）在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
2．(区别内心)（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知是一个任意三角形，用尺规作出，的平分线，如果两条角平分线交于点O，下列说法不正确的是（ ）
A．点O到三个顶点的距离一定相等
B．的平分线一定经过点O
C．点O到三边的距离一定相等
D．点O一定在的内部
3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
6．（25-26八年级下·福建宁德·期末）数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．所有的直角都相等
C．对顶角相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
9．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，；
②作直线，与边交于点；
③连接．，，则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
12．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．（26-27八年级上·天津·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A．20 B．21 C．25 D．30
15．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）
A． B． C． D．
17．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23八年级上·全国·期末）如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
19．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．19
20．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
【考点2】线段垂直平分线的判定定理（对应练习20道题)
）
知识点提示：
证明点在垂直平分线上，只需证到线段两端点距离相等
证明直线是垂直平分线，需找两个距离相等的点
常与全等三角形（HL、SSS）结合证明
注意与角平分线判定区分：角平分线是到两边距离相等，中垂线是到两端点距离相等
1．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上
C．的中点处 D．的平分线上
2．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等
3．如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（ ）
A．的角平分线与的垂直平分线的交点
B．的角平分线与的垂直平分线的交点
C．的角平分线与的垂直平分线的交点
D．的角平分线与的垂直平分线的交点
4．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
5．如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
7．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（ ）
A．垂直平分线段 B．平分
C． D．
8．如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．垂直平分 C． D．
9．如图，，，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积为
10．如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．点在线段的垂直平分线上
C． D．
11．如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．和关于直线成轴对称
C．直线是线段的垂直平分线
D．
12．在平面内有一条线段，在该平面内找一点，使得是等腰直角三角形，且点为直角顶点，满足条件的点的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（ ）
A．12 B．19 C．24 D．48
二、填空题
14．如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则_________．
15．如图，，，直线为线段_____的垂直平分线．
16．定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）．
17．定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理．
18．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．
19．如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________．
20．如图，平分，于E，，下列结论正确的是________．
①；②；③；④；⑤
【考点3】线段垂直平分线与全等、等腰三角形综合应用（对应练习20道题)
知识点提示：
垂直平分线性质可快速得线段相等，简化全等证明
垂直平分线上的点与两端点连线构成等腰三角形
常与角平分线、平行线等知识综合命题
注意区分：外心到顶点距离相等（中垂线），内心到边距离相等（角平分线）
1．如图①，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等，如何确定交易中心的位置？如图②，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）．
2．(变式训练)作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）．
3．(变式训练)作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且．
4．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置．
5．如图，已知．
(1)利用直尺和圆规作，使，（点与点在的同侧）；
(2)在（1）的基础上，仅用无刻度直尺作出的垂直平分线．
6．如图①，在中，是的中点，于，于，．
(1)求证：平分；
(2)如图②，连接，求证：垂直平分．
7．综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【初步探究】
（1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明；
【综合运用】
（2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积．
8．如图，是的平分线，，分别是和的高，垂足为，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
9．如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且．
(1)求证：点D在的垂直平分线上；
(2)的长度是________．
10．如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F．
(1)若的面积为7，，，则的长是多少？
(2)连接，求证：垂直平分．
11．如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
(1)若，，求的周长；
(2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否12．如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线．
(1)连接，，求证：；
(2)求证：垂直平分．
33．有一数学兴趣小组在思考“过直线外一点P作已知直线l的垂线”这一问题时，画出了如图1的示意图．
(1)根据所画的示意图，请你用尺规作图过直线外一点P作直线l的垂线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明该作法的正确性．
13．如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G．
(1)求证：．
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，求长度．
35．已知点在内．
(1)如图①，点关于射线的对称点是点，点关于射线的对称点是点，连接，，．
（Ⅰ）若，则________；
（Ⅱ）若，连接，请说明当为多少度时，．
(2)如图②，若，，分别是射线，上的任意一点，当的周长最小时，请直接写出的度数．
14．综合与探究
【提出问题】
如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决．
请你结合同学们提出的问题给予解答．
【初步探究】
(1)甲同学提出：__________°．
(2)乙同学提出：的面积为__________．
【深入探究】
(3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值．
【类比探究】
(4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程．
15．【认识概念】
活动：用全等三角形研究“筝形”
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角，对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合以上内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形．
【性质探究】
（2）文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，，．求证：．
证明：
（3）如图3，连接筝形的对角线，交于点，欢欢认真思考得出了下列结论：
①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤筝形的面积等于对角线乘积的一半．你认为正确的结论有________；（只需填序号）
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，点，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数．
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